Met2009
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
71 |
|
функций |
, k Z} |
. Указание. Достаточно доказать, что лю- |
|||||
буючто ииз{ψjk, j < j0 |
|
|
|
|
||||
симировать |
линейной комбинациейможнофункцийсколь угодно близко аппрок- |
|||||||
|
|
{φj0k, k |
Z} |
|
{ψjk, j < j0, k Z} |
|||
относительно нормы пространства |
2 |
|||||||
85. Мультимасштабный анализ СтефанаL (R). Маллата (сокращенно |
||||||||
MRA) это последовательность замкнутых подпространств |
{Vj}j Z |
|||||||
пространства |
|
|
|
|
||||
|
|
|
L2(R), удовлетворяющая следующим свойствам: |
|||||
A1 |
Vj Vj+1; |
|
|
|
|
|
||
|
[ |
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
Vj = L2(R); |
|
|
|
|
|||
|
j Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
A3 |
Vj = {0}; |
|
|
|
|
|||
|
j Z |
|
|
|
|
|
|
|
A4 f Vj ↔ f(2−j·) V0; |
|
|
|
|||||
A5 f V0 ↔ f(· − k) V0 k Z; |
|
|
||||||
A6 |
существует функция ϕ V0 такая, что последовательность |
|||||||
|
{ϕ(· − k)}k Z образует ортонормированный базис в V0. |
ствуетФункцияпоследовательностьϕ называется масштабнойчисел функцией. Доказать, что суще-
|
|
|
{hj} l2(Z) такая, что |
|
√ |
X |
(1) |
||
ϕ(x) = |
2 |
|
hkϕ(2x − k). |
|
k
Уравнение (1) называется функциональным уравнением самоподобия, или скейлинговым уравнением для дискретного вейвлетпреобразования.
86ряет.Доказать,уравнениючто последовательность {hj} l2(Z) из (1) удовлетво-
k Z hkhk−2l = |
0, åñëè l 6= 0 |
X |
1, åñëè l = 0 |
|
|
|
|
87. Пусть теперь Wj ортогональное дополнение к Vj â Vj+1 (òî åñòü
V = V W
пространствj+1 j j). Доказать, что последовательность замкнутых под- {Wj}j Z пространства L2(R), удовлетворяет следую-
72 |
ГЛАВА . ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ |
|||||||
щим свойствам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
W 1 |
Wj Wj1 |
ïðè j 6= j1; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j−1 |
|
|
|
|
W 2 |
Vj = Vj0 |
iM0 |
|
≤ j; |
|
|||
Wi |
|
ïðè j0 |
|
|||||
|
|
|
|
=j |
|
|
|
|
W 3 |
MWi = L2(R); |
|
|
|
|
|||
|
i Z |
|
|
|
|
|
||
W 4 f Wj ↔ f(2−j·) W0. |
|
|
|
|||||
88. Определим функцию |
|
|
|
|
|
|||
|
ψ(x) = √ |
|
X |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
(−1)kh1−kφ(2x − k). |
(2) |
k
Доказать ортонормированность системы {ψ(x − k), k Z}.
Замечание. Можно показать, что {ψ(x − k), k Z} есть ор-
тонормированный базис для W1. В частности, упомянутая выше ступенчатая функция φ(x) = 1(0 ≤ x < 1) порождает вейвлет
Хаара ψ(x) = φ(2x) − φ(2x − 1).
89. Определим рекуррентно B-сплайны порядка m
(
N1(x) =
1
0
åñëè
åñëè
x |
[0, 1) |
, Nm = Nm−1?N1 = Z0 |
1 |
Nm−1(x−t)dt. |
|||
x |
[0, 1), |
|
|
|
6 |
|
|
Докажите следующие свойства {Nm(x)}m N : 1. Компактность носителя
suppNm = [0, m].
2. Nm(x) > 0, x (0, m).
3. Семейство {Nm(x)}m N разбиение единицы
X
Nm(x − k) ≡ 1.
k
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
73 |
4. Симметрия |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Nm( |
|
|
|
+ x) = Nm( |
|
|
|
− x). |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
5. Рекуррентная формула |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
N |
|
(x) = |
|
x |
|
|
N |
|
|
(x) + |
m − x |
N |
|
(x |
− |
1). |
||||||||||||
m |
m |
|
|
|
m−1 |
|
|
m−1 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
m |
− |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
90. Доказать, что справедливо скейлинг уравнение |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
(2x |
|
|
k). |
|
|
|
||||||||
|
|
N |
m |
(x) = 21−m |
|
Ck N |
m |
− |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
91. Доказать, что справедлива формула |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
e−i2πω |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Nˆm(ω) = |
|
− |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
i2πω |
|
|
|
|
|
|
|
|
Приложение
Фурье и вейвлет преобразование
1. Определение преобразования Фурье
Определение .1. Пространством Lp(R), p ≥ 1 называют мно-
жество всех комплекснозначных функций |
f : R → C, для которых |
|
интеграл |
|
|
+∞ |
1/p |
|
kfkp = Z−∞ |f(t)|pdt |
|
< +∞. |
Определение .2. В пространстве L2(R) определено скалярное произведение элементов f, g L2(R) формулой;
Z +∞
hf, gi = f(t)g(t)dt.
−∞
Нормой или длиной f L2(R) называют
p
kfk2 = hf, fi.
Пространство L2(R), снабженное этим скалярным произведением и нормой один из основных примеров Гильбертова пространства.
74
75
Определение .3. Фурье преобразованием функции зывают функцию, определенную формулой
Z ∞
fb(ω) = f(t)e−2πitωdt, äëÿ ω Rb.
−∞
Будем пользоваться обозначениями
F ˆ
fb= F(f), èëè f −→ f.
Обратное преобразование определено формулой
Z ∞
ge(t) = g(ω)e2πixωdω, äëÿ t R.
−∞
f L1(R) íà-
(1)
Будем пользоваться обозначениями
gˇ = F−1 |
F−1 |
(g), èëè g −→ gˇ. |
В действительности, класс функций, для которых можно опре- |
||||||||||||||||||||||
делить преобразование (1), значительно шире. Наиболее естествен- |
||||||||||||||||||||||
ная область определения преобразования Фурье это пространство |
||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следующим |
|||||
Lобразом;(R). ОбразнайдемФурьепоследовательностьдля f L (R) можнофункцийопределить2 |
||||||||||||||||||||||
(R) ∩ L |
1 |
(R) |
||||||||||||||||||||
такую, что |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
fn L |
|
|||||||||
Планшереля,fnпоследовательность→ f в пространствеобразовL (R).ФурьеТогда,будетв силусходитьсяравенствав |
||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
к некоторой функции |
f L |
2 |
(R), которую назы- |
||||||||||||||||
ваютпространствеобразомLФурье(R) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
тельности |
|
|
f, и которая не зависит от выбора последова- |
|||||||||||||||||||
есть пределf |
|
. В частности можно |
положить |
f |
|
=bf |
|
χ |
|
|
. Тогда |
f |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
{ |
n} |
|
|
n |
|
2πitω |
|
|
|
n |
|
|
· |
|
[−n,n] |
|
|
|
|
|||
|
limn→∞ −n f(t)e− |
|
2 |
dt, рассматриваемый как пределb |
||||||||||||||||||
в Гильбертовом |
пространстве |
L (R), но не поточечный. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Теорема .1. |
Преобразование |
Фурье взаимнооднозначно отобра- |
||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
жает пространство L2(R) на себя. Преобразование Фурье унитарное преобразование пространства L2(R), òî åñòü
hFf, Fgi = hf, gi,
äëÿ f, g L2(R).
76 |
ГЛАВА . ФУРЬЕ И ВЕЙВЛЕТ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ |
||||||
Доказательство. |
Докажем унитарность преобразования Фурье. Для |
||||||
этого достаточно |
установить равенство: |
||||||
Имеем: |
|
|
hf, gˆi = hfˇ, gi. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
hf, gˆi = Z−∞ f(ω)ˆg(ω) |
dω = |
|||||
|
|
+∞ |
|
|
|
+∞ |
|
|
|
= Z−∞ f(ω)dωZ−∞ g(t)e−i2πtωdt = |
|||||
|
|
= Z +∞ |
|
dt Z +∞ f(ω)ei2πtωdω = |
|||
|
|
g(t) |
|||||
|
|
−∞ |
|
|
−∞ |
Z +∞
= g(t)fˇ(t)dt = hfˇ, gi.
−∞
Замечание. Если трактовать функцию f(t), как сигнал (t время, f(t) интенсивность сигнала в момент времени t), тогда fb(ω)
спектр этого сигнала, то есть справедливо спектральное разложение
Z +∞
f(t) = fˆ(ω)ei2πtωdω.
−∞
Здесь fˆ(ω) интенсивность гармоники ei2πtω в сигнале.
Пример. Пусть f(t) = 1(−a ≤ t < a) характеристическая функция промежутка [−a, a],
|
+a |
e−i2πtωdt = |
|
|
2πtω |
t=a |
a = |
||||||
fˆ(ω) = Z−a |
|
e−iiω |
t= |
|
|
||||||||
= |
|
|
− |
|
|
|
− |
|
− |
|
|
||
ei2πaω |
e−i2πaω |
= |
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
sin(2πaω |
) |
|
|||||||
|
|
i2πω |
|
|
|
πω |
|
|
|
|
77
2. Свойства преобразования Фурье
Определение .4. Пусть f функция, определим следующие операторы:
Трансляция |
: |
Taf(t) = f(t − a), |
äëÿ a R, |
|||||||||||
Модуляция |
: |
Eaf(t) = e2πiatf(t), äëÿ a R, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
Дилатация |
: Daf(t) = |a|−1/2 f |
|
, äëÿ a R \ {0}. |
|||||||||||
a |
||||||||||||||
Каждый из них унитарный оператор из L2(R) в себя, кроме того |
||||||||||||||
справедливы равенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
TaEbf(t) |
= |
e2πib(t−a)f(t − a); |
||||||||||||
EbTaf(t) |
= |
e2πibtf(t − a); |
|
|
|
|
|
|||||||
T |
D |
f(t) = a |
−1/2 f |
t − b |
; |
|
|
|||||||
b |
a |
|
|
| | |
|
|
a |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|||
DaTbf(t) = |a|−1/2 f |
|
− b ; |
||||||||||||
a |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|||
EbDaf(t) |
= |
e2πibt |a|−1/2 f |
|
; |
||||||||||
a |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
DaEbf(t) |
= |
e2πibt/a |a|−1/2 f |
|
; |
||||||||||
a |
h |
Пусть |
= |
h |
|
|
F |
|
|
i |
|
|
|
.h Тогда:i |
= |
h |
E−af, g |
i |
|
h |
|
|
i |
|
|
|||||||||
|
f, Tagi |
|
T−af, g |
|
, f, Eag |
|
|
, |
|
f, Dag |
|
|
= D1/af, g . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
f(t) −→ f(ω) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
(Taf) |
|
|
= E−ab |
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
a |
f) = D |
1/a |
|
|
|
|||||||||||||
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
f; (E |
f) = T |
|
f; (D |
|
|
f. |
|
||||||||||||||||
|
2. f0(t) |
|
|
F |
|
i2πωfb(ω). |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|||||||||||
|
|
|
|
−→ |
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fˆ(ω). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3. t · f(t) −→ |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2π |
dω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Доказательство. |
Первое свойство проверяется непосредственно: |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(t |
|
|
a)e−i2πtωdt = |
t = s + a |
|
= |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
− a = s |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Z−∞ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
dt = ds |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z+∞
=f(s)e−i(s+a)2πωds = fˆ(ω) · e−i2πaω.
−∞
78 ГЛАВА . ФУРЬЕ И ВЕЙВЛЕТ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ Второе свойство можно вывести из первого, переходя к пределу (lim a = 0) в равенстве
f(t + a) − f(t) |
F |
ei2πωafˆ(ω) − fˆ(ω) |
a |
−→ |
a |
Определение .5. Пусть f, g комплексно-значные функции определенные на R, их сверткой f ? g называют функцию:
|
(f ? g) (t) = Z |
f(t − y)g(y)dy, |
|
|
|
|
|
ïðè |
1 |
|
f L |
p |
(R) |
, ãäå |
1 ≤p p ≤ |
|
условии, что интеграл определен. Если |
|
|
|
|
∞, и g L (R), то f ? g существует почти всюду и f ? g L (R).
причем kf ? gkp ≤ kfkp kgk1.
Справедливы равенства:
4. F(f ? g) = F(f) · F(g),
5. F(f · g) = F(f) ? F(g).
Доказательство.
|
|
|
+∞ |
|
|
Z−∞ (f ? g)(t)e−i2πtωdt = |
|
|
|
+∞ |
+∞ |
= Z−∞ Z−∞ f(t − u)g(u)du e−i2πtωdt = |
|||
+∞ |
+∞ |
+∞ |
|
= Z−∞ Z−∞ g(u)e−i2πuωdu Z−∞ f(t − u)e−i(t−u)2πωdt = |
|||
+∞ |
+∞ |
+∞ |
|
= Z−∞ |
|
Z−∞ |
g(u)e−i2πuωdu Z−∞ f(v)e−i2πv)ωdv = |
= F(f)(ω) · F(g)(ω).
Упражнение. Доказать свойство 5.
79
Теорема .2 (Формула Пуассона). Пусть f S(R) быстро
убывающая функция, тогда
+∞ |
+∞ |
XX
f(t + n) = fb(k)ei2πkt,
n=−∞ k=−∞
ãäå fˆ образ Фурье функции f. |
|
|
|||
Доказательство.ðÿä |
Òàê êàê f(t) |
быстро убывающая функция, то |
|||
|
|
|
+∞ |
|
|
|
g(t) = |
X |
|
|
|
|
f(t + n) |
||||
абсолютноКоэффициентысходится,Фурьеи g |
n=−∞ |
|
|
||
C∞(R), причем g(t) = g(t + 1). |
|||||
|
|
|
|
g ïîгильбертова простран- |
|
ортонормированной системе{ck} |
|
||||
|
|
|
функции |
|
отношению к полной |
ñòâà L2[0, 1] равны: |
ei2πkt : k Z |
|
Z 1
ck = g(t)ei2πktdt =
0 Z 1 +∞
X
=f(t + n)ei2πktdt =
0 n=−∞
+∞ Z 1
X
=f(t + n)ei2πktdt =
n=−∞ 0
+∞ Z n+1
X
=f(t)ei2πktdt =
n=−∞ n
Z+∞
=f(t)ei2πktdt = fˆ(k).
−∞
Следовательно, справедливо разложение Фурье:
|
+∞ |
+∞ |
|
X |
X |
g(t) = |
ckei2πkt = |
fˆ(k)ei2πkt. |
|
k=−∞ |
k=−∞ |
Èòàê |
+∞ |
+∞ |
|
X |
X |
|
f(t + n) = |
fˆ(k)ei2πkt. |
|
n=−∞ |
k=−∞ |
80 ГЛАВА . ФУРЬЕ И ВЕЙВЛЕТ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Упражнение. Доказать обобщение формулы Пуассона
Xl |
X |
|
hf(t), g(t − l)ie−i2πωl = |
fˆ(ω + k)ˆg(ω + k) |
|
|
k |
3. Соотношение неопределенности Гейзенберга
миПредположим,центрами и сфункцияконечнымиψ èрадиусамиего образ Фурье. Эти величиныψb функцииопределяютсяс конечныформулами
x =
2 |
= |
|
x |
||
|
ω=
2 |
= |
|
ω |
||
|
1
kψk2
1
kψk2
1
2ψb
1
2ψb
Z +∞
x |ψ(x)|2 dx,
−∞
Z +∞
(x − x)2 |ψ(x)|2 dx,
−∞
Z +∞ 2
ωψb(ω) dω,
−∞
+∞ |
(ω − ω)2 |
ψ(ω) |
|
2 |
||
Z−∞ |
|
dω. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
как плотность распределения случайной величины |
ψ(t)ψ(t)/kψk |
2, |
||||||
Если рассматривать неотрицательную функцию |
|
|||||||
ãðàë |
|
|
|
|
t, òî åñòü èíòå- |
|||
p = Za |
b |
|
|
|
|
|
|
|
ψ(ktψk2 |
dt |
|
|
|
|
|||
|
|
)ψ(t) |
|
|
|
|
|
есть вероятность того, что случайная величина t [a, b]. То интеграл
|
|
1 |
+∞ |
t = |
|
Z−∞ x |ψ(t)|2 dt |
|
kψk2 |
есть среднее значение или математическое ожидание t, а интеграл
|
1 |
+∞ |
|
|
2 |
|
t2 = |
|
Z−∞ t − t |
|
|ψ(t)|2 dt |
||
kψk2 |
|