Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Ярославский государственный технический университет»
Кафедра кибернетики
Рекомендовано
научно-методическим
советом университета
Н. Н. Василькова
Динамические звенья автоматических систем
и их характеристики
Группы интегрирующих и дифференцирующих звеньев
Методические указания Ярославль 2006
УДК 681.3:62.50
Динамические звенья автоматических систем и их характеристики. Группы интегрирующих и дифференцирующих звеньев: Методические указания для самостоятельной работы студентов заочной и дневной формы обучения специальности 220301 "Автоматизация технологических процессов и производств" по курсу "Теория автоматического управления"/Сост. Н. Н. Василькова; Яросл. гос. тех. университет. - Ярославль, 2006. - 27с.
Содержатся сведения по структурному анализу систем автоматического управления, по временным и частотным характеристикам типовых динамических звеньев. Наглядно в графической форме представлено влияние параметров звеньев на их динамические свойства. Библиогр. 13. Ил. 24. Рецензент:
© Ярославский государственный
технический университет, 2006
© Н.Н. Василькова, 2006
1. Группа интегрирующих звеньев
Интегрирующие
звенья характеризуются тем, что при
постоянном входном воздействии их
выходная величина неограниченно
возрастает, т.е. все звенья этой группы
являются астатическими. Согласно
классификации типовых динамических
звеньев, приведённой в работе [1],
принадлежность звена к группе интегрирующих
звеньев определяется наличием множителя
в передаточной
функции звена. Типовые динамические
звенья из группы интегрирующих, имеющие
передаточные функции не выше второго
порядка, содержат, как правило, не более
одного множителя
.
Поэтому такие интегрирующие звенья
называют ещё астатическими с астатизмом
первого порядка. Если же звено содержит
более одного множителя
в передаточной
функции (например
),
то оно также будет относиться к группе
интегрирующих звеньев и будет называться
астатическим звеном v-ого
порядка.
Рассмотрим наиболее распространённые в автоматических системах регулирования (АСР) типовые звенья из группы интегрирующих и проанализируем их характеристики.
1.1. Идеальное интегрирующее звено
Идеальным интегрирующим называется звено, у которого выходная величина прямо пропорциональная интегралу по времени от входной величины, т.е. это звено, динамика которого описывается уравнением
(1)
В этом уравнении
-
коэффициент пропорциональности,
называемый передаточным коэффициентом
(не путать с понятием коэффициента
усиления).
Если продифференцировать левую и правую части уравнения (1) по времени, то мы получим уравнение идеального интегрирующего звена в дифференциальной форме
(2)
Примером такого звена могут быть:
а) объект регулирования - напорный бак, из которого жидкость откачивается насосом постоянной производительности, если выходной величиной считать изменение уровня жидкости в баке
а входной - изменение расхода на притоке
б) исполнительный
механизм АСР - электродвигатель, если
входной величиной считать изменение
напряжения (
),
подаваемого на двигатель, а выходной -
изменение угла поворота (
)
его выходного вала, при условии, что
собственная инерционность двигателя
пренебрежимо мала по сравнению с
инерционностью других звеньев системы.
После преобразования по Лапласу уравнение (2) примет вид:
(3)
Тогда передаточная функция, которая по определению представляет собой отношение изображения по Лапласу выходного сигнала звена к изображению по Лапласу входного сигнала при нулевых начальных условиях, т.е.
для идеального интегрирующего звена будет иметь вид:
Найдём переходную
функцию звена, для чего в уравнение (3)
подставим изображение входного сигнала
Выразим изображение выходного сигнала
По таблицам преобразований Лапласа находим, что оригинал, соответствующий изображению (5), имеет вид:
(6)
Таким образом, мы видим, что переходная функция звена представляет собой линейную функцию, причём передаточный коэффициент звена k определяет тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс, т.е. фактически скорость возрастания выходного сигнала при единичном ступенчатом изменении входного сигнала. График переходной функции звена представлен на рисунке 1.
Рисунок 1. Переходная функция идеального интегрирующего звена.
Рисунок 2. Амплитудно-частотная характеристика идеального интегрирующего звена.
Для получения
частотных характеристик звена делаем
подстановку
в передаточную функцию (4), т.е.
(7)
Преобразование выражения (7) даёт возможность получить вещественную и мнимую частотные характеристики
(8)
Откуда:
(9)
Амплитудно-частотная характеристика звена будет определяться выражением:
(10)
и представлена на Рисунок 1.2, а фазочастотная характеристика
(11)
представлена на рисунке 3.
Рисунок 3 Фазочастотная характеристика идеального интегрирующего звена.
Рисунок 4 Амплитудно - фазовая характеристика идеального интегрирующего звена
Из графиков
и
мы видим, что идеальное интегрирующее
звено пропускает гармонический входной
сигнал, ослабляя его по амплитуде тем
больше, чем больше частота входного
сигнала, и обеспечивает постоянный при
всех частотах фазовый сдвиг выходного
сигнала по отношению к входному на
величину
.
Если проанализировать
вид амплитудно-фазовой характеристики
(АФХ) звена по выражениям
и
(9), или по
и
(выражения
(10) и (11) соответственно), то можно прийти
к выводу, что годограф, описываемый на
комплексной плоскости концом вектора
при изменении частоты в диапазоне
представляет собой прямую, совпадающую
с отрицательной полуосью ординат.
График АФХ показан на Рисунок 4.
В заключении отметим, что по динамическим свойствам к идеальному интегрирующему звену относится широко распространенный в практике автоматического управления интегральный регулятор, передаточная функция которого имеет вид:
(12)
где So - настроечный параметр, влияние которого на динамические характеристики регулятора аналогично влиянию коэффициента k в уравнении идеального интегрирующего звена.