Первая теорема Больцано – Коши

  Пусть функция f (x) непрерывна в точке х₀ и кроме этого f (x₀) ≠ 0. Тогда существует δ > 0 такое, что для всех х (х₀ − δ; х₀ + δ) функция f (x) имеет тот же знак, что и f (х₀).   Эта теорема характеризует устойчивость знака непрерывной функции.

Вторая теорема Больцано – Коши

  Пусть функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [a, b]. Если на концах этого отрезка функция принимает неравные значения f(a) = A, f (b) = B, то, каково бы ни было число m (A, B), найдётся такая точка х = с (a, b), что f (c) = m (рис. 5.17).   Как частный случай имеет место следующее утверждение. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах отрезка имеет значения разных знаков. Тогда существует внутренняя точка отрезка с (a, b), в которой f(c) = 0.    Данная теорема имеет простой геометрический смысл: непрерывная кривая при переходе из одной полуплоскости, граница которой является ось абсцисс, в другую, пересекает эту ось (рис. 5.18).   Теорема. Если функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [a, b] , то она на этом отрезке принимает по крайней мере один раз любое значение, заключённое между её наименьшими и наибольшими значениями.   Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем считать, что А < m < B. Рассмотрим на промежутке [а, b] вспомогательную функцию φ (x) = f (x) − m. Эта функция непрерывна на промежутке [а, b] и на концах его имеет разные знаки: φ (a) = f (a) − m = A − m < 0 и φ(b) = f(b) − m = B − m > 0. Тогда, по второй теореме Больцано – Коши, между a и b найдётся точка х = с, для которой φ(c) = m. Что и требовалось доказать.

Первая теорема Вейерштрасса

  Если функция f (x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a, b], то она на этом промежутке ограничена.   Доказательство. Функция f (х) ограничена на промежутке [а, b], если существуют такие конечные числа m и M, что m ≤ f (х) ≤ М при a ≤ x ≤ b. Допустим, что функция f (х) при изменении х в промежутке [а, b] оказывается неограниченной. В таком случае для каждого натурального числа n найдётся в промежутке [а, b] такое значение х = х_n, что f ( x_n) ≥ n. Однако по лемме Больцано – Вейерштрасса из этой ограниченной последовательности {x_n} можно выделить сходящуюся частичную подпоследовательность:

Причем, очевидно, х₀ [a, b]. Вследствие непрерывности функции в точке х₀ должно быть выполнено

Однако, в силу f (x_n) ≥ n имеем

Полученное противоречие и доказывает теорему.

Вторая теорема Вейерштрасса

  Непрерывная на отрезке [a, b] функция ограничена и достигает на этом отрезке своей верхней и своей нижней грани (рис. 5.19).    Доказательство. Пусть f (x) C_[a, b] (функция принадлежит классу непрерывных функций на отрезке [a, b]) и пусть . Согласно определению верхней грани функции, для каждого n существует такая точка х_n [а, b], что

,

Из последовательности x_n [а, b] можно выделить сходящуюся к некоторому значению х₀ подпоследовательность:

.

В силу непрерывности функции имеем далее

.

В то же время

.

И в пределе f (x₀) M. Но f (x₀) не может быть больше верхней границы М и, следовательно, f (x₀) = М. Что и требовалось доказать.

14 производная функции в точке. Определение. Геометрический смысл

Определение производной функции в точке.

Пусть функция f(x) определена на промежутке (a; b), и - точки этого промежутка.Производной функции f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при . Обозначается 

Производная функции в точке  равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

15 Арифметические свойства производных

Если  u ( x ) ≡ const , то

u’ ( x ) ≡ 0 ,    du ≡ 0.

Если  u ( x )  и  v ( x ) - дифференцируемые функции в точке  x₀ , то:

( c u )’ = c u’  ,      d ( c u ) = c du ,      ( c – const );

( u  ±  v )’  =  u’ ±  v’  ,      d ( u  ±  v ) = du  ±  dv  ;

( u v )’ = u’ v +  u v’  ,      d ( u v ) = v du  +  u dv  ;

16 производная сложной функции

Сложная функция – это функция, аргументом которой также является функция. Производная сложной функции. Рассмотрим  сложную функцию, аргумент которой также является функцией: 

h ( x ) = g ( f ( x ) ).

Если функция   f  имеет производную в точке  x₀, а функция  g  имеет производную в точке  f ( x₀ ), то сложная функция  h  также имеет производную в точке  x₀ , вычисляемую по формуле:

h’ ( x₀ ) = g’ (  f ( x₀ ) ) ·  f’ ( x₀ ) .