3. Условия подобия
Основная задача любого процесса моделирования – определение характеристик объекта, зная параметры модели. Для соотношения параметров объекта Xо и параметров модели Xм, вводится численный коэффициент М, называемый масштабом величин Xо = М (Хм).
Для гидравлического моделирования величина масштабного коэффициента М не должна зависеть от свойств объекта и модели и быть величиной постоянной. В этом случае говорят о подобии модели и объекта. Задача процесса моделирования состоит в том, чтобы определить какие требования надо предъявить к реальному объекту и к модели для выполнения между ними соответствия в виде условия подобия Хо/Хм = М.
В переводе на математический язык вышесказанное означает, что система уравнений, описывающая данное явление, имеет однозначное решение.
Уравнение Навье - Стокса как основа гидродинамики
Уравнение Навье – Стокса для нетурбулентного течения имеет следующий вид:
∆ U = ∂ U1/∂x1+ ∂U2/∂x2 + ∂U3/∂x3,
где U – скорость и ее компоненты по соответствующим координатам;
х1, х2, х3 – координаты;
g – ускорение свободного падения;
ρ – плотность жидкости;
P – вектор давления;
ν – кинематическая вязкость;
∆ – оператор Эйлера;
i – номер фазы, участвующей в движении.
Уравнение Навье-Стокса для полного описания процессов гидродинамики дополняется уравнением неразрывности потока
и уравнением непроницаемости стенки (уравнением непрозрачности)
где F(х1, х2, х3) = 0 – уравнение поверхности стенки.
Уравнение Навье–Стокса является достаточно сложным и малопригодным для практического применения вследствие большого числа переменных и неопределенности и незамкнутости всей системы уравнений. Поэтому, чтобы воспользоваться этим уравнением, необходимо перейти от размерных величин к величинам безразмерным. Для этого в начальный момент времени t0 для переменных введем нормированное значение, отнесенное к конкретной точке с конкретными координатами и параметрами:
х = х/х0, t = t/t0, p = p/p0, U = U/U0.
Подставим вместо переменных их нормированные значения в три предыдущих уравнения и разделим эти уравнения друг на друга.
Таким образом, в составе вновь полученного уравнения образуются безразмерные комплексы следующего вида:
Указанные безразмерные комплексы и представляют собой коэффициенты масштабирования реального объекта и модели. Они называются критериями гидравлического подобия, основным условием которого является постоянство этих величин при проведении гидравлического моделирования. Для удобства пользования эти критерии были модифицированы и получили собственные имена:
1/π 1 = Sh – критерий Струхаля;
1/π 2 = Fr – критерий Фруда;
π 3 = Eu – критерий Эйлера;
1/π 4 = Re – критерий Рейнольдца.
Если условия однозначности заданы в виде критериев, то необходима кратность критериев подобия объекта и реальной модели. На математическом языке это означает устойчивость и однозначность решения уравнения Навье-Стокса.
Таким образом, условия подобия заключаются в следующем:
в описании гидравлических процессов одной и той же системой нормированных уравнений;
в подобии условия однозначности;
в равенстве критериев, состоящих из величин, входящих в условие однозначности.
Рассмотренные выше условия подобия составляют третью теорему подобия.
В том случае, если уравнение движения по отношению к уравнению Навье-Стокса будет модифицировано и станет нелинейным, как и уравнение стенок потока, можно получить другие критерии подобия и условия, при которых процессы будут подобными.