3. Моделирование распределений случайных величин в matlab.

В [3] автор очень хорошо описывает, как в Matlab можно смоделировать случайные числа из определенных распределений:

1. Биномиальное распределение.

Прежде, чем дать определение биномиальному распределению, определим, что такое схема испытаний Бернулли

Рассмотрим следующую схему испытаний. Пусть проводится n одинаковых независимых опытов, в каждом из которых возможен один из двух взаимоисключающих исходов, которые мы условно назовём успех (событие У) и неуспех (событие Н). Обозначим P(У) = p; P(Н) = 1 – p = q. Такая схема испытаний называется схемой с независимой повторной выборкой или схемой Бернулли.

Примеры испытаний по схеме Бернулли:

• бросание монеты (например, У – это появление герба; p = 1 / 2);

• бросание игральной кости (например, У – это появление на верхней грани одного из чисел 5 или 6; p = 1 / 3);

• в урне 4 чёрных шара и 6 белых, и после каждого вытягивания шар

возвращается в урну (можно, например, считать событием У появление чёрного шара; в этом случае p = 0,4).

В испытаниях по схеме Бернулли все опыты проходят в одинаковых условиях, и результат каждого следующего не зависит от предыдущих.

Рассмотрим случайную величину X – количество успехов в n испытаниях по схеме Бернулли. Её распределение называется биномиальным.

В MATLAB вычисление закона биномиального распределения реализовано с помощью функции binopdf, а функции распределения –binocdf.

Теперь приведем пример вычисления биномиального закона распределения в среде MATLAB:монета бросается 100 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет ровно 43 раза?

Имеем схему Бернулли из n = 100 опытов с вероятностью успеха p = 0,5. Требуемое количество успехов=43.

>> n=100;

p=0.5;

k=43;

>> P=binopdf(k,n,p)

P =

0.030068642644215

2. Гипергеометрическое.

Определение 4.3. Пусть имеется M предметов, среди которых K отмеченных. Наугад выбираются N предметов. Гипергеометрическим называется распределение случайной величины X – количества отмеченных предметов среди выбранных.

Примеры таких задач:

• в урне есть заданное количество шаров двух цветов; из неё наугад

вытягивается какое-то количество шаров, и требуется найти вероятность того, что среди вытянутых будет заданное количество шаров

каждого цвета;

• среди M деталей есть K бракованных, а контролёр выбирает наугад

N деталей, и требуется найти вероятность того, что среди них k бракованных.

В этих примерах предметы можно вытягивать как одновременно, так и последовательно. Результат от этого не меняется, т. к. порядок выборки предметов нам не важен. В отличие от схемы Бернулли, предметы после вытягивания не возвращаются обратно, поэтому такую схему опытов часто называют схемой с повторной невосстанавливаемой независимой выборкой.

В MATLAB имеются следующие функции для работы с гипергеометрическим распределением:

• hygepdf – закон распределения;

• hygecdf – функция распределения;

• hygeinv – квантили распределения;

• hygernd – генератор случайных чисел, имеющих гипергеометрическое распределение;

• hygestat – МО и дисперсия

Пример : В урне 70 белых шаров и 40 чёрных. Наугад выбираются 30 шаров. Какова вероятность того, что среди них будет 8 чёрных шаров?

Решение: имеем гипергеометрическое распределение с параметра-ми K = 40; M = 70 + 40 = 110; N = 30. Нужно найти P(X = 8). Решаем с помощью MATLAB.

>> P=hygepdf(8,110,40,30)

P =

0.078913736132923

>>