Пример : Кость бросают 5 раз, какова вероятность того, что 6 очков выпадет дважды ?
n = 5,
m = 2, p = 1/6, q = 5/6
Распределение Пуассона получается как предельный случай распределения Бернулли, если устремить р к нулю, а n к бесконечности, но так, чтобы их произведение оставалось постоянным: nр = а. (p=a/n)
P(m)=
Параметр распределения: a
Распределению Пуассона подчиняются очень многие случайные величины, встречающиеся в науке и практической жизни.
Пример1 : число вызовов, поступающих на станцию скорой помощи в течение часа.
Разобьем интервал времени Т (1 час) на малые интервалы dt, такие что вероятность поступления двух и более вызовов в течение dt пренебрежимо мала, а вероятность одного вызова р пропорциональна
dt: р = μdt ;
будем рассматривать наблюдение в течение моментов dt как независимые испытания, число таких испытаний за время Т: n = T / dt.
Если предполагать, что вероятности поступления вызовов не меняются в течение часа, то полное число вызовов подчиняется закону Бернулли с параметрами: n = T / dt, р = μdt . Устремив dt к нулю, получим, что n стремится к бесконечности, а произведение n×р остается постоянным: а =
Пример 2: число молекул идеального газа в некотором фиксированном объеме V.
Разобьем объем V на малые объемы dV такие, что вероятность нахождения двух и более молекул в dV пренебрежимо мала, а вероятность нахождения одной молекулы пропорциональна dV: р = μdV; будем рассматривать наблюдение каждого объемчика dV как независимое испытание, число таких испытаний n=V/dV; если предполагать, что вероятности нахождения молекулы в любом месте внутри V одинаковы, полное число молекул в объеме V подчиняется закону Бернулли с параметрами: n = V / dV,
р = μdV. Устремив dV к нулю, получим, что n стремится к бесконечности, а произведение n×р остается постоянным: а = n×р =μV.
Определение:
Математическим ожиданием называется - для дискретной случайной величины:
Сумма берется по всем значениям, которые принимает случайная величина. Ряд должен быть абсолютно сходящимся (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет математического ожидания)
- для непрерывной случайной величины:
Интеграл должен быть абсолютно сходящимся (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет математического
ожидания)
Если на стержне в точках х подвешены грузы весом р, то координата центра тяжести определяется по формуле:
Поэтому иногда положение Мх можно определить «на глаз» по форме кривой
a . Если С - постоянная величина, то МС = С
b . МСх = СМх
c . Математическое ожидание суммы случайных величин всегда равно сумме их математических ожиданий: М(х+y) = Мх + Мy
d. Вводится понятие условного
математического ожидания. Если случайная величина принимает свои значения хi с различными
вероятностями p(xi/Hj) при разных условиях Hj, то условное
математическое ожидание определяется как
Если известны вероятности событий Hj, может быть найдено полное математическое ожидание:
Пример: Сколько раз в среднем надо бросать монету до первого выпадения герба ?