Часть 1. Пусть ограниченны сверху, т.Е.Такое, что. Тогда, согласно теореме о существовании супремума мы можем утверждать, что.
Вспомним
свойства 
.
Их было два
Но
учтем теперь что 
.
Это значит, что
.
Тогда имеем следующую цепочку неравенств
Выбрасывая
лишнее получим, что 
или
,
что и говорит о том, что
.
Заметьте,
что предел равен как раз супремуму
множества 
.
Часть 2. Пусть теперь неограниченна сверху. Это значит, что.
Но 
.
Значит,
и
поэтому можно записать
.
Выбрасывая в этом неравенстве
,
получим окончательно
что
и говорит о том, что
.
1 способы задания функции
Различают 4 способа задания функции:
1. табличный Состоит в простом перечислении элементов функции f, т.е. при этом способе указывается значение аргумента x и соответствующе значение функции y=f(x)
|
x |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
|
y |
y1 |
y2 |
y3 |
y4 |
Удобен, когда f --конечное множество, когда же f бесконечное, указывается лишь избранные пары (х,у).
Достоинства: точность, быстрота, по таблице значений легко найти нужное значение функции.
Недостатки: неполнота, отсутствие наглядности.
2. аналитический (формулы) Является наиболее важным для МА (мат.анализа), поскольку методы МА (дифференциального, интегрального счисления) предполагают этот способ задания. Одна и та же функция может быть задана различными формулами: y=∣sin(x)∣y=√1−cos2(x) Иногда в различных частях своих областей определяемая функция может быть задана различными формулами f(x)={f1(x),x∈D1 fn(x),x∈Dn ∪nk=1Dk=D(f) . Часто при этом способе задания функции область определения не указывается, тогда под областью определения понимается естественная область определения, т.е. множество всех значений x при которых функция принимает действительное значение.
Частным случаем аналитического способа задания функции является задание функции уравнением вида F(x,y)=0 (1) Если это уравнение обладает свойством, что ∀x∈Д сопоставляется единственное y, такое, что F(x,y)=0, то говорят, что уравнение (1) на Д неявно задает функцию. Еще один частный случай задания функции -- параметрический, при этом каждая пара (x,y)∈f задается с помощью пары функций x=ϕ(t),y=ψ(t) где t∈M .
3. графический Область определения -- проекция данного графика на Ох, а множество значений -- проекция Д(f) на Оу. Применяется в медицине, технике.
Достоинство: наглядность.
Недостаток: неточность.
4. словестный Отношение f, по которому каждому х находящееся соответствие у описывается словесно. Например, y=[x] : x из R (Целой частью х из R называют любое целое число не превосходящее х).
Достоинство: можно воспользоваться когда первые три не срабатывают.
Недостаток: ненаглядность.
2 основные элементарные функции
Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий
Алгебраическая функция — элементарная функция, которая в окрестности каждой точки области определения может быть неявно задана с помощью алгебраического уравнения.
У=ф(х)
Степенна́я
фу́нкция — функция 
,
где 
(показатель
степени) —
некоторое вещественное
число[1].
К степенным часто относят и функцию
вида 
,
где k —
некоторый масштабный множитель
Рациональная функция — функцию вида y = P(x) / Q(x), где P(x) и Q(x) – многочлены, степени выше первой.
Показательная
функция — математическая
функция 
,
где 
называется основанием
степени,
а 
— показателем
степени.