22 Формула тейлора

Формула Тейлора 

(R_n(x) - остаточный член формулы Тейлора).

     Остаточный член формулы Тейлора 

     В форме Лагранжа:

     В форме Коши:

     В форме Пеано:

 при 

     В интегральной форме:

23 Разложение элементарных функций с помощью формулы маклорена

Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:

где R_n − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением

Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е. , то оно называетсярядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a.  Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:

Разложение некоторых функций в ряд Маклорена











24 Критерий постоянства функции на интервале

Критерий постоянства: Функция на тогда и только тогда, когда на .

Доказательство:

а)Необходимость: Пусть на . Тогда 

б)Достаточность: Пусть и . Тогда 

1 Критерий монотонности функции

• (Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция непрерывна наи имеет в каждой точкепроизводную Тогда

 не убывает на тогда и только тогда, когда

 не возрастает на тогда и только тогда, когда

• (Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция непрерывна наи имеет в каждой точкепроизводнуюТогда

если тострого возрастает на

если тострого убывает на

Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль. Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть плотно на интервале Точнее имеет место

• (Критерий строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть и всюду на интервале определена производнаяТогдастрого возрастает на интервалетогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

1. 

2. 

Аналогично, строго убывает на интервалетогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

1. 

2. 

2 Экстремум функции. Необходимое и достаточное условие Определение экстремума

Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x₁< x₂ выполняется неравенство (f(x₁) < f (x₂) (f(x₁) > f(x₂)).

Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке [a, b] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f ^'(x)  0

(f ^' (x)  0).

Точка x_о называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует окрестность точки x_о, для всех точек которой верно неравенство f(x) ≤f(x_о) (f(x) ≥ f(x_о)).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами.

Точки экстремума

Необходимые условия экстремума. Если точка x_о является точкой экстремума функции f(x), то либо f ^'(x_о) = 0, либо f (x_о) не существует. Такие точки называюткритическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.

Первое достаточное условие. Пусть x_о - критическая точка. Если f ^' (x) при переходе через точку x_о меняет знак плюс на минус, то в точке x_о функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x_о экстремума нет.

Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную  f ^' (x) в окрестности точки x_о и вторую производную  в самой точке x_о. Если f ^' (x_о) = 0, >0 (<0), то точка x_о является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b].