Тема 2. «Определители. Способы их вычисления.»
Основные понятия:
•
Понятие определителя
•Вычисление определителей 1-го, 2-го и 3-го порядков
•Миноры и алгебраические дополнения
• 
Теорема Лапласа (вычисление определителя 
n-го порядка)
•Разложение определителя по строке (столбцу)
• Свойства определителей
завершить
Определение: Любой квадратной матрице n-го порядка ставится в соответствие по определенному закону некоторое действительное число, называемое
определителем или детерминантом n-го порядка.
Обозначение: |
|
à11 |
à12 |
... |
à1n |
|||
|
||||||||
|
À |
|
, , det A, |
|
à21 |
à22 |
... |
à2n |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
... ... ... ... |
|||
|
|
|
|
|
àn1 |
àn2 |
... |
ànn |
назад
Вычисление определителя 1-го порядка:
À a11
det A A a11
Пример 1.
1) À 0 det A A 0
2) À 7 det A A 7
3) À 2009 det A A 2009
4) À x det A A x
назад
Вычисление определителя 2-го порядка:
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
À |
|
11 |
12 |
A |
a |
a |
a |
|
a |
|
|
|
21 |
||||||||
|
|
|
|
|
11 |
22 |
|
12 |
||
|
a21 |
a22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 2.
Вычислить определители следующих матриц:
1) |
|
|
2) |
|
cos |
3) |
sin |
|
13 |
i |
5 |
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
73 |
i |
|||
|
0 |
|
sin |
cos |
i |
|
|
||||||
Ответ
назад
Ответы (Пример 2): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1) |
|
2 4 |
|
2 5 0 4 |
10 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
0 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2) |
|
|
cos |
|
|
sin |
|
cos |
2 |
sin |
2 |
1 |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
sin |
|
|
cos |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3) |
|
|
2i13 |
|
|
|
i5 |
|
2i14 i78 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
i73 |
|
|
|
i |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
3 |
|
|
2 |
|
|
4 |
|
19 |
2 |
|
|
|
|||
|
|
2 i |
|
i |
i |
|
3 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
||||||||||
назад
Вычисление определителя 3-го порядка (правило треугольника или правило Саррюса):
|
a11 |
a12 |
|
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
À |
|
a22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a21 |
|
a23 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
a32 |
|
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
a31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
A |
|
a a |
22 |
a |
|
a |
a a |
|
a a a |
23 |
|
||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
11 |
|
33 |
13 |
21 |
32 |
|
31 |
12 |
|
|||
a a |
a |
a |
|
a a |
a a a |
|
|
|
|||||||||
31 |
22 |
13 |
11 |
|
32 |
23 |
|
33 |
21 |
12 |
|
|
|
||||
Пример 3.
назад
Пример 3.
Вычислить определители следующих матриц:
1) |
|
1 |
2 |
32) |
a |
0 |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
4 |
0 |
4 |
|
|
|
a |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
1 |
|
|
2 |
0 |
a |
|
|
3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ
назад
Ответ (Пример 3):
1) |
1 |
2 |
3 |
4 0 4 |
|
|
|
|
3 4 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||
1 0 |
1 |
|
2 |
|
2 |
|
4 |
||||||||||
3 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
||||||||||
3 0 |
3 |
|
4 |
|
2 |
|
1 |
2 4 |
|
|
|||||||
2)
a 0 2
1 a |
1 a3 4a |
2 0
a
назад
Рассмотрим определитель n-го порядка. |
||||||||
Выделим в нем какой-либо элемент |
aij и вычеркнем i-ю |
|||||||
строку и j-ый столбец. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
à11 ... |
à1 j |
... |
à1n |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
... |
... |
... |
... |
... |
|
|
|
|
ài1 |
... |
àij |
... |
àin |
|
|
|
|
... |
... |
... |
... |
... |
|
|
|
|
àn1 ... |
ànj |
... |
ànn |
|
|
|
Полученный определитель (n-1)-го порядка называется
минором Mij
Пример 4.
назад
Пример 4.
Вычислить миноры для всех элементов матриц:
1) |
1 |
2 |
|
2) |
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
7 |
|
|
4 |
0 |
4 |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ
назад