ЭЛЕКТРОТЕХНИКА Ч. 2 (PDF)
.pdf
Объединив два соотношения в (12.1), получим неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка для напряжения на конденсаторе
d 2uC |
|
R |
|
duC |
|
1 |
uC E |
1 |
. |
(12.2) |
|
L |
|
LC |
|
||||||
dt 2 |
|
dt |
|
LC |
|
|||||
Для решения полученного уравнения составим характеристический полином. Для этого заменим d
dt p , а правую составляющую уравнения приравняем к нулю
p2 |
R |
p |
1 |
0 . |
(12.3) |
|
L |
LC |
|||||
|
|
|
|
Характер свободной составляющей переходного процесса для всех токов и напряжений одной и той же цепи одинаков, зависит только от параметров R, L, C и определяется корнями характеристического по-
линома (12.4):
|
|
R |
|
R2 |
|
1 |
|
R |
|
|||
p |
|
|
|
|
|
D |
. (12.4) |
|||||
|
4L2 |
|
|
|||||||||
1,2 |
|
2L |
|
|
LC |
|
2L |
|
|
|
||
В зависимости от знака подкоренного выражения D решение для свободной составляющей напряжения на конденсаторе может иметь один из трех видов:
1.D > 0, два действительных отрицательных корня p1 и p2 ,
процесс апериодический
uСВ (t) A1e p1t |
A2e p2t ; |
(12.5) |
|
2. D |
< 0, два |
комплексно |
сопряженных корня - |
p1,2 |
j CB , процесс колебательный |
||
u |
СВ |
(t) Ae t sin( |
t ) ; |
(12.6) |
|
СВ |
|
|
3.D = 0, два равных действительных отрицательных корня - p1,2 p , процесс критический
u |
(t) (A |
A t)e pt . |
(12.7) |
СВ |
1 |
2 |
|
51
В (12.5)…(12.7):
A, A1 , A2 и - постоянные интегрирования,
- коэффициент затухания колебательного процесса,СВ - частота собственных затухающих или свободных колеба-
ний цепи.
Для исследуемой схемы можно найти из (12.4) значение сопротивления R, при котором значение D=0. Такое сопротивление называет-
ся критическим RKP и определяется выражением
|
|
|
|
R 2 L C . |
(12.8) |
||
KP |
|
||
Для колебательного процесса коэффициенты и СВ связаны
между собой, а также с параметрами цепи следующими соотношениями:
|
|
r 2L ; |
(12.9) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CB |
|
02 2 , |
(12.10) |
|||
где |
|
|
|
|
|
|
||
0 |
1 LC |
- резонансная |
угловая частота последовательного |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
колебательного контура.
Постоянные интегрирования определяются из начальных условий для искомого тока или напряжения. Так, для напряжения на конденсаторе в колебательном режиме получаем систему из двух уравнений:
uC |
(0) uCП (0) Asin |
|
|
|
(12.11) |
|
|
|
|
. |
|
uC |
(0) uСП (0) A sin A CB cos |
|
|||
Положим, что к моменту подключения напряжения E в схеме |
|||||
(рис. 12.1) нулевые начальные условия |
u |
C |
(0) 0 и |
i(0) 0 . Для |
|
|
|
|
|
|
|
определения начального значения производной напряжения записывается уравнение по второму закону Кирхгофа для момента времени t =
0+:
E R i(0) uL (0) uC (0) |
(12.12) |
Из (12.12) следует, что
52
|
|
u |
L |
(0) L i (0) E ; |
i(0) C u (0) 0 ; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
i(0) C |
0 |
. |
||
|
|
i (0) E L |
|
|
uC (0) |
|
||||||
Подставив начальные значения в систему уравнений (12.11) и с |
||||||||||||
учетом |
u |
(0) E , |
u |
|
(0) E , |
получим постоянные интегриро- |
||||||
|
Суст |
|
|
|
Суст |
|
|
|
|
|
|
|
вания A и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CB |
|
|
u |
|
|
||
|
|
arctg |
|
|
и |
A sin . |
|
(12.13) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
uC (t) |
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
3 |
uCу E |
|
|
|
||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0.001 |
0.003 |
C |
|
|
||
Рис. 12.2. Переходные процессы для напряжения на конденсаторе |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
uL (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
uL (0) |
E |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.002 |
|
0.004 |
0.006 |
|
|
|
|
Рис. 12.3. Переходные процессы для напряжения на катушке индук- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
тивности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53 |
|
|
|
|
На рис. 12.2…12.4 изображены графики переходных процессов |
||||||
для напряжения на конденсаторе u |
C |
(t) , напряжения на катушке индук- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
тивности u |
L |
(t) и тока в цепи |
i(t) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i(t) |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
UM 1 |
|
|
|
|
0.02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UM 2 |
|
|
|
0.01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
0 |
|
|
3 |
C |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0.01 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Tсв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.002 |
0.003 |
0.006 |
|
|
|
Рис. 12.4. Переходные процессы для тока |
||||
Зависимости 1 на рисунках соответствуют апериодическому переходному процессу, зависимости 2 соответствуют колебательному переходному процессу, зависимости 3 соответствуют критическому переходному процессу.
На рис. 12.4 проведены графики тока в цепи i(t) и показано как
по графику, соответствующему колебательному переходному процессу (зависимость 2), можно определить составляющие корней характери-
стического уравнения: коэффициент затухания 1/ , где - постоянная времени, равная длине подкасательной к огибающей кривой свободных колебаний; частота свободных затухающих колебаний
тока или напряжения СВ 2 / TСВ , где TСВ - период колебаний. Для
оценки скорости затухания процесса вводится декремент затухания колебаний , равный отношению свободной составляющей переходной величины в моменты времени, отличающиеся на период TСВ .
54
u |
|
(t T ) |
U |
|
|
|
|||
|
|
uСВ |
(t) |
|
U M 1 |
. |
(12.14) |
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
СВ |
|
СВ |
|
|
M 2 |
|
|
Величина |
ln T |
- называется логарифмическим |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
CB |
|
|
декрементом затухания колебаний, из чего можно определить коэф-
фициент затухания:
|
ln(U M 1 |
/U M 2 ) |
. |
(12.15) |
|
TCB |
|||||
|
|
|
|||
12.1.2. Подключение параллельного контура к источнику постоянного напряжения
Кл |
i |
R |
|
|
|
||
|
|
iL |
iC |
E |
|
RA |
C |
|
|
uC
LA 
uL
Рис. 12.5. Параллельно-последовательная цепь второго порядка
Переходный процесс, протекающий в цепи (рис. 12.5) при подключении еѐ к источнику постоянного напряжения E, описывается системой дифференциальных уравнений второго порядка, составленной по законам Кирхгофа для режима после коммутации:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iR uC E |
|
||||||
|
|
|||||||
|
|
|
diL |
|
||||
iR i R L |
E , |
|||||||
|
|
|||||||
|
L |
A |
|
dt |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
i iL |
C |
duC |
|
0 |
|||
|
|
|||||||
dt |
||||||||
|
|
|
|
|
||||
55
где |
iC (t) C |
duC |
и |
uL (t) L |
diL |
(12.16) |
|
dt |
dt |
||||||
|
|
|
|
|
Для решения (12.16) составим характеристический полином, для чего производная в (12.16) заменяется d
dt p и составляется главный определитель системы, который полагается равной нулю:
|
|
R |
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
R |
R |
A |
pL |
0 |
|
0 . |
(12.17) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
Cp |
|
|
|
||
|
Преобразовав (12.17) получим |
|
|
||||||||||
|
|
p2 Bp Q 0 , |
|
|
|
|
|||||||
где |
|
B |
|
|
1 |
|
RA |
и |
Q |
R RA |
(12.18) |
||
|
|
RC |
LA |
RLAC |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Характер свободной составляющей переходного процесса для всех токов и напряжений одной и той же цепи одинаков, зависит только от параметров R, L, C и определяется корнями характеристического уравнения (12.4):
|
|
B |
|
B2 |
|
B |
|
|
|
|
p |
|
|
Q |
D . |
(12.19) |
|||||
1,2 |
2 |
|
42 |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
В зависимости от знака подкоренного выражения дискриминанта D решение для свободной составляющей напряжения на конденсаторе может иметь один из трех видов (12.5)…(12.7).
Постоянные интегрирования, которые входят в решение для свободной составляющей, определяются из начальных условий для искомого тока или напряжения и их производных. Так, для напряжения на емкости в апериодическом режиме получаем систему из двух уравнений:
uC (0) uCу (0) A1 A2 |
|
(12.20) |
||
u |
(0) u |
(0) A p A p |
. |
|
2 |
|
|||
C |
Суст |
1 1 2 |
|
|
56
Положим, что к моменту подключения напряжения E в схеме (рис. 12.5) нулевые начальные условия uC (0) 0 и iL (0) 0 . Для
определения зависимых начальных условий, в том числе и производных, искомых токов и напряжений необходимо записать систему уравнение по законам Кирхгофа, продифференцировать еѐ и записать эти системы для момента времени t = 0+:
|
i(0)R uC (0) E |
|
|
i(0)R iL (0)RA uL (0) E ; |
|
|
i(0) iL (0) uC (0) 0 |
|
|
|
|
|
(0) 0 |
|
|
i (0)R uC |
|
||||
i (0)R i (0)R |
A |
u (0) 0 . |
(12.21) |
||
|
L |
|
L |
|
|
|
i (0) i |
(0) u (0) 0 |
|
||
|
L |
|
|
C |
|
С учетом:
u |
L |
(0) L i |
(0) ; i (0) u |
L |
(0) |
L ; i (0) C u |
(0) ; |
|
|
L |
|
|
C |
C |
|
||
u |
(0) i (0) C |
|
|
|
|
|
||
|
C |
C |
|
|
|
|
|
|
из решения (12.21) можно определить все токи, напряжения и их произ-
водные в момент коммутации. |
|
|
|
|
|||
|
Подставив начальные значения в систему уравнений (12.20) и с |
||||||
учетом |
установившихся |
после |
коммутационных |
значений |
|||
u |
(0) E R |
(R R ) и |
u |
(0) 0 , получим постоянные ин- |
|||
Суст |
|
A |
A |
Суст |
|
|
|
тегрирования A |
и A . |
|
|
|
|
||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
Окончательно общее решение для апериодического режима |
||||||
напряжения на индуктивности: |
|
|
|
||||
uС (t) uСуст A1ep1t A2ep2t |
(12.22) |
uC (t) |
|
На графиках рис. 12.6 и 12.7 показаны кривые напряжения на конденсаторе uC (t) и тока i(t) . Зависимость 1 соответствует реше-
нию (12.22) для апериодического режима, зависимости 2 и 3 соответствуют критическому и колебательному процессам.
57
B |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
2 |
uСПР E |
RA |
|
2.5 |
R RA |
|
||
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
0 |
2 |
4 |
6 |
мс |
Рис. 12.6. Переходные процессы для напряжения на конденсаторе
|
|
i(t) |
|
|
|
|
мА |
|
|
|
E |
|
|
|
|
i(0) |
|
|
||
6 |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
E |
4 |
|
iПР |
||||
|
|
R RA |
||||
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
6 |
|
Рис. 12.7. Переходные процессы для тока |
|||||
12.2.Домашнее задание
1.При подготовке к лабораторной работе следует изучить теоретический материал данной работы, соответствующие разделы учебников и конспекта лекций, ответить на вопросы одного из вариантов и результаты занести в соответствующие графы таблиц 12.2…12.4. Исходные данные к расчетам и опытам приведены в табл. 12.1.
58
Таблица. 12.1
Исходные данные к расчетам и опытам
Номер |
R1 |
R2 |
C |
|
|
|
|
|
Для всех вариан- |
||||
стенда |
Ом |
Ом |
мкФ |
|||
тов: |
||||||
1 |
1500 |
500 |
0.022 |
|||
Е=4.5 В. |
||||||
2 |
1400 |
450 |
0.033 |
|||
LK = 15 мГн. |
||||||
3 |
1300 |
400 |
0.022 |
|||
4 |
1200 |
350 |
0.033 |
R |
= 12 Ом |
|
|
|
|
|
|
K |
|
5 |
1100 |
300 |
0.022 |
R |
=470 Ом, |
|
6 |
1500 |
500 |
0.033 |
|
D |
|
RШ =150 Ом |
||||||
7 |
1400 |
450 |
0.022 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
8 |
1300 |
400 |
0.033 |
|
|
|
9 |
1200 |
350 |
0.022 |
|
|
|
10 |
1100 |
300 |
0.033 |
|
|
|
Вариант 1
Для схемы рис. 12.8 и R R1 RD RШ (табл. 12.1) опреде-
лить:
начальные и установившиеся значения тока и напряжения i(0) ,
uL (0) , uC (0) , iуст , uLу , uCу и iуст ;
корни характеристического уравнения p1 и p2 ;
величину критического сопротивления RKP . Результаты расчетов занести в табл. 12.2.
К |
R |
RK |
LK |
|
u L
E |
C |
uC |
|
i
Рис. 12.8. Расчетная схема №1
59
|
Апериодический процесс |
|
Таблица 12.2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i(0) |
uL (0) |
uC (0) |
iПР |
uLП |
uCП |
p1 |
p2 |
RKP |
|
|
|
|||||||||
|
мА |
В |
В |
|
мА |
В |
В |
c 1 |
c 1 |
Ом |
расчет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
экспери- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мент |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 2 |
|
|
|
|
|||
Для схемы рис. 12.8 и |
R R2 RD RШ (табл. 12.1) опреде- |
|||||||||
лить:
начальные и установившиеся значения тока и напряжения i(0) ,
uL (0) , uC (0) , iуст , uLу , uCу и iуст ;
корни характеристического уравнения p1 , p2 ;
и СВ ;
логарифмический декремент затухания . Результаты расчетов занести в табл. 12.3.
Колебательный процесс |
|
|
|
|
|
|
Таблица 12.3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i(0) |
u |
L |
(0) |
u |
|
(0) |
i |
|
u |
|
u |
|
|
CB |
|
|
|
C |
ПР |
LП |
СП |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
мА |
|
B |
|
В |
мА |
В |
В |
c 1 |
c 1 |
|
|||||
расчет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
экспери- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мент |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 3
Для схемы рис. 12.9 и R R1 RD RШ (табл. 12.1) опреде-
лить:
начальные и установившиеся значения тока и напряжения i(0) , uL (0) , uC (0) , iуст , uLу , uCу и iуст ;
60