Met2009

ÓÄÊ 517.5 ÁÁÊ 22,162

Рекомендовано к изданию Пленумом научно-методического совета по математике и механике.

УМО университетов России.

Саженков А.Н., Вайгант В.А., Матукевич О.Ю., Саженкова Т.В., Славский В.В. Функциональный анализ. Практикум. Под общей редакцией А.Н.Саженкова: Учебное пособие. Барнаул: Изд-во Алтайского госуниверситета, 201x.

Учебное пособие создано на основе многолетнего опыта преподавания авторами курса функционального анализа на математическом факультете АГУ. Объем изложенного материала соответствует годовому курсу.

Рецензент: профессор Л.Я. Савельев Новосибирский государственный университет

c Составление:Матукевич О.СаженковЮ.,СаженковаА.Н., ТВайгант.В., В.А.,

Славский В.В., 2001.

c Оформление:Дронов В.С., 201х.

3

Используемые обозначения

Пространства:

à) lp пространство последовательностей x = (x1, x2, . . . ), xn

R : P∞1 |(xn)|p < ∞.

k

á) Cфункций[a, b] напространство непрерывных до k-той производной

[a, b].

С практической точки зрения Теорема 1.1 часто оказывается полезной в качестве альтернативного определения замкнутого множества.

Пример 1.1 Убедиться, что R2 с метрикой ρ(x, y) = max(|x1 −

Проверимy |, |x − y òðè|) являетсяаксиомыметрическимметрики. Такпространствомкак оба модуля. неотрица-

1 2 2

тельные числа, то и максимум из них неотрицателен. Он равен нулю тогда и только тогда, когда оба модуля равны нулю, то есть

Примердля которых1.2 Доказать, что M C[0, 1], состоящее из функций x(t), Восппользуемсяx(0)Теоремой= 0 замкнутое1.1. Пустьмножество.

ýòîρ(xnòî(t)æå, x(tсамое,)) → 0что.Так как мы находимся в пространстве C[0, 1], òî sup |xn(t) − x(t)| → 0. Òàê êàê sup выражения

больше либо равен, чемt [0,значение1] в любой точке (в частности, в нуле), то |xn(0) − x(0)| → 0. Òàê êàê xn(t) M, òî xn(0) = 0, откуда

|x(0)| → 0, à òàê êàê x(0) - константа, то x(0) = 0, что означает, что x(t) M. Таким образом, M - замкнутое множество.

1.1. Убедиться, что в следующих случаях выполняются аксиомы метрического пространства. Что означает сходимость последовательности в соответствующих пространствах?

а) Пространствосметрикой l1 последовательностей x = (x1, x2, . . . ), xn R;

ρ(x, y) = P∞1 |xn − yn|.

б) Пространство c сходящихся последовательностей x = (x1, x2, . . . ),

xn R; с метрикой ρ(x, y) = sup |xn − yn|.

n

в) Пространство C[a, b] непрерывных функций на [a, b] с метрикой

ρ(x, y) = maxt [a,b] |x(t) − y(t)|.

г) ПространствоL[a, b] непрерывных функций на [a, b] с метрикой

что открытыйρ(x, y) = føàð(|x − открытоеy|) определяетмножество,расстояниезамкнутыйна R.шар1.3. Доказать,замкну-

тое множество. Доказать, что замыкание открытого шара лежит в включение?замкнутом шаре, т. е. B(x, r) B[x, r]. Возможно ли здесь строгое

1.4.ныхДоказать,функций что множество M C[0, 1], состоящие из всевозмож- x(t), удовлетворяющих условию sin t < x(t) < 1 + t

1(t.5. Сходится[0, 1]), открытоли последовательность.

xn(t) = tn+1/(n+ 1) −tn+2/(n+

12).6в.Пустьпространстве: а) C[0, 1]; á) C1[0, 1]?

ρ(x, A) = inf ρ(x, y) расстояние от точки x до множества

y A

A. Доказать, что

à) ρ(x, A) = 0 <=> x cl(A), á) |ρ(x, A) − ρ(y, A)| ≤ ρ(x, y),

â) Uε(A) = {x; ρ(x, A) < ε} открытая окрестность множества A.

метрического1.7. Пусть f : пространстваA → R функция, заданная на множестве A M M и удовлетворяющая на A условию |ственнаяf(x) − f(функцияy)| ≤ Cρ(x, y), x, y A. Доказать, что существует един-

в пространстве