Рассмотрим гипотезы Н1 - герб выпал в первый
же раз, Н2 - в первый раз он не выпал. Очевидно, р(Н1) = р(Н2) = ½; Мx / Н1 = 1; Мx / Н2 на 1
больше искомого полного матожидания, т.к. после первого бросания монеты ситуация не изменилась, но один раз она уже брошена.
Используя формулу полного математического
ожидания, имеем
Мх = Мx / Н1×р(Н1) + Мx / Н2×р(Н2) = 1×0.5 + (Мх + 1)×0.5 ,
разрешая уравнение относительно Мх, получаем сразу Мх = 2 .
А сколько раз надо бросать монету до
десятого выпадения герба?
Рассмотрим более общий случай: сколько пройдет испытаний до первого появления события, если его вероятность Р . Гипотеза Н1 - оно появилось в первый же раз, Н2 - в первый раз оно не появилось. Очевидно, р(Н1) =Р,
р(Н2) = 1-Р; Мx / Н1 = 1; Мx / Н2 на 1 больше искомого полного матожидания, т.к. После первого испытания ситуация не изменилась, но одно испытание уже сделано.
Используя формулу полного математического ожидания, имеем Мх = Мx / Н1×р(Н1) + Мx / Н2×р(Н2) = 1×Р + (Мх + 1)×(1-Р)=P+Мх-Mx×P+1-P : -Mx ×P+1=0 разрешая уравнение относительно Мх, получаем сразу Мх = 1/Р .
e . Если f(x) - есть функция случайной величины
х, то определено понятие математического ожидания функции случайной величины:
- для дискретной случайной величины:
Сумма берется по всем значениям, которые принимает случайная величина. Ряд должен быть абсолютно сходящимся.
-для непрерывной случайной величины:
Интеграл должен быть абсолютно сходящимся.
Определение: Дисперсией случайной величины х называется математическое ожидание квадрата отклонения значения величины от ее математического ожидания: Dx = M(x-Mx)2
- для дискретной случайной величины:
Сумма берется по всем значениям, которые принимает случайная величина. Ряд должен быть сходящимся (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет дисперсии)
- для непрерывной случайной величины:
Интеграл должен быть сходящимся (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет дисперсии)
a . Если С - постоянная величина, то DС = 0 b . DСх = С2Dх
c . Дисперсия суммы случайных величин равна сумме их дисперсий только, если эти величины независимы
d . Для вычисления дисперсии удобно использовать формулу:
Dx=M(x-Mx)2=M[x2-2xMx+(Mx)2]=Mx2-(Mx
Связь числовых характеристик
параметрами законов распределения
Распределение Бернулли.
Введем случайную величину , равную 1 , если
А произошло, и 0, если не произошло , т.е.=1 с вероятностью р и 0 с вероятностью (1-р). М =р. В серии из n независимых испытаний
просуммировано n значений . m=n ,
Mm=np.
D =M 2-(M )2=12*p-p2=p(1-p)=pq
Распределение Пуассона
Dm=npq
np=a q~1
Mm=a
Dm=a
