3. Геометрическое.

Пусть проводятся испытания по схеме Бернулли. Когда следует ожидать первого появления события У? В принципе оно может проявиться сразу же в первом испытании. Но, может оказаться, что в первом испытании будет Н, а У проявится только во второй раз. Ещё менее вероятно, но все же возможно, что первый раз У будет только в 3-м испытании, или в

4-м и т. д. до бесконечности. Вот эта случайная величина – количество испытаний по схеме Бернулли до появления 1-го успеха и имеет геометрическое распределение.

Геометрическим называется распределение случайной величины X – количества испытаний по схеме Бернулли до первого появления события У.

Возможные значения X: 1, 2, 3 и т. д. до бесконечности, поэтому

Данная величина является дискретной бесконечнозначной. Геометрическое распределение зависит от одного параметра: вероятности p появления события У в каждом испытании по схеме Бернулли. Второй параметр q = 1 – p, т. е. он не является независимым. Поэтому геометрическое распределение является однопараметрическим.

Для работы с геометрическим распределением в MATLAB есть следующие функции:

• geopdf – закон распределения ;

• geocdf – функция распределения;

• geoinv – квантили распределения;

• geornd – генератор случайных чисел с геометрическим распре-делением;

• geostat – МО и дисперсия .

Пример: проводятся испытания по схеме Бернулли с параметром p = 0,05 до первого успеха. Какова вероятность того, что понадобится не более 10 испытаний?

Решение: Вероятность того, что первый успех проявится в k-м испытании, есть pk для геометрического распределения. Нам нужно просуммировать эти вероятности от 1 до 10. Решаем:

P=sum(geopdf([1:10],0.05))

P =

0.38119990772354

4. Пуассоновское распределение.

Перед определением пуассоновского распределения нужно знать следующие определения:

Поток событий – это однотипные события, происходящие в случайные моменты времени.

Поток событий называется потоком без последействия, если вероятность наступления того или иного количества событий в [t1, t2] не зависит от того, сколько событий произошло до момента t1.

Поток событий называется ординарным, если вероятность наступления одного события за бесконечно малое время dt является бесконечно малой величиной одного порядка малости с dt, а вероятность наступления более чем одного события за бесконечно малое время dt является бесконечно малой величиной высшего порядка малости по сравнению с dt.

Поток событий называется простейшим или пуассоновским, если он ординарный и в нём отсутствует последействие.

Пуассоновским называется распределение случайной величины X – количества событий в пуассоновском потоке за заданное фиксированное время

Функции MATLAB для работы с пуассоновским распределением:

• poisspdf – закон распределения;

• poisscdf – функция распределения;

• poissinv – квантили пуассоновского распределения;

• poissrnd – генератор случайных чисел, имеющих пуассоновское распределение;

• poisstat – МО и дисперсия;

• poissfit – максимально правдоподобная оценка параметра пуассоновского распределения по данным наблюдений.

Пример: поток автомобилей на загородной дороге является пуассоновским со средней плотностью 10 автомобилей в час. Какова вероятность того, что в течение часа проедет ровно 6 автомобилей?

Решение: имеем: l = 10 час–1, t = 1 час, поэтому параметр пуассоновского распределения a = lt = 10. Нам нужно найти вероятность того, что X = 6. Решаем:

lambda=10; % плотность

t=1; % время

a=lambda*t; % параметр пуассоновского распределения

p=poisspdf(6,a) % искомая вероятность

p =

0.06305545800345