Пусть событие А может произойти только совместно с одним из несовместных между собой событий Hi .

Вертикальные линии разделяют события H

Р(А) = Р( АН1 ) + Р( АН2 ) + Р( АН3 ) или в общем случае P(A) = Σ P( AHi ) . Отсюда, получаем

формулу полной вероятности:

Пример1: Магазин закупает оптом половину всех компьютеров у фирмы LLL, треть - у фирмы

МММ и 1/6 - у фирмы NNN. У фирмы LLL 10% компьютеров с браком, у фирмы МММ брак составляет 5%, а у фирмы NNN - 15%. Какова вероятность того, что наудачу выбранный компьютер в этом магазине - бракованный ? Дано: Р(Н1) = 1/2, Р(Н2) = 1/3, Р(Н3) = 1/6, Р(А/Н1) = 0.1, Р(А/Н2) = 0.05,

Р(А/Н3) = 0.15.

Получаем:

P(A)=0.1*1/2+0.05*1/3+

0.15*1/6=0.092

следующих условиях: монета бросается до тех пор,

пока серия бросков не закончится выбранной

игроком парой, тогда он выигрывает. Если Петя

выбрал ГГ, а Коля РР, очевидно, вероятности

выигрышей одинаковы. А если Петя –ГГ, а Коля- РГ?

Например: ГГ- Петя выиграл, РРРРГ- Коля

выиграл.

Вычислим вероятность выигрыша Пети с помощью формулы полной вероятности , используя гипотезы:

Н1- первый бросок-герб, Н2- первый бросок-

решка.

Р(ГГ)=Р(ГГ/Н1)Р(Н1)+Р(ГГ/Н2)Р(Н2)=

Доля выигрышей у комбинаций , стоящих в вер строке по сравнению с комбинацией в столбце.

В предыдущем примере можно поставить и другой вопрос. Обнаружен компьютер с браком, какова вероятность, что он получен от фирмы NNN ? Т.е. зная вероятности Р(Нi), которые называются априорные вероятности гипотез Нi, и условные вероятности Р(А/Нi) события А при каждой гипотезе, мы хотим найти апостериорную вероятность Р(Нi/А) i-той гипотезы при условии, что

событие А произошло:

Заменив знаменатель формулой полной вероятности , получаем:

Пример 3: Студент приходит в медпункт и жалуется на плохое самочувствие, хотя по виду этого не скажешь. У медсестры две гипотезы Н1 - он действительно болен, Н2 - он здоров, но хочет получить справку, например, для продления сессии. По внешнему виду она оценивает априорные вероятности Р(Н1) = 0.3, Р(Н2) = 0.7 и ставит ему градусник. Измеренная температура 37.5 (событие А). Предположим, Р(А/Н1) = 0.9 (не при всякой болезни повышается температура), Р(А/Н2) = 0.05 (у некоторых здоровых людей нормальная температура немного повышена или студент мог незаметно натереть градусник). Теперь апостериорная вероятность того, что студент болен:

У медсестры есть все основания направить студента к врачу.

Эксперимент, результат которого существенно изменяет априорные вероятности гипотез, называют

информативным. Перед постановкой сложного и (или) дорогостоящего эксперимента всегда имеет смысл оценить его информативность на основе имеющихся данных об априорных и условных вероятностях.

Пусть имеется пространство

элементарных событий U, на нем построено поле событий и для каждого события А из этого поля определена вероятность Р(А). Каждому элементарному событию gi из U сопоставим число ξi. Потребуем, чтобы для любого х

(-∞ < x < +∞) множество А тех g, для которых ξ < x , принадлежало полю событий, т.е. для него определена вероятность Р{ξ < x} = P(A) = F(x). Тогда ξ называется случайной величиной, а F(x) - ее функцией распределения.

В строгом определении задание пространства элементарных событий означает по существу задание условий, в которых возникают те или иные значения случайной величины, а если эти условия заданы, то тем самым определена и F(x).

Например, нельзя сказать, что "температура - случайная величина". Но "температура воздуха, измеряемая на данной метеостанции в случайный момент времени в течение года" - случайная величина, "температура воздуха в случайно выбранной точке земного шара 1 января 2001г. в 12.00 по Московскому времени" - другая случайная величина.

F(+∞) = 1

F(-∞) = 0

F(x) - не убывающая функция х