Тема 1. «Матрицы и действия над ними»
Основные понятия:
1. Определение матрицы
2.Виды матриц
3.Действия над матрицами
4.
Перестановочные матрицы
завершить
1. Определение матрицы
Прямоугольная таблица чисел вида
à11 |
à12 ... |
|
à22 ... |
À à21 |
|
|
|
... ... ... |
|
àm1 |
àm2 ... |
называется матрицей.
-àэлементы матрицы.
ij
Размер матрицы Главная диагональ матрицы
Побочная диагональ матрицы назад
à1n
à2n
...
àmn
|
2. Виды матриц |
• |
Прямоугольная |
• |
Квадратная |
• |
Нулевая |
• |
Единичная |
• |
Диагональная |
• |
Симметричная |
• |
Вырожденная |
• |
Равные |
• |
Треугольная |
• |
Квазитреугольная (ступенчатая или трапециевидная) |
• |
Матрица-строка или строчная матрица |
• |
Матрица-столбец или столбцевая матриц |
|
назад |
Матрица называется прямоугольной, если количество ее
строк не совпадает с количеством столбцов: |
|
||||
|
1 |
2 |
3 |
3 |
|
À |
0 |
2 |
0 |
5 |
|
|
|
||||
Матрица называется квадратной, если количество ее строк 
совпадает с количеством столбцов:
7 |
45 |
|
|
|
|
|
|
À |
1 |
0 |
|
|
|
||
назад
Матрица называется нулевой, если все ее элементы нулевые :
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
À |
0 |
0 |
|
0 |
|
Квадратная матрица называется единичной, если элементы по главной диагонали единицы, а остальные элементы нулевые :
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
À 0 |
|
||
|
0 |
1 |
|
0 |
|
назад
Квадратная матрица называется диагональной, если элементы по главной диагонали отличны от нуля, а остальные
элементы нулевые: |
2 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
|
|
À 0 |
|
||
|
|
0 |
1 |
|
|
0 |
|
Квадратная матрица называется симметричной, если относительно главной диагонали для всех ее элементов
выполняется условие |
a |
a : |
|
|
|
ij |
ji |
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
0 |
2 |
77 |
|
À |
|
|||
|
|
77 |
3 |
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
назад |
Квадратная матрица называется вырожденной, если ее
определитель равен нулю.
Матрицы А и В (одинаковых размерностей) называются
равными, если aij bij :
|
1 |
3 |
|
|
1 |
3 |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
À 13 |
|
B 13 |
|
||||
|
2 |
7 |
|
|
2 |
7 |
|
|
|
|
|
||||
назад
Квадратные матрицы вида |
|
|
|
K |
|
|
|
|||
a11 |
K |
a1n |
|
a11 |
a1n |
|
||||
|
|
M |
|
|
|
|
M |
|
||
M N |
|
M O |
|
|||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
0 |
|
|
0 |
L |
|
|
||
an1 |
|
|
|
ann |
||||||
называются треугольными. |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|||
0 |
5 |
6 |
7 |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
À |
|
|
|
|
|
|
À 4 5 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
0 |
8 |
9 |
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|||||
6 |
|
|
0 |
0 |
10 |
|
||||
|
|
|
|
|
0 |
|
||||
назад
Прямоугольная матрица вида
a11 |
a12 |
L |
0 |
a22 |
L |
L |
L |
L |
|
|
|
0 |
0 |
L |
называется квазитреугольной
трапециевидная)
a1m |
L |
a1n |
a2m |
L |
a2n |
L |
L |
L |
amm |
L |
amn |
(ступенчатая или
|
1 |
2 |
1 |
0 |
3 |
1 |
|
|
0 |
2 |
2 3 |
1 |
0 |
|
|
À |
|
||||||
|
0 |
0 |
3 |
3 |
1 |
5 |
|
|
|
||||||
назад
Матрица, состоящая из одной строки называется матрицей- 
строкой или строчной матрицей.
À 1 2 3 0
Матрица, состоящая из одного столбца называется
матрицей-столбцом или столбцевой матрицей
2 À 02
назад