ЭЛЕКТРОТЕХНИКА Ч. 2 (PDF)

Лабораторная работа № 11

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ С ОДНИМ РЕАКТИВНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ

Цель работы: экспериментальные и теоретические исследования переходных процессов в линейных электрических цепях с одним реактивным элементом – L или C.

11.1. Краткие теоретические сведения

11.1.1. Возникновение переходных процессов и законы коммутации

Коммутация - это включение, отключение, переключение элементов цепи, изменение параметров элементов цепи и т. п. Для большинства реальных процессов можно считать, что коммутация происходит мгновенно.

Переходным процессом в электрической цепи называется процесс изменения во времени токов в ветвях и напряжений на элементах цепи, вызванный коммутацией.

Переходный процесс начинается с момента коммутации (время t=0) и протекает между установившимся процессом до коммутации и установившимся процессом после коммутации. Момент времени непосредственно перед коммутацией обозначается t=0-, а сразу после коммутации t=0+.

Для индуктивного и ѐмкостного элементов справедливы два за-

кона коммутации.

1. Ток через катушку индуктивности (потокосцепление) в момент коммутации t = 0 сохраняет значение, которое он имел непосредственно перед коммутацией, т. е. при t = 0- (не может измениться скачком), и дальше начинает изменяться с этого значения

2. Напряжение на конденсаторе (заряд) сохраняет в момент коммутации то значение, которое оно имело непосредственно перед коммутацией (не может измениться скачком), и в дальнейшем изменяется, начиная с этого значения

31

Законы коммутации называются независимыми начальными условиями и являются следствием закона сохранения энергии электромагнитного поля в индуктивном и ѐмкостном элементах. Все остальные токи в резисторах и ѐмкостях, а также напряжение на индуктивности в цепи могут изменяться скачком и называются зависимыми начальными условиями. Зависимые начальные условиями определяются по законам Кирхгофа, составленным для исследуемой цепи сразу после коммутации в момент времени t=0+.

11.1.2. Переходный, установившийся (принуждѐнный, вынужденный) и свободный процессы

Любой режим работы цепи, в том числе и переходный, может быть рассчитан по системе уравнений, составленной по законам Кирхгофа. Так как в переходном режиме токи и напряжения цепи изменяются во времени, то система в общем случае описывается системой неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений. Совместное решение этих уравнений для конкретного тока или напряжения приводит к неоднородному линейному дифференциальному уравнению вида:

f(t) - функция, определяемая действием источников напряжения или тока;

n - порядок дифференциального уравнения, который определяется числом независимых накопителей энергии (реактивных элементов: индуктивности и ѐмкости), n- определяет порядок электрической цепи.

Решение уравнения (11.3) классическим методом представляется суммой двух составляющих:

нием дифференциального уравнения (11.3) и определяет установившее-

32

ся значение тока или напряжения после коммутации. Свободная состав-

A1 ,…, An - постоянные интегрирования.

Для получения характеристического уравнения в (11.3) заменяет-

ся

ddt p

и правая составляющая уравнения полагается равной нулю:

an pn an 1 pn 1 ... a1 p1 a0 p0 0 .

Постоянные интегрирования определяются из системы уравнений составленной для начальных значений искомой функции – x(0) и еѐ производных в момент коммутации.

Для n=2 такая система примет вид

Характер свободной составляющей переходного процесса для всех токов и напряжений одной и той же цепи одинаков и зависит только от параметров R, L и C цепи и определяется корнями характеристического уравнения p1 … pn .

Свободная составляющая xСВ (t) связывает начальное значение

функции x(0) с установившимся послекоммутационным значением и обеспечивает непрерывное приближение тока или напряжения к еѐ установившемуся значению. Теоретически, переходный процесс длится бесконечно большое время, но практически он заканчивается за некоторое конечное время.

33

Из графиков видно, что ток в цепи не устанавливается мгновенно и требуется определѐнное время до наступления установившегося тока

iуст E R . Напряжение на индуктивности до коммутации равно ну-

лю, а в момент коммутации увеличивается скачком до значения uL (0 ) E и затем уменьшается до нуля.

35

Характеристическое уравнение соответствующее (11.13)

R C p 1 0

имеет корень

р1 1 RC

и решение для свободной составляющей

uСВ (t) Ae tRC Ae t Ae t .

Постоянная времени RC цепи

1/ | p1 | R C ,

обратная ей величина

1 1(RC)

называется коэффициентом затухания RC цепи.

Общее решение для напряжения на конденсаторе классическим методом

Полагаем, что до коммутации конденсатор не заряжен, т. е. при t=0 напряжение

uC (0 ) uC (0 ) 0 ,

а в установившемся после коммутационном режиме t=

dt R

37

циальных уравнений первого порядка, составленной по законам Кирхгофа:

Полагаем, что до коммутации конденсатор не заряжен, т. е. при t=0 напряжение

uC (0 ) uC (0 ) 0 ,

а в установившемся после коммутационном режиме t=

uСуст E R2 (R1 R2 ) .

Из (11.18) следует, что

39

AE R2 (R1 R2 ) ,

арешения для напряжения и тока принимают вид

Графики изменения напряжения на конденсаторе и токов в цепи рис. 11.6 приведены на рис. 11.7. Напряжение на конденсаторе не изменяется мгновенно, а плавно изменяется по экспоненциальному закону от нуля до установившейся величины

uСуст E R2 (R1 R2 ) ;

а ток в момент коммутации устанавливается скачком до величины

i(0 ) E R1

и затем плавно по экспоненциальному закону уменьшается до нуля.

11.1.5. Подключение цепи к источнику прямоугольных импульсов

Переходные процессы в большинстве случаев являются однократными и кратковременными. Их непосредственное наблюдение с

40