Met2009
.pdf11. СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ |
|
31 |
|||||||||||
10.3. Найти критерий того, что функционал |
f(x) = |
1∞ anxn, çà- |
|||||||||||
данный в |
|
|
”, ( a , a |
|
|
|
|
|
|
||||
|
”c |
|
|
, . . . |
} |
l |
|
), является опорным для элемента |
|||||
0 |
0 |
|
0 |
|
{ 1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
P |
|
10.4. Найти критерий. |
того, что функционал |
|
|
||||||||||
x = {x1 |
, x2 |
, . . . } |
|
|
|
|
|
|
|
f(x) = |
1∞ anxn, çà- |
||
данный в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для элемента |
0 |
”0l1”, ({a1, a2, . . . } ”m”), является опорным P |
||||||||||||
10.5. Пусть |
, . . . } |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x = {x1 |
, x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
казать, что X линейное нормированное пространство, x X. Äî-
10.6. Пусть kxk = sup {| < x, f > | : f X , kfk = 1}.
X линейное нормированное пространство, f X , 10A .7.LДоказать,(X). Доказать,что причто kAk = sup {| < Ax, f > | : kxk = 1, kfk = 1}.
всякий непрерывный линейныйp > 1 (lp) |
= lq 1/p + 1/q = 1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
функционал, |
в пространстве, т. е., что |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lp ïðè |
p > 1 имеет вид < x, f >= |
1∞ xkyk, ãäå x = (x1, x2, . . . ) lp,y = |
|||||||||||||
1 2 |
|
|
q |
2 |
P |
k |
|
k |
= |
k |
|
klq |
|
|
10.8.(y , y Пусть, . . . ) |
|
l |
|
, è 1/p + 1/q = 1, |
|
f |
|
|
y |
|
. |
2 задана следующим |
||
приближенияL äëÿ= {z R : y = 0}. Найти в L |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
элементы наилучшего |
z0 = (x0, y0), если норма в R
p
Äàòüобразом:геометрическую1) kzk = max{|интерпретациюx|, |y|}; 2) kzk =решения|x| + |y.| ; 3) kzk = x2 + y2.
зать,10.9. Пустьчто L подпространство Банахово пространства X. Äîêà- y0 L является элементом наилучшего приближения для
элементатогда и только тогда, когда существует опорный функционал |
|||||||
x0 X |
y0 − x0 |
|
L |
|
|
|
|
10.10. |
|
|
|
|
|
||
|
Пусть |
, обращающийся в нуль на |
|
. |
|
|
|
жества |
X Банахово пространство. Для произвольного мно- |
||||||
|
|
M X определим его поляру |
|
|
M |
|
|
M = {f X |
: | < x, f > | ≤ 1, x M} |
|
|
||||
выпуклое замкнутое множество. |
|
. Доказать, что |
|
|
10.11ном пространстве.Доказать, что линейное многообразие L плотно в нормирован-
функционал X, тогда и только тогда, когда всякий линейный ственно. f X , равный нулю на L, обращается в нуль тожде-
11. Слабая сходимость. Рефлексивность
Опрследовательность11.1. Пусть X линейное нормированное пространство. По- xn X называется слабо сходящейся к элементу
xÎïðX,11åñëè.1À.fПоследовательность(x ) f(x), f X . |
|||
|
n |
→ |
|
щейся к элементу |
|
fn X называется -слабо сходя- |
|
|
|
f X, åñëè fn(x) → f(x), x X. |
32 |
ГЛАВА 3. СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО |
пространстваТеорема 11.1. Последовательность {xn} элементов нормированного 1) она ограничена;X слабо сходится к x X тогда и только тогда, когда:
оболочка2)f(xn) → f(x) |
f , |
которого |
,всюду плотнагде в некоторое множество, линейная |
Пусть |
X . |
X линейное нормированное пространство и X сопря- женное ему. Так как X также линейное нормированное пространство,вложението можно построить X = (X ) . Имеет место изометрическое
Îïð 11.2.XТе пространстваX .
рефлексивными. |
X, для которых X = X называются |
||||||
11.1. Пусть X Банахово пространство, xn, x X, fn, f X è |
|
||||||
à) xn → x, fn → f ïðè n → ∞ ; |
|
|
|
|
|
||
á) xn → x ïðè n → ∞ слабо, fn → f ïðè n → ∞ ; |
|
|
|||||
â) xn → x ïðè n → ∞ ,fn → f ïðè n → ∞ слабо. |
|
|
|||||
11Доказать,.2.Пустьчто < xn, fn >→< x, f > ïðè n → ∞. |
|
è |
|||||
|
X линейное нормированное пространство, fn,f X |
|
|||||
11.3. Дляпри |
n → ∞ |
. Доказать, что |
fn → f |
ïðè |
n → ∞ |
слабо. |
|
fn → f |
|
|
|
|
x(t) L2[−1, 1] положим
Z1
<x, fn >= x(t)cos(πnt)dt
. −1
а) Доказать, что f
найти n ограниченный линейный функционал, и
kfnk.
б) Доказать, что fn → 0 ïðè n → ∞ слабо. Верно ли, что fn → 0 ïðè n → ∞ ?
11.4. Пусть X рефлексивное Банахово пространство, f X . Äîêà- 11зать,.5. Показать,чтосуществуетчто слабаяx X,сходимостьx 6= 0 такое,элементовчто < x, fâ>пространствах= kxkkfk.
”ностиl ” è ïî”c норме;” равносильнаб) покоординатнойдвум условиям:сходимостиа) равномерной. ограничен-
2 0
11. СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ |
33 |
11.6. Показать, что в пространстве l
тельности можно всегда выбрать слабо2 изсходящуюсяограниченнойподпоследовапоследова--
тельность.
11.7. Верно ли утверждение предыдущей задачи для пространств а) 11”l .”8;. б)Доказать,”c ”? что в конечномерном нормированном пространстве
1 0
слабая сходимость эквивалентна сильной сходимости.
Глава 4
Гильбертово
пространство
.
12. Гильбертово пространство. Ортогональность
Опр(действительном12.1. Скалярнымили комплексном)произведениемназываетсяв векторномфункцияпространстве X
деленная для каждой пары элементов |
(x, y), îïðå- |
условиям: |
x, y X и удовлетворяющая |
1)2) (x, x) ≥ 0 è (x, x) = 0 x = 0;
3) (x, y) = (y, x) (черта означает комплексное сопряжение); Опр (12αx.2+. βy,Линейноеz) = α(x,действительноеz) + β(y, z). пространство со скалярным
произведением называется евклидовым.
Опр 12.2А. Комплексное линейное пространство со скалярным произведением называется унитарным.
В каждом евклидовомp или унитарном пространстве можно ввести норму,Опр 12полагая.3. Пространство||x|| = (x, x).
гильбертовым,если оно являетсяH со скалярнымполным впроизведениемэтой норме. называется Примеры гильбертовых пространств:
34
12. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО |
35 |
|||||
1) |
пространство Rn со скалярным произведением |
|
||||
|
n |
|
||||
|
(x, y) = xiyi, ãäå x = (x1, ..., xn), y = (y1, ..., yn); |
|
||||
|
k=1 |
|
||||
|
X |
|
||||
2) |
пространство l2, |
|
||||
|
∞ |
|
||||
|
(x, y) = Xζk |
|
k, ãäå x = {ζk} l2, y = {ηk} l2; |
|
||
|
η |
|
||||
|
k=1 |
|
||||
3) |
пространство L2[a, b], |
|
||||
|
(x, y) = Z b x(t) |
|
dt, x, y L2[a, b]. |
|
||
|
y(t) |
|
||||
|
|
|
a |
|
Опр 12.4 Элементы x и y называются ортогональными (x y), если Пример(x, y) = 0.12.1. Доказать, что если в предгильбертовом пространстве
По определению2нормы2в предгильбертовом2 (теорема Пифагора)пространстве.
x y, òî ||x + y|| = ||x|| + ||y||
||x+y||2 =
(x + y, x + y) = (x, x + y) + (y, x + y) = (x + y, x) + (x + y, y) =
Равенство доказано. |
|
2 |
|
2 |
|
2. |
||
(òîx, x)+(y, x)+(x, y)+(y, y) = (x, x)+(x, y)+(y, x)+(y, y). Òàê êàê x |
y, |
|||||||
(x, y) = (y, x) = 0, òî åñòü ||x + y|| |
|
= (x, x) + (y, y) = ||x|| |
+ ||y|| |
|||||
Попутно отметим полученное по ходу решения равенство: |
|
|
2 |
|||||
2 |
2 |
2 |
|
|
2 |
||x+y|| = |
||
||комплексноx|| +||y|| |
+сопряженных(x, y)+(x, y)чисел),= ||x|| |
которое+||y|| +служит2Re(x, yаналогом) (из соотношениятеоремы |
косинусов в предгильбертовом пространстве. |
|
|
||||||||
Пример 12.2. Доказать, что если в нормированном пространстве |
||||||||||
выполняется тождество параллелограмма |
|
2 |
2 |
|||||||
(||x − y|| + ||x + y|| = |
||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
||||
2ïî||xформуле|| + 2||y|| |
|
), òî â íåì |
можно определить скалярное произведение |
|||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
||||
(x, y) = |
||x+y|| |
−||x−y|| |
|
|
|
|
||||
Проверим, что для введенной4 конструкции выполнены все свойства |
скалярного произведения.
1. (x, x) = 2x /4 = x
в случае нуля|| ||соответствующего2 || ||2, неотрицательностьпространства обеспечиваетсяиравенство 0 толькосвой-
ствами нормы.
2. Так как определенное таким образом скалярное произведение -
36 |
|
|
|
ГЛАВА 4. |
ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
действительное число, то оно равно своему сопряженному. Так как |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
||3.xРазобьем− y|| = ||yýòî− xсвойство||, òî (x,íày) äâà= (y,подсвойства:x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x+y, z) = (x, z)+(y, z) |
|
|
|
|||||||||||||||
ходному(αx, z). = α(x, z). Выполнение этих двух свойств эквивалентно ис- |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
ственный3.1. Рассмотрим0. Распишем(x + y,ýòîz) −êàê(x, z) − (y, z) |
2и покажем, |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что это тожде- |
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
||x + y + z|| + ||x + y −z|| −||x + z|| − |
|
|
|
|||||||||||||||||
||ðîëèx − zïðè|| −проверке||y + z|| |
íà− ||равенствоy − z|| ( )0)(четверка. в знаменателе не играет |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Так как по тождеству параллелограмма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
||(x + y) ± z||2 + ||(x + y) z|| = 2||(x + y)||2 + 2||z||2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
записать выражение2 (*) êàê |
|
|
2 |
|
|| |
2 |
|
|
||2 |
|| |
2, и можно |
|
|
|
|
||||||||||||||
òî |
||(x + y) |
± z|| |
= −||(x + y) z|| + 2|| |
|
|
+ 2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + y) |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
2 |
−||y−z|| |
2 |
|
−||x + z −y|| |
|
+ ||x −y −z|| |
|
+ ||x + z|| |
+ |
|
|
|
|||||||||||||
||x−z|| |
−||y+z|| |
|
( ). Взяв полусумму (*) и (**), получим |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
||y + z + x||2 + ||y + z − x||2 |
|
|
||y − z − x||2 + ||y − z − x||2 |
|
y+z |
|
2 |
+ |
|
y |
z |
|
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
− |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
−|| |
|| |
|
|
|| |
− |
|| |
|
||
Применив к двум дробям в начале правило параллелограмма, полу- |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
÷èì: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||y + z||2 + ||x||2 − ||y − z||2 − ||x||2 − ||y + z||2 + ||y − z||2
3Таким.2.Рассмотримобразом (x + y, z) − (x, z) − (y, z) = 0 для любых x, y, z. произведения это(αx, z)−α(x, z). По нашему определению скалярного
0, ïðè |
||αx+z||2−||αx−z||2 |
− |
α |
||x+z||2 |
−||x−z||2 |
. Ïðè α = 0 |
ýòî |
|||
|
|
4 |
|
|
4 |
|
||||
α = −1 ýòî òîæå 0, òàê êàê (−x, z) = (0−x, z) = (0, z)−(x, z) = |
||||||||||
−Ïðè(x, zлюбом). |
целом |
n (αx, z) − α(x, z) = (sgn(n)(x + x + . . . + x), z) = |
||||||||
|
|
|||||||||
ство доказано. Если же |
|
= |
n (x, z). Для целых n равен- |
|||||||
(n)[(x, z) + . . . + (x, z)] = nsgn(n)(x, z) |
p | |
| |
1 |
p |
1 |
|
||||
|
|
p, q- целые, то ( q x, z) = p( q x, z) = q q( q x, z) = |
p
Наконец,(x, z), тотакестькакравенствоисходнаявернофункцияи длянепрерывна,любых рациональныхто взяв последочисел-.
q
вательность рациональных чисел, сходящихся к произвольному действительному числу, предельным переходом получаем что и для любого действительного числа это равенство верно.
Все три свойства выполнены, то есть соотвестствующая конструкция - скалярное произведение.
12. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО |
37 |
гональны12.1. Доказать,тогдачтоитольков евклидовомтогда, когдапространстве элементы x è y îðòî-
kxk2 + kyk2 = kx + yk2.
12.2. Пусть |
x1, x2, . . . , xn |
ортогональная система в гильбертовом |
||||||
пространстве |
|
|||||||
|
|
H, x = |
1n xk. Доказать, что |
|
xk2 = |
1n kxkk2 < ∞. |
||
пространстве12.3. Пусть en (n NP) ортонормированнаяkсистемаPв гильбертовом |
||||||||
плексных |
|
H λn |
|
|
|
|
|
|
|
чисел., Доказать,последовательностьчто ряд |
вещественных или ком- |
||||||
только тогда, когда |
1∞ |
|λk|2 < ∞. |
1∞ λkek сходится в H тогда и |
|||||
ства12.4. Доказать, что P |
P |
|
x гильбертова простран- |
|||||
|
|
для того, чтобы элемент |
L H, необходимо и до- |
|||||
статочно,H былчтобыортогоналендля любогоподпространствуэлемента |
||||||||
|
|
|
|
|
y L имело место неравенство |
kxk ≤ kx + yk.
12.5. Доказать, что в пространстве со скалярным произведением:
а) для любых элементов x,y,z имеет место тождество Апполония:
kz − xk2 + kz − yk2 = 1/2kx − yk2 + 2kz − (x + y)/2k2 ;
б) длямея: любых элементов x,y,z,t имеет место неравенство Птоло-
kx − zkky − tk ≤ kx − ykkz − tk + ky − zkkx − tk.
Когда в нем реализуется равенство? 12.6ное .произведениеДоказать, чтотак,в пространствечтобы C[0, 1] нельзя определить скаляр-
p
12.7. Доказать, что для того, чтобыkxk = норма(x, x)в. линейном пространстве
порождалась скалярным произведением, необходимо и достаточно, чтобы для любых x, y имело место равенство параллелограмма
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
k12x.8+. yÂkлинейном+ kx − ykпространстве= 2(kxk + последовательностейkyk ). |
|||||||||
xn R таких, что |
1∞ xk2 < ∞, положим |
x = (x1, x2, . . . ), |
|||||||
|
|||||||||
(x, y) = |
P |
1 |
k |
k P |
λk |
|
R 0 < λk < 1 |
|
|
∞ |
λ |
x yk |
|
|
|||||
пространство гильбертовым?, где |
, |
|
. Будет ли полученное |
12.9вом.пространстве,Доказать, чтотоесли P оператор проектирования в гильберто-
kP k = kE − P k.
12.10. Доказать, что единичный шар в бесконечномерном гильбертовомшаровпространстверадиуса H содержит бесконечно много непересекающихся
14 .
38 |
ГЛАВА 4. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО |
13. Ортогональное дополнение
называетсяОпр 13.1. ПустьмножествоE H, тогда ортогональным дополнением к E
E = {y|(y, x) = 0, x E}. E являет-
сяхотяподпространством в H, т.е. замкнутым линейным многообразием, ТеоремаE подпространством13.1. Пусть может и не быть.
подпространство, тогдаH гильбертово пространство, L H единственное представлениеH =â Lâèäå+ L , т.е. любой x H допускает
Ïðè ýòîì |
x = m + n, ãäå m L, n L . |
|
Элементρ(x, L) = ||x − m|| = ||n||. |
|
|
|
m называется проекцией элемента x на подпространство |
|
L.Опр 13.2. Система векторов |
|
|
странстве |
{xα} в евклидовом (унитарном) про- |
|
мированной, еслиназываетсяона ортогональнаортогональной,и нормирована;если |
полной, ортонореслиона- |
|
H |
(xα, xβ) = 0; |
ортонормирована и если из того, что (x, xα) = 0 α следует, что x =10..Любая ортогональная система линейно независима.
2. Всякую систему |
x1, ..., xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
но превратить в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ортонормированнуюлинейносистемунезависимыхс помощьюэлементовпроцессамож- |
|||||||||||||||||
ортогонализации Шìèäòà. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Полагаем |
l1 |
= |
|
x1 |
пусть |
y2 |
= x2 |
− c21l1, |
число |
c21 выберем |
||||||||||||||
так, чтобы |
||x1|| |
âèäíî, |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
y2 |
|
l1 |
. |
|
Î÷å |
что для этого следует взять |
c21 = |
||||||||||||||
(x2, l1). |
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|| 6= 0. |
|
|
l1, l2, ..., lk−1 |
|||||||||||
Полагаем |
l2 = |
||y2|| , ||y2 |
Далее, пусть |
|||||||||||||||||||||
уже построены. Возьмем |
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
чтобы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yk = xk − |
k−1 |
и подберем |
|
|
òàê, |
|||||||||
|
yk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 ckili |
|
|
cki |
|
|||||||||
|
yk было ортогонально l1, l2, ..., lk−1; ò.å. cki = (xk, li) . Полагаем |
|||||||||||||||||||||||
lk = |
|
, ||yk|| 6= 0 è ò.ä. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
||yk|| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Теоремагильбертова2. |
Пустьпространства линейно независимая система элементов |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
{xn} |
|
H. Тогда существует ортогональная си- |
||||||||||||||||||
стема |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
товым, если его норма |
|
P |
n |
|
(n) |
|
|
|
(n) |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
.3. Нормированноетакая,что |
пространство |
(λn 6= 0, n = 1, 2...). |
|
|
||||||||||||||||||
Îïð 13{yn} |
|
|
|
|
|
|
yn |
= |
|
k=1 λn |
xk |
|
|
|
определяется с помощьюназываетсяскалярногопредгильберпроиз--
ведения.
Теорема 3. В сепарабельном гильбертовом пространстве любая ортонормированная система не более чем счетна.
Пример 13.1. В пространстве L2[0, 1] скалярное произведение опре-
13. ОРТОГОНАЛЬНОЕ ДОПОЛНЕНИЕ |
39 |
делено как (x(t), y(t)) = R10 x(t)y(t)dt. Множество |
|
Z 0
M = {x(t) L2[0, 1] : x(t)dt = 0}.
1
Найти M .
чтобыЧтобы функция y(t) лежала в искомом множестве, необходимо
лежат в |
:= |
0 |
x |
M. Заметим сперва, что все y(t) |
≡ |
c; c |
|
R |
|||
|
(x, y) |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|||
åñëè |
M |
|
1 |
x(t)y(t)dt = c |
1 |
x(t)dt = 0. Дальше заметим, что |
зан занулятьсяне константа,для всехто соответствующий интеграл вовсе не обя- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
y(t) |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
0 |
|
тогда |
|
(y(t) − I)dt = |
|
|
x(t). Покажем это. Пусть |
1 y(t)dt = I, |
|||||||||||
y(t) |
|
|
10 |
|
|
10 y(t)dt − 10 |
Idt = I − I |
R= 0, òî åñòü |
|||||||||
− |
IR |
|
|
M Если взять Rx(t) = y(t) R |
I, òî (x, y) = |
10 x(t)y(t)dt = |
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
− |
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
ной функции по промежутку ненулевой, то естьдлиныинтеграл.Онотможетнеотрицательбыть ра-- |
|||||||||||||||||
R |
1 |
y (t)dt |
− |
I |
R |
1 x(t)dt = |
R |
1 |
y (t)dt |
|
R |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
этомвен 0случаетолькомыв случае,попадаемеслив условияy(t) = 0 пунктавсюдуна этом промежутке, но в
áûòü, åñëè |
y(t) ≡ c (при c=0). Стало |
|
òî åñòü |
y(t) |
.- не тождественная константа, то x M : (x, y) 6= 0, |
|
y / M |
|
|
|
|
Получаем, что M = {y(t) L2[0, 1] : y(t) ≡ c; c R}
13.1. Пусть M,N подпространства гильбертова пространства H и 13M.2. NДоказать,.Доказать,чточтодляMпроизвольного+ N подпространствомножестваH.
пространства M гильбертова H множество M является подпространством.
13.3.полнениеНайтик следующимвгильбертовоммножествам:пространстве L2[0, 1] ортогональное до-
а) многочленов от x;
б) многочленов от x2 ;
в) многочленов с нулевым свободным членом ; г) многочленов с нулевой суммой коэффициентов;
д) многочленов вида α + βx, α,β R.
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ГЛАВА 4. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО |
|||||||||||||||||
рывных13.4. Найтифункцийв предгильбертовомна |
пространстве |
C[−1, 1] всех непре- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[−1, 1] со скалярным произведением |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x, y) = Z−1 x(t)y(t)dt, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ортогональное дополнение к подпространствам: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
а) функций, равных нулю при t ≥ 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
á) |
|
функций,Вернали равныхвэтих случаяхнулюв точкетеоремаt =îá0; ортогональном дополне- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
íèè? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) Вычислить углы треугольника, образованного точками |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x1(t) = t, x2(t) = t2, x3(t) = t3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
подпространство, порождаемое элементами |
|
|
|
|
|
|
|
t íà |
|||||||||||||||||||
13.5. В пространстве L2 |
[0, 1] найти проекцию элемента x = e |
||||||||||||||||||||||||||
13.6. Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin(t), cos(t). |
|
|
|
|||||||||||
Доказать, чтоM H подпространство гильбертова пространства H. |
|||||||||||||||||||||||||||
13.7. Пусть |
|
M = M тогда и только тогда, когда M замкнутое. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
L1,L2 подпространства гильбертова пространства H, |
||||||||||||||||||||
|
|
, операторы ортогонального проектирования на |
|
|
, |
|
. Äîêà- |
||||||||||||||||||||
çàòü, ÷òî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L1 L2 |
|||||||||
P1 |
|
P2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
ортогональное. дополнение к системе элементов |
|
|||||||||||||||||||
13.8. НайтиkP1 |
− P2k ≤ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
D) |
в пространстве |
l2 |
, åñëè |
D |
бесконеч- |
|||||||||
ное подмножество круга |
|||||||||||||||||||||||||||
xα |
= |
|
{1, α, α , α , . . . } (α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
13.9. Пусть |
|
|
|
|
|
|
|z| ≤ 1/2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
L линейное многообразие в H. Доказать, что |
|
|||||||||||||||||||
|
|
= |
|
0 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
L13=.10H. ПустьL |
{ |
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ñòâà |
|
|
|
L однородное подпространство гильбертова простран- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
H, a |
|
L, a = 0. Доказать, что |
|
x |
|
H ρ(x, L ) = |
|(x,a)| |
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||a|| |
|
14. Линейные функционалы в гильбертовом пространстве
Теорема (Характеристическое свойство предгильбертова пространства)и только тогда, когда.Пространствов X является предгильбертовым тогда
ò.å. |
X выполняется тождество параллелограмма, |
|
||x + y||2 + ||x − y||2 = 2(||x||2 + ||y||2). |