Операции над матрицами
Линейные:
1)Сумма (разность) матриц;
2)Произведение матрицы на число.
Нелинейные:
1)Транспонирование матрицы;
2)Умножение матриц;
3)Нахождение обратной матрицы.
назад
Суммой (разностью) двух матриц одинаковой размерности называется матрица, элементы которой равны сумме (разности) соответствующих элементов матриц слагаемых.
Например:
|
à |
à |
|
à |
|
|
b |
b |
b |
|
|
À |
|
11 |
12 |
13 |
B |
|
12 |
13 |
|||
|
, |
11 |
|
||||||||
|
|
à |
|
à |
|
|
|
b |
b |
||
|
à |
|
|
|
b |
|
|||||
|
|
21 |
22 |
23 |
|
21 |
22 |
23 |
|||
|
|
à |
b |
à |
b |
à |
b |
|
|
||
|
|
|
11 |
|
11 |
12 |
12 |
13 |
13 |
|
|
A B |
|
|
|
||||||||
Пример à21 |
b21 |
à22 b22 |
à23 |
b23 |
|
|
|||||
назад
Пример
Ответ
2 À 04
A B ? A B ? B A ?
3 |
|
|
5 |
6 |
|
|
|
|
|
||
4 |
|
B |
|
0 |
|
, |
7 |
|
|||
9 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
назад
Произведением матрицы на число называется матрица, полученная из данной умножением всех ее элементов на число.
Например: |
|
à |
|
à |
à |
|
|
|
|
|
|
À 11 |
|
12 |
13 |
||
|
|
|
|
à22 |
à23 |
|
|
à21 |
|
||
à |
|
à |
à |
||
|
11 |
|
12 |
13 |
|
|
|
à |
|
à |
|
à |
22 |
||||
|
21 |
|
|
23 |
|
Пример
назад
Линейные операции обладают следующими свойствами:
1) A B B A |
|
|
||||
2) A B |
C A B C |
|||||
3) A 0 A |
|
|
|
|
||
4) A A 0 |
|
|
||||
5) 1 A A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6) A |
|
|
|
A |
||
|
|
|
A |
|
B |
|
7) A B |
|
|
||||
8) |
A A A |
|||||
Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной относительно данной.
|
à |
à |
|
|
|
Например: À 11 |
12 |
|
|
à21 |
à22 |
|
à11 |
à21 |
T |
|
à22 |
A |
à12 |
|
|
|
à23 |
|
à13 |
|
Свойства
à13 , à23
назад
Умножение матриц определяется для согласованных матриц.
Произведением матрицы |
|
|
на матрицу |
|
|||||||
|
|
называетсяÀматрицаà |
|
|
c |
|
, |
||||
Bдля которойb |
|
, |
|
m n |
C ij |
|
|
|
|||
|
|
|
m k |
|
ij |
|
|||||
n k |
ij |
a |
b |
a |
b |
a |
|
||||
|
c |
... |
|
b |
|
||||||
т.е. каждый элемент матрицы С равен сумме |
nj |
|
|||||||||
|
ij |
i1 |
1 j |
i2 |
2 j |
|
in |
|
|
||
произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.
Например
Свойства
назад
Например:
à11 |
à12 |
à13 |
|
|
|
à22 |
à23 |
à21 |
|||
|
à |
b |
à |
11 |
11 |
12 |
|
|
à21 b11 |
à22 |
|
b11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|||
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
b31 |
|
|
|
|
b |
à |
|
b |
|
21 |
|
13 |
|
31 |
b |
à |
|
b |
|
21 |
|
23 |
31 |
|
Пример
назад
В случае, когда АВ=ВА, матрицы А и В называют
перестановочными или коммутативными.
Пример 1. Найти все перестановочные матрицы к матрице
1 |
2 |
|
|
|
|
À |
3 |
|
0 |
|
Пример 2. Найти все перестановочные матрицы к матрице
|
2 |
4 |
|
À |
|
0 |
|
1 |
|
||
назад
Ответ:
A B
A B
B A
376
7
7
2
7
72
9
4
10
3 4 8 3
48
назад