2.2. Функция распределения случайной величины. Непрерывные случайные величины

Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее х:

F(x) = P(X<x). (2.6)

Пример 2.5. Дан ряд распределения случайной величины X:

xi	1	4	5
pi	0,4	0,1	0,5

Найти и изобразить графически ее функцию распределения.

Решение. В соответствии с определением

F(х) = 0 при х  1;

F(x) = 0,4 при 1 < х  4;

F(x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 при 4<х5 ;

F(x)=0,5 + 0,5 = 1 при х > 5.

Итак:

Рис. 2.1. График дискретной функции распределения

Свойства функции распределения:

1. Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей:

0F(x)l.

2. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси, т.е. при x₂>х₁

F(x₂)>F(x₁).

3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности – единице, т.е.

.

4. Вероятность попадания случайной величины X в интервал [х1,х2) (включая х1) равна приращению ее функции распределения на этом интервале, т.е.

P(x_l <X<x₂) = F(x₂)-F(x_l). (2.7)

Пример 2.6. Функция распределения случайной величины X имеет вид:

Найти вероятность того, что случайная величина X примет значение в интервале [1;3).

Решение. По формуле (2.7)

P(1<X<3) = F(3)-F(1) = 1 – 1/2= 1/2.

Случайная величина X называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

Для непрерывной случайной величины X вероятность любого отдельно взятого значения равна нулю, т.е. P(X =x₁) = 0, а вероятность попадания X в интервал (х₁, х₂) не зависит от того, является ли этот интервал открытым или закрытым (т.е., например, P(x_l< x < х₂) = P(х_l  X  х₂)).

Плотностью вероятности (плотностью распределения или просто плотностью) (х) непрерывной случайной величины X называется производная ее функции распределения

(х) = F'(x). (2.8)

Плотность вероятности (х), как и функция распределения F(х), является одной из форм закона распределения, но в отличие от функции распределения она существует только для непрерывных случайных величин.

График плотности вероятности называется кривой распределения.

Пример 2.7. По данным примера 2.6 найти плотность вероятности случайной величины X.

Решение. Плотность вероятности (х) = F'(x), т. е.

Свойства плотности вероятности непрерывной случайной величины:

1. Плотность вероятности — неотрицательная функция, т.е. (x)>0.

2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал [a, b] равна определенному интегралу от ее плотности вероятности в пределах от а до b (см. рис. 2.2), т.е.

. (2.9)

Рис. 2.2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал [a, b]

3. Функция распределения непрерывной случайной величины (см. рис. 2.3) может быть выражена через плотность вероятности по формуле:

. (2.10)

В этом смысле значение функции распределения в точке x, т.е. F(x) является площадью под функцией плотности (x) до точки x.

Рис. 2.3. Функция распределения непрерывной случайной величины F(x) как интеграл от плотности (x)

График самой функции распределения выглядит например, следующим образом:

Рис. 2.4. График функции распределения случайной величины, распределённой по нормальному закону распределения

Случайная величина X полностью определяется заданием своей функции распределения F(x), которая иногда называется интегральной функцией распределения.