Met2009
.pdf6. НОРМА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА |
21 |
||||||||
6.4. Доказать, что следующие операторы являются линейного огра- |
|||||||||
ниченными операторами и найти их нормы (в пунктах и),д),м) |
|||||||||
оценить). Какие из этих операторов являются достижимыми? |
|
||||||||
á) |
A : C[0, 1] → C[0, 1], |
|
t |
|
|
|
|||
Ax(t) = R0 x(τ,)dτ |
, |
|
|||||||
à) |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
A : C[0, 1] → C[0, 1] |
Ax(t) = 3x(0) |
|
|
|||||
â) |
A : C[0, 1] → C[0, 1], Ax(t) = t2x(0), |
|
|
||||||
ã) |
A : C[0, 1] → C[0, 1],Ax(t) = |
x(t2) |
|
|
|
|
|||
2 , |
|
|
|||||||
ä) |
A : C1[0, 1] → C[0, 1], Ax(t) = x(t), |
|
|
||||||
å) |
A : C1[0, 1] |
→ |
C[0, 1], Ax(t) = x0(t), |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ) |
A : L2[0, 1] → L2[0, 1], Ax(t) = t R01 x(τ)dτ, |
|
|||||||
|
|
→ |
|
|
|
0 , t > λ. λ (0, 1), |
|
||
ç) |
A : L2[0, 1] |
|
L2[0, 1], Ax(t) = |
x(t), t ≤ λ |
|
||||
ê) |
|
|
|
|
t |
x(,τ)dτ, |
|
||
A : L21[0, 1] → L2[0, 1],,Ax(t) = R0 |
|
||||||||
è) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A : H [0, 1] → L2[0, 1] Ax(t) = x(t) |
|
|
||||||
ë) |
A : H1[0, 1] → H1[0, 1], Ax(t) = tx(t), |
|
|
||||||
ì) |
A : H1[0, 1] → L2[0, 1], Ax(t) = tx(t). |
|
|
6.5. В пространстве l2 рассмотрим оператор A, переводящий элемент
x = (x1, x2, . . . ) l2 в элемент Ax = (λ1x1,λ2x2, . . . ) l2, ãäå λn R.
а) Доказать, что при любых λn оператор A линейный. б) При каких условиях на λn, D(A) = l2?
в) Придетограниченнымкаких условияхи накаковапоследовательностьбудет его норма?λn оператор A áó-
ã) Åñëè A ограниченный оператор, то всегда ли найдется x l2, x 6= 0 такое, что kAxk = kAkkxk ?
д) Приявляетсякакихподпространствомусловиях на последовательность λn множество R(A)
l2 ?
22 ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
6.6.что дляПредположим,того, чтобычтоформулаΨ(t) измерима на отрезке [0, 1]. Доказать,
ограниченный оператор в |
Ay = Ψ(t)y(t) определяла линейный |
|
|
L1[0, 1], необходимо и достаточно, чтобы |
|
Оператор . |
|
|
Ψ(6.7t.) L∞[0, 1] |
|
|
A, действующий из C[0, 1], определен по формуле: |
||
t |
A |
A−1 состоит из |
функций R0 |
||
достижимымAx = x.(τДоказать,)sinτdτ. Найтичто областьнорму определенияивыяснить является ли он |
ференцируемаy(t), удовлетворяющихна условиям: 1) y(t) непрерывно диф-
6.8. Рассмотреть оператор[0, 1]; 2) èçy(0)предыдущей= y0(0) = 0 |
y00(0) |
|||||
|
|
|
|
|
;задачи3) |
каксуществуетоператор,. дей- |
достижимымиз |
. â |
|
. Найти его норму и выяснить является |
|||
ствующийли он |
L1[0, 1] |
C[0, 1] |
|
|
||
6.9. Пусть E = C[0,+∞] пространство непрерывных функций |
||||||
x(t), для которых kxk = |
sup |x(t)|. Будет ли ограниченным опе- |
t [0,+∞)
ратор A : E → E Ax(t) = tx(t)?
7. Замкнутые операторы
Опр 7.1. Пусть X, Y нормированные пространства, оператор
U : X → Y называется замкнутым, если из того, что xn D(U),
Опр 7.2и. Графикомследует,линейногочтооператора и |
Ux = y. |
|
xn → x Uxn → y |
x D(U) |
U с областью определения D(U) X и областью значений R(U) Y называется множество ОпрG X7.×3.Y,ЯдромG = {(x,линейногоUx) : x оператораD(U)}.
U с областью определения D(U) X называется множество всех прообразов нуля: kerA = {x
ТеоремаD(U) : U(x7).1=. 0}.
замкнутое множествоU замкнутв пространстветогда и только тогда, когда его график
Опр 7.4. Оператор |
X × Y. |
|
замкнутый операторU имеет замкнутое расширение, если существует |
||
SТеорема(x). |
7.2. |
S такой, что D(U) D(S) è x D(U) U(x) = |
|
||
тогда, когда изUтого,допускаетчто замкнутое расширение тогда и только |
||
÷òî |
|
xn → 0, xn D(U) è U(xn) → y, следует, |
Примерy = 0.7.1 Оператор
g : R3 → R2 задан формулой g(x1, x2, x3) = (x1, x2). Доказать, что график g замкнутое множество.
7. ЗАМКНУТЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
|
|
|
|
|
23 |
||||||
сходитсяДокажемкзамкнутость оператора. Пусть у нас |
Xn = (x1n, x2n, x3n) |
|||||||||||
|
0 |
0 |
0 |
|
, |
|
→ |
|
|
|
3, то показывать |
|
принадлежность |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
область определения |
) |
g(Xn) |
|
y |
. Покажем, что |
g(X0) = y |
||||||
(Òàê êàê |
X0 = (x1 |
, x2 |
, x3 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
g все пространство R |
|
|
||||||
æèì, ÷òî |
X0 |
к области определения не нужно). Предполо- |
g(X0) 6= y, тогда > 0, такое что в некоторой окрестности X0 ||g(X) − y|| > , íî âçÿâ Xn = (x1, x2 − 1/n, 0) получим:
p
||g(Xn) − g(X0)|| = (x1 − x1)2 + (x2 − x2 + 1/n2 = 1/n,
скольто естьугодновыбороммалогодостаточно большого n может быть сделан меньше
мкнут, а его график по.теоремеСтало быть7.1являетсяg(X ) =замкнутымy, то естьмножествомоператорза.-
0
7.1.ластьюРассмотримопределенияоператор A : C[0, 1] → C[0, 1], Ax(t) = x0(t) с обдифференцируемых наD(отрезкеA) линейным многообразием непрерывно
щих условиям |
[0 1] функций x(t), удовлетворяю- |
òîð. |
x(0) = x(1) = 0. Доказать, ÷òî A замкнутый опера- |
замкнут7.2. Доказать,тогда ичтотолькоограниченныйтогда, когдалинейный оператор A : X → Y 7.3. Доказать, что ядро замкнутого оператораD(A) замкнутоявляетсяв Xзамкнутым.
множеством.
Доказать, что −1 существует. 7.4. Пусть A замкнутый линейный оператор и A
A−1 замкнутый линейный оператор.
7.5.зать,Пустьчто A : X → Y линейный оператор, X,Y Банаховы. Доканорме A является замкнутым тогда и только тогда, когда D(A) â
7.6. Замкнутоеkxk = kxподпространствоk + kAxk Банаховопространствапространство.
1
непрерывно дифференцируемых функций, конечномерноC[0, 1], состоящее.Доказатьиз.
7.7.мкнутыхПустьподпространствБанахово пространство X разложено в прямую сумму за-
æèâ äëÿ X1 è X2. Введем в X вторую норму, поло- что нормыx = x1 + x2 (x1 X1,x2 X2) kxk = kx1k+ kx2k. Показать,
ратора |
kxk |
kxk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
проектированияи эквивалентнына |
. Доказать ограниченность опе- |
|||||||||
|
|
X1 параллельно X2. |
|
R0 |
|
|
(t)dt |
|
|||
7не.9.эквивалентныПусть |
â C[0, 1]. kxk1 = |
0≤t≤1| | |
k k2 |
|
x |
2 |
1/2 |
||||
7.8. Проверить, что нормы |
max x(t) è |
x |
= |
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
ограничен иA, B : X → Y линейные операторы, A замкнут, B D(A) D(B). Доказать, что A + B замкнутый.
24 ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
8. Обратные операторы. Спектр оператора
Опр 8.1 Пусть X, Y линейные нормированные пространства, имноU : X однозначно→ Y линейный.Тогдаоператор,существуетотображающийобратный операторD(U) íà R(U) âçà-
U−1 : Y →
X,ющийсяотображающийнепрерывнымR(U. )ОбратныйнаD(U) взаимнооператороднозначноопределяетсяи такжечерезявлясо--
|
U− |
(U(x)) = E(x) |
|
U(U− |
(x)) = E(x) |
|
E(x) |
|
|
тождественныйотношение 1 |
оператор ( |
|
èëè |
1 |
|
, ãäå |
|
- |
|
Опр 8.2 Линейный операторE(x) = x). |
|
|
|
|
|||||
обратимым, если |
|
U : X → Y называется непрерывно |
|||||||
LТеорема(Y, X). 8.1. |
R(U) = Y, U−1 существует и ограничен, т.е. U−1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
когда |
U−1 существует и U−1 L(Y, X) тогда и только тогда, |
||||||||
x D(U) kUxk ≥ m kxk , ãäå m некоторая постоянная, |
|||||||||
mТеорема> 0. |
8.2. Пусть |
|
|
|
|
L(X, Y ), |
|||
|
|
X, Y |
пространства Банаха, U |
||||||
RТеорема(U) = Y (Банахаи U обратимо замкнутом. Тогда U непрерывнографике). обратимЕсли. |
|
|
|
||||||
ства Банаха, а оператор |
|
|
|
X, Y простран- |
|||||
непрерывен. |
U : X → Y , D(U) = X è U замкнут, то U |
||||||||
мкнутТеоремаи |
8.3. Пусть X, Y нормированные пространства, U çà- |
||||||||
U−1 существует, тогда U−1 замкнут. |
|
|
|
||||||
пространства,Теорема (Банаха об обратном операторе) . X, Y |
банаховы |
однозначный, тогдаU непрерывный D(U) = X, R(U) = Y è U взаимно U−1 непрерывен.
Опресли существует8.3 Число λ называется собственным значением оператора A, вектор x 6= 0, x D(A) такой, что Ax = λx. Ïðè ýòîì Îïð 8.x4 называетсяМножествособственным вектором оператора A.
зывается спектром линейногоσ(A) = оператора{λ C : A − λE необратимый} íà- A. В конечномерном случае
σ(A) совпадает с множеством собственных значений оператора .
ный8.1. Пустьоператор,X,Yу котороголинейныесуществуетпространства,обратныйA. Доказать,: X → Y что систелиней--
мы элементов x1, x2, . . . , xn è Ax1, Ax2, . . . , Axn, ãäå x1, x2, . . . , xn
8D.2(A. )Пусть,одновременно линейно независимы или линейно зависимы. X линейное пространство, A : X → X линейный
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ К ГЛАВЕ 2 |
25 |
||||
8.3. В пространстве |
|
|
|
λk R(k |
существует. |
соотношениюоператор, удовлетворяющий при некоторых |
|
= 1, . . . , n) |
|||
E+λ |
A+ |
+λ |
An = 0. Доказать, что A−1 |
|
|
1 |
1 · · · |
n |
|
|
|
|
C [0, 1] рассмотрим подпространство L = {x(t) |
C1[0, 1] : x(0) = 0} и оператор A : L → C[0, 1], Ax(t) = x(t)0 +a(t)x(t),
a8.4.(t) C[0 |
1]. Доказать,что операторчто A непрерывно обратим. |
|
|
|
|||||||||
Доказать, |
1 |
|
|
A : C[0, 1] |
→ |
C[0 1], |
|
|
|
|
|
||
8.5. Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
Ax(t) = x(t) + |
0 es+tx(s)ds непрерывно обратим, и найти A−1 |
|
|
||||||||||
|
X RБанахово пространство. Доказать, что в пространстве |
||||||||||||
Lоткрытым(X) множество. всех непрерывно обратимых операторов является |
|||||||||||||
ные8.6. Ввекторапространствеоператора:C[−π, π] найти собственные значения и собствен- |
|||||||||||||
à) Ax(t) = x(−t); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
á) Ax(t) = |
π |
cos(s + t)x(s)ds. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пространствечто |
C[0, 1] |
рассмотрим оператор |
Ax(t) = tx(t) |
. Äî- |
|||||||||
8.7.казать,В |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
собственнымσ(значениемA) = [0, 1]., причем ни одна точка спектра не является |
|||||||||||||
8.8. В пространстве C[0, 1] рассмотрим оператор |
|
|
|
|
|
||||||||
|
t |
|
|
|
|
), R (A). |
|
|
|
|
|
||
8.9. Рассмотрим оператор. Найти |
|
|
|
|
|
||||||||
Ax(t) = R0 x(τ)dτ |
A :σl(2A→ l2λAx = (λ1x1, λ2x2, . . . ) äëÿ |
|
|||||||||||
x8.10.= ( x1 x2 |
|
|
что, любоегде компактное ,множество |
на. Найтикомплексной. |
|||||||||
, . . . ) l2 |
λn C (n N) |
sup|λn| < |
∞ |
σ(A) |
|||||||||
Доказать, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8плоскости.11.Пустьявляется спектром некоторого оператора A L(l2). |
|
|
|||||||||||
è |
A,B L(X). Доказать, что ненулевые элементы |
σ(AB) |
σ(BA) совпадают.
Вопросы для самопроверки к главе 2
1. Приведите пример нелинейного оператора.
2. Приведите пример оператора, ядро которого - пустое множество. 43.. ПриведитеДокажите, примерчтоеслинедостижимогооператор A - линейный,операторато. A(0) = 0.
6.Приведите пример линейного оператора, не имеющего обратного2? .
5.Возможен ли незамкнутый оператор в пространстве R
7.Существует ли обратный оператор у E?
Глава 3
Сопряженное
пространство
9. Непрерывные линейные функционалы
Опр 9.1. Пусть X, Y нормированные пространства, оператор f : X → Y, ãäå Y = R èëè Y = C, называется функционалом.
Часто вместо f(x) линейные функционалы обозначаются как <
x, f >.
Поскольку линейный функционал является частным случаем линейного оператора, для него остаются в силе понятия непрерывности, ограниченности и т.д.
Опр 9.2. Пространство непрерывных линейных функционалов обозначаетсяL(X, Y ), ãäå Y = R èëè Y = C, называется сопряженным к X è
Пример 9.1.XÂ .пространстве
L2[0, 1] задан функционал f(x(t)) = R 10tx(t)dt/2. Найти его норму. Является ли он достижимым?
|| || |
||x||≤1| |
R |
0tx(t)dt/2| |
|
|
L2[0, 1] ||x(t)|| = q |
R |
0x |
|
(t)dt |
|
||
f |
= sup |
1 |
. В пространстве |
|
|
1 |
2 |
|
, |
||||
потому, |
|
|
|
f ||x|| |
|
|
|
|
|
||||
|
|
чтобы выделить из интеграла |
, воспользуемся неравен- |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26
9. НЕПРЕРЫВНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ |
27 |
ством Гельдера для степени 1/2:
ss
|
|
|
|
|
Z |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
a |
|
|
|
|
Z |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
b x(t)y(t)dt ≤ |
|
|
b x2(t)dt |
|
b y2(t)dt |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Приняв y(t) = t/2, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
||f(x)|| ≤ sZ |
1x2(t)dtsZ |
|
|
t |
dt = |
2√ |
|
sZ |
1x2(t)dt |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
шеПервая1. Отсюдачасть этого |
выражения - в точности |
||x||, а потому не боль- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|| |
f |
|| ≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
обращается в равенство√только. Неравенствопри |
Гельдера для степени 1/2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ем найти функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a(t) = λb(t), потому попробу- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0(t), на которой достигается равенство, в ви- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t норма равна |
q |
13t2dt = 1, à |
||||||||||||||||||||||
äå λt. Заметим, что для x0 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1√ |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
онал достижим0 (норма |
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
√ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Пример |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
x0(t) |
|
|||||
|| |
|| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|| |
|
|| |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
||||||
f(x0) |
|
= |
|
|
3t dt/2 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
достигается. Такимнаобразом,найденном выше и функци- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
9.2. В пространстве |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
). |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R3 норма задана как ||x|| = |x1|+|x2|+ |
|||||||||||||||||||||||||
. Найти норму функционала |
|
f(x) = 5x1 |
− 6x2 + x3. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|x3| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Условие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим,||÷òîx|| ≤ïðè1 запишетсяэтом условиив данном случае как |x1|+ |x2|+ |x3| ≤ 1.
6(|x1| + |x2| + |x3|) = 6 |
|5x1 −6x2 + x3| ≤ 5|x1|+ 6|x2|+ |x3| ≤ |
||
. Отсюда |
||f|| ≤ 6 |
|
|
элемент |
|
. Осталось заметить, что |
Стало быть,xˆ = (0, −1, 0) лежит в единичном шаре и при этом f(ˆx) = 6.
||f|| = 6.
являются9.1 Доказать,линейнымичто следующиенепрерывнымифункционалыи найтив ихпространственормы: C[−1, 1]
à) < x, f >= Pn1 αkx(tk), где набор чисел αk R è t1, t2, . . . , tn
[−1, 1] фиксированы;
á) < x, f >= R01 x(τ)dτ.
9.2.функционалы:Будут ли ограниченными в пространстве C[0, 1] следующие
à) < x, f >= R01 x(√τ)dτ ; á) < x, f >= R01 x(τ2)dτ ;
28 |
|
ГЛАВА 3. |
|
СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО |
||||||||||
â) |
|
lim |
|
1 x(tn)dt? |
|
|
|
|
||||||
|
< x, f >= n→∞ R0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9.3. Доказать, что следующие функционалы являются линейными |
||||||||||||||
непрерывными, и найти их нормы. Выяснить какие из этих функци- |
||||||||||||||
оналов являются достижимыми. |
|
|
|
|
||||||||||
à) |
< x, f >= −11 tx(t)dt, x C[−1, 1]; |
|
|
|
|
|||||||||
á) |
< x, f >= |
R−11 tx(t)dt, x C1[−1, 1]; |
|
|
|
|||||||||
â) |
< x, f >= |
R−11 tx(t)dt, x L1[−1, 1]; |
|
|
|
|||||||||
ã) |
< x, f >= |
R−11 tx(t)dt, x L2[−1, 1]; |
|
|
|
|||||||||
æ) |
|
R 1 |
|
1/3 |
x(t)dt, x L2[−1, 1]; |
|
||||||||
< x, f >= R−1 t− |
|
, |
|
|||||||||||
ä) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< x, f >= x1 + x2 x = (x1, x2, . . . ) l2 ; |
|
||||||||||||
ç) |
< x, f >= |
1∞ xk/k, x = (x1, x2, . . . ) |
|
l2 ; |
|
|||||||||
è) |
|
P∞ |
(1 −, |
1 |
|
|
, |
|
|
|
|
; |
||
ê) |
< x, f >= P1 |
k )xk |
|
x = (x1, x2 |
, . . .;) l1 |
|
||||||||
|
< x, f >= x1 + x2 |
|
x = (x1, x2, . . . ) m |
|
|
|||||||||
ë) |
|
∞ |
|
k+1 |
|
, |
|
x = (x1, x2, . . ..) c0 |
; |
|||||
ì) |
< x, f >= P1 |
2− |
, |
|
xk |
|
|
|
||||||
|
< x, f >= nlim xn |
x = (x1, x2, . . . ) c |
|
|
||||||||||
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
непрерывными9.4. При каком взначениипространствеp функционалы а),б) задачи 9.2 являются
9.5. Доказать, что в нормированномL [0,пространстве1]?
p
функционала либо замкнуто (тогда и только тогда,Xкогдаядро линейногооннепре-
рывен),.6.9 Доказать,либо всюдучто плотноеесли множество в X.
ция, определенная на g(t) ограниченная измеримая функдуля на множестве положительной[0, 1] и достигающаямеры, тосвоегофункционалмаксимума мо-
R |
|
|
|
|
|
f(x) = |
|
1 |
функционалв |
,является достижимым. |
”c0” |
||||
|
|
|
f(x) = |
1 anxn |
|||
9.07.x(Доказать,t)g(t)dt, заданныйчто |
L1[0, 1] |
∞ |
|
|
|||
является достижимым в том и только в |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
том случае,, когдазаданныйпоследовав |
-, |
тельностьфинитной,aåñëè= (aâñå, a åå, . .элементы. ) финитнаравны.(Последовательность0 с некоторого номера)называется.
1 2
10. ТЕОРЕМА ХАНА-БАНАХА |
|
|
29 |
|
является9.8. Доказать,достижимымчто функционалв том и только в том∞ |
anxn |
”l1” |
|
|
f(x) = |
P1 |
, |
||
|
случае,,когдазаданныйсуществуетв |
n0 такое, что an0 = sup{an : n N}.
10. Теорема Хана-Банаха
Опр 10.1. Пусть X векторное пространство, функционал p : X → R называется1) положительным однородно-выпуклым, если
2) p(x) ≥ 0, p(0) = 0;
3) p(λx) = λp(x) λ > 0;
Теоремаp(x +(Õàíày) ≤ p-(x + p(y).. Пусть |
|
Банаха) |
X0 линейное подпространство |
векторного пространства |
X, f0 : X0 → R линейный функционал, p : X → R положительный однородно-выпуклый функционал и f0(x) ≤ p(x), x X0, тогда существует линейный функционал f : X →1)R, обладающий свойствами:
2) f(x) = f0(x), x X0;
Теоремаf(x) ≤ p x)-,Банаха,x X. комплексный случай) . Пусть |
||
(Õàíà |
|
X âåê- |
торное пространство (комплексное), |
||
линейный функционал на |
X0 |
подпространство X, f0 |
1) |
X0, p полунорма, т.е. |
|
2) p(x) ≥ 0, p(0) = 0; |
|
|
3) p(λx) = |λ|p(x); |
|
|
p(x + y) ≤ p(x) + p(y), и выполнено условие подчиненности |
|f0(x)| ≤ p(x), x X0, тогда существует линейный функционал f : X1) → C, такой, что:
2) f(x) = f0(x), x X0;
Следствие|f(x)| ≤1.pПусть(x).
X нормированное пространство, тогда x X0 существует функционал f X такой, что ||f|| = 1 è f(x0) =
||Следствиеx ||. (Опорный2. Пустьфункционал).
0
ного пространства L замкнутое подпространство нормирован-
|
|
такой, что |
0 |
0 |
|
1 |
íàë |
|
X, x |
|
X è x |
/ L, тогда существует функцио- |
|
|
f X |
|
f(x) = 0, x L, f(x0) = 1 è ||f|| = d , ãäå |
|||
dÎïð= ρ(10x .,2L.).Элементом наилучшего приближения для элемента |
||||||
множестве |
|
|
|
|
x â |
|
|
A называется такой элемент a A, ÷òî ρ(x, A) = ρ(x, a) |
30 |
|
ГЛАВА 3. |
СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО |
|||||||
Пример 10.1. |
 |
пространстве R2 задано подпространство L = |
||||||||
{ |
|
|
|
} |
|
2 |
|
→ |
|
|
|
(x1, x2) : x1 |
= x2 |
|
. Функционал |
f : L R f(x1 |
, x2) = 3x1 |
. Можно |
|||
ли продолжить |
|
|
|
|
|
|
|
|||
ли образом? |
|
f íà âñå R |
|
с сохранением нормы и единственным |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Сперваный однороднопроверим-выпуклый,возможностьно продолжения. f(x) - не положительми необходимыми свойствами.f((x) ≤ 3|x1|, который обладает все-
3|x1| ≥ 0, 3|λx1| = 3λ|x1|(λ > 0),
можно3|x + yутверждать,| ≤ 3|x | + ÷òî3|y |продолжение). Таким образом,есть. (ХотяпотеоременичегоХанане известно-Банаха
1 1 1 1
относительно его нормы - она может и не сохраняться при продол- |
||
жении). |
|
2 линейные функ- |
ционалы имеют вид |
В пространстве R |
|
Попробуем найти продолжение. |
|
|
c1x1 + c2x2 |
. Продолжение f(x) (обозначим его |
g(x)) должно совпадать с нашим функционалом на подпространстве
ореме Хана-Банаха |
= 3x1 |
, òî åñòü |
c1+c2 = 3 |
. С другой стороны, по те- |
|||||||||||||||||||
L, потому 1x1 |
+2x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Âçÿâ |
|
|
|
|
|
|
|
g(x) ≤ 3|x1| x, òî åñòü c1x1 +(3−c1)x2 ≤ 3|x1| x. |
|||||||||||||||
|
|
x1 = 0, получим c2x2 ≤ 0 x2. Заметим, что если c2 6= 0, òî ïðè |
|||||||||||||||||||||
x2 < 0 c2 |
< 0 |
, ïðè |
x2 |
> 0 c2 |
> 0 |
, òî åñòü |
c2 |
|
|||||||||||||||
той. Таким образом, это возможно только принеможет быть констан- |
|||||||||||||||||||||||
c2 = 0, c1 |
= 3 |
|
|
|
g(x) = 3x1 |
|
|
|
|
c2 = 0. Стало быть, |
|||||||||||||
, òî åñòü |
|
. Проверим, сохраняет ли оно |
|||||||||||||||||||||
Мы нашли продолжение функционала. |
|||||||||||||||||||||||
норму. ||f|| = |
sup |3x1| = 3. (Максимум достигается в точке (1, 0)). |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||x||≤1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||g|| = |
|
sup |
|
|3x1|. Òàê êàê ||x|| = √ |
|
, à íà L x1 = x2, òî |
|||||||||||||||||
|
|
x12 + x22 |
|||||||||||||||||||||
p |
|
|
(||x||≤1)∩L |
|
|x1| ≤ 1/√2 |
|
|
|
|
||g|| ≤ 3/√2. ||f|| 6= ||g|| |
|
||||||||||||
2x1 |
2 |
≤ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
, òî åñòü |
|
|
|
|
|
, откуда |
|
|
|
|
|
, à |
|||||||
òàê êàê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
требуемымg - образомединственноеневозможнопродолжение,. то продолжить функционал
çîì:
10.1. Предположим, что в
kxk = max{|x1|,|x2|}. Зададим на одномерном подпространстве
сохранением{ нормы} . Является ли требуемое продолжение единствен2 -с L = x : x2 = 0 функционал f(x) = 2x1. Продолжить f на все R
íûì?
10.2. Решить предыдущую задачу, если:
à) kxk = |x1| + |x2| ; L = {x : x2 = 0}; f(x) = 3x1 ;
( á) kxk = max{|x1|,|x2|}; L = {x : x2 = kx1}; f(x) = −x1
k-константа).