Головизин_Лекции / Лекция 1. Основные алгебраические структуры

Доказательство. Так как е – единичный элемент группы, то , откуда . Применяя закон сокращения, получаем . Аналогично доказывается второй случай. Теорема доказана.

п.12. Основные алгебраической структуры: поле.

Определение. Полем называется множество К, на котором определены две внутренние бинарные алгебраические операции (сложение и умножение) и подчиняющиеся следующим законам (аксиомы поля).

1. Закон ассоциативности относительно сложения:

.

2. Существование нулевого элемента:

.

3. Существование противоположного элемента:

.

4. Закон коммутативности относительно сложения:

.

5. Закон ассоциативности относительно умножения:

.

6. Существование единичного элемента:

.

7. Существование обратного элемента:

.

8. Закон коммутативности относительно умножения:

.

9. Закон дистрибутивности умножения относительно сложения:

и .

Другими словами, полем называется алгебраическая структура с двумя алгебраическими операциями (сложение и умножение), такая, что относительно сложения множество К является абелевой группой, а относительно умножения множество является коммутативной группой и умножение дистрибутивно относительно сложения.

Определение. Пусть К – поле. Тогда группу называют аддитивной группой поля К, а группу – мультипликативной группой поля К.

Теорема (Простейшие свойства поля)

1. .

2. .

3. Если х и у – элементы поля К, то равенство возможно лишь при или .

Доказательство. 1) Прибавим к элементу элемент х и воспользуемся аксиомами поля:

.

Таким образом имеем равенство . Так как поле К относительно сложения является группой, то справедлив закон сокращения и применяя его сразу получаем равенство .

2) Применяя аксиомы поля, получаем равенство:

.

Из этого равенства сразу же следует, что элемент является противоположным элементу х.

3) Если или , то по уже доказанному свойству верно равенство . Обратно, пусть . Допустим, что и . Тогда , т.к. – группа относительно умножения и следовательно , что противоречит предположению. Теорема доказана.

Примеры полей.

1. Множество рациональных чисел.

2. Множество действительных чисел.

3. Поле рациональных дробей с одной неизвестной.

4. Поле из двух элементов: . Здесь 0 – нулевой элемент, 1 – единичный. Сложение и умножение задаются таблицами Кэли:

и .

Нетрудно проверить справедливость всех аксиом поля.

п.13. Основные алгебраической структуры: векторные (линейные) пространства.

Определение. Пусть А и К – произвольные непустые множества. – декартово произведение этих множеств. Отображение называют внешней бинарной алгебраической операцией, определенной на множестве А над множеством К.

Другими словами, каждой паре элементов из декартова произведения ставится в соответствие единственный для этой пары элемент . (Обычно при написании результата алгебраической операции элемент пишется слева от элемента ).

Пример 1. Пусть – множество многочленов от одной переменной х с действительными коэффициентами, – поле действительных чисел. Тогда операция умножения многочлена на число является внешней алгебраической операцией на множестве многочленов: , т.е. в результате опять получается многочлен с действительными коэффициентами.

Пример 2. Пусть – множество всех векторов как направленных отрезков. Тогда умножение вектора на число есть внешняя алгебраическая операция на множестве : , так как в результате получается вектор (направленный отрезок).

Определение. Пусть - произвольное множество, элементы которого мы будем называть векторами, К - поле, элементы которого мы будем называть скалярами. Пусть на множестве определена внутренняя бинарная алгебраическая операция, которую мы будем обозначать знаком + и называть сложением векторов. Пусть также на множестве определена внешняя бинарная алгебраическая операция над полем К, которую мы будем называть умножением вектора на скаляр и обозначать знаком умножения. Другими словами определены два отображения:

;

.

Множество вместе с этими двумя алгебраическими операциями называют векторным пространством над полем К, если эти алгебраические операции подчиняются следующим законам (аксиомы векторного пространства).

1. Закон ассоциативности сложения:

.

2. Существование нулевого вектора:

.

3. Существование противоположного вектора:

.

4. Закон коммутативности сложения:

.

5. Закон ассоциативности умножения вектора на скаляр:

.

6. Закон дистрибутивности умножения вектора на скаляр относительно сложения векторов:

.

7. Закон дистрибутивности умножения вектора на скаляр относительно сложения скаляров:

.

8. , где 1 - это единица поля К.

Определение. Векторное пространство над полем вещественных чисел называется вещественным векторным пространством.

Теорема. (Простейшие свойства векторных пространств.)

1. В векторном пространстве существует единственный нулевой вектор.

2. В векторном пространстве любой вектор имеет единственный противоположный ему.

3. или х = 0.

4. .

Доказательство. Векторное пространство относительно сложения образует абелевую группу (аксиомы 1 – 4) откуда и следуют сразу же первые два утверждения теоремы.

3) а) Сначала мы докажем, что произведение нулевого скаляра на любой вектор равен нулевому вектору. Пусть . Тогда, применяя аксиомы векторного пространства, получаем:

.

Применяя закон сокращения, получаем .

б) Теперь докажем утверждение 4):

Пусть – произвольный вектор. Тогда

.

Отсюда сразу же следует, что вектор является противоположным вектору х.

в) Пусть теперь . Тогда, применяя аксиомы векторного пространства, получаем:

.

г) Пусть и допустим, что . Так как , где К – поле, то существует . Умножим равенство слева на : , откуда следует , и окончательно . Теорема доказана.

Пример. Обозначим через множество всех векторов как направленных отрезков. Мы уже знаем (см. выше примеры групп), что относительно сложения векторов множество является абелевой группой. Из школьного курса геометрии нам известна еще одна операция с векторами – умножение вектора на число, в результате которой получается тоже вектор. Значит эта операция является внешней бинарной алгебраической операцией на множестве над полем действительных чисел: . Осталось проверить все аксиомы векторного пространства, причем первые 4 нами уже проверены. Столь же легко проверяются и остальные аксиомы. Таким образом, множество всех векторов как направленных отрезков образует вещественное векторное пространство.

п.14. Основные алгебраической структуры: кольцо.

Определение. Пусть А – непустое множество, на котором определены две внутренние бинарные алгебраические операции, которые мы будем называть сложением и умножением и записывать соответственно. Алгебраическая структура называется кольцом, если относительно сложения множество А является абелевой группой и выполняется закон ассоциативности умножения и оба закона дистрибутивности умножения относительно сложения.

Другими словами, алгебраическая структура называется кольцом, если выполняются следующие законы:

1 – 4. Законы абелевой группы относительно сложения;

5. Закон ассоциативности умножения:

;

6. Закон дистрибутивности умножения относительно сложения:

и .

Определение. Если в кольце А выполняется:

7. Закон коммутативности умножения

,

то кольцо А называется коммутативным кольцом.

Определение. Если в кольце А существует единичный элемент относительно умножения:

8. Закон существования единичного элемента

,

то кольцо А называется кольцом с единицей.

Замечание. Любое поле является коммутативным кольцом с единицей. Но обратное утверждение является неверным, т.к. не в каждом коммутативном кольце с единицей справедлив закон существования обратного элемента.

Пример 1. Множество целых чисел Z относительно сложения и умножения является коммутативным кольцом с единицей.

Пример 2. Множество всех многочленов от одной буквы с коэффициентами из поля K относительно операций сложения и умножения многочленов является коммутативным кольцом с единицей.

Пример 3. Множество – всех числовых функций, определенных на отрезке числовой оси относительно обычных операций сложения и умножения числовых функций является коммутативным кольцом с единицей.

Теорема. (Простейшие свойства кольца)

Пусть А – произвольное кольцо. Тогда

1. .

2. Если кольцо А обладает единицей, то

.

Доказательство один к одному повторяет доказательство аналогичных свойств поля.

п.15. Область целостности.

Определение. Пусть А – произвольное кольцо, .

Если , но , тогда элемент а называют левым делителем нуля, а элемент b – правым делителем нуля. Если А – коммутативное кольцо, то элементы а и b называются делителями нуля.

Определение. Если кольцо не имеет делителей нуля, то оно называется кольцом без делителей нуля.

Определение. Коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля называется областью целостности.

Пример 1. Кольцо целых чисел Z является областью целостности.

Пример 2. Кольцо многочленов над произвольным полем является областью целостности. (Смотри доказательство в Дополнение 2. Построение кольца многочленов.)

Пример 3. Кольцо функций определенных на отрезке [0; 1] является коммутативным, с единицей, но с делителями нуля. Например, положим

, .

Тогда f(x) и g(x) – ненулевые функции, определенные на отрезке [0; 1], т.е. являются элементами кольца , но их произведение, очевидно, равно нулевой функции:

,

где по определению полагают , и, очевидно, является нулем кольца.

Аналогично можно показать, что кольцо функций также имеет делители нуля и поэтому не является областью целостности.

Следствие. Любое поле является областью целостности.

Доказательство сразу же следует из простейших свойств поля и того, что любое поле является коммутативным кольцом с единицей.

Теорема. В кольце без делителей нуля выполняется закон сокращения относительно умножения.

Доказательство. Пусть А – произвольное кольцо без делителей нуля, a, b, – его произвольные элементы и выполняется равенство: . Тогда . Так как по условию и в кольце нет делителей нуля, то . Таким образом мы доказали, что если

и , то , т.е. выполняется закон сокращения справа. Аналогично доказывается закон сокращения слева. Теорема доказана.

Заметим, что в любом кольце выполняется закон сокращения относительно сложения, т.к. кольцо относительно сложения является группой, а в любой группе, как мы видели, справедлив закон сокращения.