17 Дифференциал функции. Определение. Геометрический смысл

Определение. Дифференциалом функции (обозначается через) называется следующее выражение:

где dx -- дифференциал x при условии, что функция имеет производную.

Геометрически дифференциал функции df – это приращение ординаты касательной к графику функции в данной точке при изменении абсциссы точки на dx.

18 теорема о дифференцируемости функции в точке

Теорема Для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируема в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке имела конечную производную. Доказательство  Необходимость. Предположим: функция дифференцируема в точке x0, т.е. Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx. Разделив обе части данного равенства на Δx, получим: ΔxΔy=A+α(Δx). Из определения производной функции в точке: y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy=limΔx→0(A+α(Δx))=A.

Т.е. получили, что существует конечная производная функции в точке x0 и y/(x0)=A. Достаточность. Пусть существует конечная производная y/(x0)∈R . Покажем дифференцируемость функции. y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy.

Если функция f(x) имеет конечный предел b при Δx→0 , то ее можно представить: f(x)=b+α(x) (α(x)→0) . Исходя из этого: ΔxΔy=y/(x0)+α(Δx), где limΔx→0α(Δx)=0, Δy=y/(x0)·Δx+α(Δx)·Δx→ A=y/(x0) . Теорема доказана.

19 инвариантность формы первого дифференциала

Инвариантность формы первого дифференциала

Если x - независимая переменная, то dx = x - x₀ (фиксированное приращение). В этом случае имеем

df(x₀) = f'(x₀)dx.     (3)

Если x = φ(t) - дифференцируемая функция, то dx = φ'(t₀)dt. Следовательно,

т. е. первый дифференциал обладает свойством инвариантности относительно замены аргумента.

20 основные теоремы дифференциального исчисления

1. Теорема. Ролля. Если функция g(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах обращается в нуль g(a)=g(b)=0, то существует по крайней мере одна точка a < c < b в которой производная g обращается в нуль g(c)=0.

Доказательство. Так как функция непрерывна на [a,b], то она имеет на этом отрезке наибольшее (M) и наименьшее значение m. Пусть g(c) - наибольшее значение.

Отсюда 

g(c+x)  g(c) x  0,   x > 0

g(c+x)  g(c) x  0,   x < 0

Переходим к пределу и получаем одновременно g(с)  0 и g(с)  0, следовательно, g(с)=0.

Пример функции, для которой не выполняется условие теоремы, поэтому производная внутри отрезка в 0 не обращается 

y=1(x2)1/3

2. Теорема. Лагранжа. Если функция g(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то существует по крайней мере одна точка a < c < b в которой выполняется равенство 

g(b)g(a)=g(c)(ba)

Доказательство. Применим теорему Ролля к функции 

g(x)g(a)(xa)Q,

где 

Q=(g(b)g(a))/(ba)

3. Теорема. Коши. Если функции g(x) и h(x) непрерывны на отрезке [a,b], дифференцируемы во всех внутренних точках этого отрезка, причем h(x)  0 внутри отрезка [a,b], то существует точка a < c < b в которой выполняется равенство 

   g(b)g(a) h(b)h(a) = g(c) h(c)

4. Доказательство. Применим теорему Ролля к функции 

   g(x)g(a)(h(x)h(a))Q,

5. где 

   Q=(g(b)g(a))/(h(b)h(a))

6. Теорема. Лопиталя. Пусть функции g(x) и h(x) на некотором отрезке [a,b] удовлетворяют условиям теоремы Kоши и обращаются в 0 в точке x=a, т.е. g(a)=h(a)=0, тогда если существует предел отношения g(x)/h(x) при x a, то существует и 

   lim x a  g(x)/h(x)

7. причем 

lim x a  g(x)/h(x)= lim x a  g(x)/h(x).

21 Многочлен Тейлора

   

     Многочлен Тейлора порядка n