4.1. Алгоритмы перевода целых чисел из фсс в десятичную систему и обратно

Как известно, все позиционные системы устроены одинаково и, следовательно, перевод из любой позиционной системы счисления в десятичную осуществляется по одному и тому же алгоритму.

В P-ичных системах счисления базис является геометрической прогрессией. Вклад в значение числа цифры a, стоящей на k-м месте слева, равен a-P^k, где P — основание системы счисления. Часто говорят, что “вес” k-го разряда равен P^k.

В ФСС “вес” каждого разряда числа также определяется базисом этой системы. Для удобства дальнейшей работы выпишем “веса” первых 10 разрядов ФСС (нумерацию разрядов ведем справа налево, начиная с первого). Такая нумерация разрядов удобна, поскольку в качестве веса k-го разряда используется k-е число Фибоначчи.

10-й разряд	9-й разряд	8-й разряд	7-й разряд	6-й разряд	5-й разряд	4-й разряд	3-й разряд	2-й разряд	1-й разряд
89	55	34	21	13	8	5	3	2	1

Пример 1. Пусть нам дано число A_fib = 10101010 записанное в фсс. Чему равно это число в десятичной системе счисления?

Чтобы ответить на этот вопрос, запишем цифры числа в разрядную сетку, затем умножим каждую цифру на вес разряда и сложим полученные числа. Так как цифрами фибоначчиевой системы счисления являются 0 и 1, то нам достаточно сложить веса тех разрядов, где стоят единицы.

8-й разряд	7-й разряд	6-й разряд	5-й разряд	4-й разряд	3-й разряд	2-й разряд	1-й разряд
34	21	13	8	5	3	2	1
1	0	1	0	1	0	1	0

Получим: A_fib = 10101010_fib = 34 + 13 + 5 + 2 = 54₁₀.

Алгоритм перевода целых чисел из фибоначчиевой системы счисления в десятичную

1. Напишем над каждой цифрой в фибоначчиевой записи числа, начиная с младшей цифры, вес соответствующего разряда.

2. Сложим все числа, стоящие над единицами. Полученное число будет десятичным эквивалентом фибоначчиева числа.

Пример 2. Решим обратную задачу. Запишем в фибоначчиевой системе счисления десятичные числа 10₁₀, 25₁₀ и 100₁₀.

Для решения нашей задачи достаточно подобрать такие числа Фибоначчи, сумма которых равна исходному десятичному числу. Например, число 10 можно представить суммой следующих чисел Фибоначчи: 10₁₀ = 5 + 3 + 2. Это позволяет записать нам 10₁₀ в виде 1110 (выполнили разложение по базису).

Однако это же число 10₁₀ можно записать в фибоначчиевой системе счисления и по-другому:

10₁₀ = 10010_fib = 1*8 + 0*5 + 0*3 + 1*2 + 0*1.

Аналогично, число 25₁₀ можно также записать несколькими способами:

25₁₀ = 1000101_fib = 110101_fib.

Число 100₁₀ можно записать как минимум шестью способами:

100₁₀ = 1000010011_fib = 1000010100_fib = 110010011_fib = 110010100_fib = 101110011_fib = 101110100_fib.