1.3. Изодромное (пропорционально-интегральное) звено
Изодромным называется звено, описываемое дифференциальным уравнением вида
(27)
где k и Т - постоянные коэффициенты.
Иногда уравнение записывают в интегральной форме
(28)
Из уравнения видно, что такое звено выполняет операцию умножения входного сигнала на постоянный коэффициент k (как усилительное или пропорциональное звено) и операцию интегрирования входного сигнала (как идеальное интегрирующее звено).
Передаточная функция звена может быть легко получена путём преобразования уравнений (27) или (28) по Лапласу при нулевых начальных условиях
откуда
будет выражаться так:
(29)
Из передаточной
функции видно, что такое звено можно
рассматривать как параллельное
соединение усилительного (пропорционального)
звена с передаточной функцией
и идеального интегрирующего звена с
передаточной функцией
или
где
Поэтому типичным примером такого звена является очень широко распространённый в практике автоматического уравнения пропорционально-интегральный регулятор, передаточная функция которого аналогична по структуре выражению (29), но записывается обычно через другие обозначения коэффициентов, а именно:
(30)
где
и
-
коэффициенты пропорциональности,
учитывающие влияние соответственно
пропорциональной и интегральной
составляющих в законе регулирования
регулятора и являющиеся его настроечными
параметрами.
Поэтому все динамические характеристики, которые мы будем анализировать для этого звена, аналогичны соответствующим характеристикам ПИ-регулятора.
Получим выражение
для переходной функции, для чего
передаточную функцию
умножим на изображение единичного
ступенчатого воздействия, а затем
возьмём обратное преобразование
Лапласа.
или
тогда
(31)
График переходной функции, определяемый выражением (31), представлен на рисунке 1.9. Из графика можно сделать заключение, что выходной сигнал рассматриваемого звена сначала изменяется скачкообразно на величину k, а потом непрерывно по линейному закону. Таким образом, по переходной функции делаем вывод, что звено является астатическим.
Проанализируем частотные характеристики. Частотная передаточная функция будет иметь вид:
(32)
или
(33)
откуда
(34)
(35)
Рисунок 1.9. Переходная функция изодромного звена (пропорционально-интегрального регулятора).
Рисунок 1.10. Амплитудно-частот-ная характеристика изодромного звена (ПИ-регулятора).
Выражение для
здесь легче
всего получить по формуле
.
Тогда будем иметь:
(36)
Очевидно, что при
,
а при
.
График АЧХ имеет вид, представленный
на рисунке 1.10.
Выражение для
получим, пользуясь формулой
.
Тогда
(37)
Анализ выражения (37) приводит к следующим выводам:
при
,
при
.
График фазочастотной характеристики звена изображен на рисунке 1.11.
Рисунок 1.11. Фазочастотная характеристика изодромного звена (ПИ-регулятора).
Рисунок 1.12. Амплитудно-фазовая характеристика изодромного звена (ПИ-регулятора).
Анализ графика
амплитудно-частотной характеристики
звена показывает, что чем выше частота
входного гармонического воздействия,
тем меньше значение АЧХ. Таким образом,
звено также обладает свойством
отфильтровывать высокочастотные
воздействия тем интенсивнее, чем выше
их частота. Но в отличие от других
звеньев этой группы, здесь имеется
предел ослабления амплитуды выходного
сигнала, т.к. при
,
а не к нулю.
График фазочастотной
характеристики, представленный на
рисунке 1.11, показывает, что отставание
по фазе выходного сигнала по отношению
к входному убывает с ростом частоты
входного сигнала и в пределе (при
)
вообще отсутствует, т.к. при
.
Максимальный же фазовый сдвиг при
низких частотах
составляет -
.
Проанализируем
амплитудно-фазовую характеристику
изодромного звена. Из выражений (34) и
(35) следует, что
,
a
при всех
частотах
,
т.е. вся АФХ звена будет лежать в IV
квадранте комплексной плоскости.
При
,
,
,
а при
,
,
.
Таким образом,
при всех частотах. Следовательно, график
АФХ представляет собой полупрямую,
параллельную оси ординат. К такому же
выводу можно прийти и на основании
анализа амплитудно-частотной характеристик
звена. График АФХ изодромного звена
показан на рисунке 1.12.
В заключение раздела по интегрирующей группе звеньев отметим общие особенности их динамических характеристик.
Все звенья являются астатическими, т.к. при действии постоянного возмущения выходная величина неограниченно удаляется от состояния равновесия. Это и является проявлением интегрирующих свойств звеньев данной группы, признаком которых является присутствие сомножителя p (одного или нескольких) в знаменателе передаточной функции. Все звенья интегрирующей группы ослабляют высокочастотные сигналы по амплитуде и дают отставание по фазе выходного сигнала по отношению к входному гармоническому воздействию.