4. Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов

Пункты отправления	1	2	3	4	5	Запасы
1	1	2	3	1	4	180
2	6	3	4	5	2	220
3	8	2	1	9	3	100
Потребности	120	80	160	90	50	500

Условие баланса соблюдается. Запасы равны потребностям. Следовательно, модель транспортной задачи является закрытой.

Этап I. Поиск первого опорного плана.

1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.

Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел a_i, или b_j.

Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя.

Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.

Искомый элемент равен 1

Для этого элемента запасы равны 180, потребности 120. Поскольку минимальным является 120, то вычитаем его.

x₁₁ = min (180,120) = 120.

1	2	3	1	4	180 - 120 = 60
x	3	4	5	2	220
x	2	1	9	3	100
120 - 120 = 0	80	160	90	50	0

Искомый элемент равен 1

Для этого элемента запасы равны 60, потребности 90. Поскольку минимальным является 60, то вычитаем его.

x₁₄ = min (60,90) = 60.

1	x	x	1	x	60 - 60 = 0
x	3	4	5	2	220
x	2	1	9	3	100
0	80	160	90 - 60 = 30	50	0

Искомый элемент равен 1

Для этого элемента запасы равны 100, потребности 160. Поскольку минимальным является 100, то вычитаем его.

x₃₃ = min(100,160) = 100.

1	x	x	1	x	0
x	3	4	5	2	220
x	x	1	x	x	100 - 100 = 0
0	80	160 - 100 = 60	30	50	0

Искомый элемент равен 2

Для этого элемента запасы равны 220, потребности 50. Поскольку минимальным является 50, то вычитаем его.

x₂₅ = min(220,50) = 50.

1	x	x	1	x	0
x	3	4	5	2	220 - 50 = 170
x	x	1	x	x	0
0	80	60	30	50 - 50 = 0	0

Искомый элемент равен 3

Для этого элемента запасы равны 170, потребности 80. Поскольку минимальным является 80, то вычитаем его.

x₂₂ = min(170,80) = 80.

1	x	x	1	x	0
x	3	4	5	2	170 - 80 = 90
x	x	1	x	x	0
0	80 - 80 = 0	60	30	0	0

Искомый элемент равен 4

Для этого элемента запасы равны 90, потребности 60. Поскольку минимальным является 60, то вычитаем его.

x₂₃ = min(90,60) = 60.

1	x	x	1	x	0
x	3	4	5	2	90 - 60 = 30
x	x	1	x	x	0
0	0	60 - 60 = 0	30	0	0

Искомый элемент равен 5

Для этого элемента запасы равны 30, потребности 30. Поскольку минимальным является 30, то вычитаем его.

x₂₄ = min(30,30) = 30.

1	x	x	1	x	0
x	3	4	5	2	30 - 30 = 0
x	x	1	x	x	0
0	0	0	30 - 30 = 0	0	0

	1	2	3	4	5	Запасы
1	1[120]	2	3	1[60]	4	180
2	6	3[80]	4[60]	5[30]	2[50]	220
3	8	2	1[100]	9	3	100
Потребности	120	80	160	90	50

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.

2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 7, а должно быть m + n - 1 = 7. Следовательно, опорный план является невырожденным.

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

Z(x) = 1*120 + 1*60 + 3*80 + 4*60 + 5*30 + 2*50 + 1*100 = 1010

Этап II. Улучшение опорного плана.

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₁ = 1; 0 + v₁ = 1; v₁ = 1

u₁ + v₄ = 1; 0 + v₄ = 1; v₄ = 1

u₂ + v₄ = 5; 1 + u₂ = 5; u₂ = 4

u₂ + v₂ = 3; 4 + v₂ = 3; v₂ = -1

u₂ + v₃ = 4; 4 + v₃ = 4; v₃ = 0

u₃ + v₃ = 1; 0 + u₃ = 1; u₃ = 1

u₂ + v₅ = 2; 4 + v₅ = 2; v₅ = -2

	v1=1	v2=-1	v3=0	v4=1	v5=-2
u1=0	1[120]	2	3	1[60]	4
u2=4	6	3[80]	4[60]	5[30]	2[50]
u3=1	8	2	1[100]	9	3

Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию u_i + v_i <= c_ij.

Минимальные затраты составят:

Z(x) = 1*120 + 1*60 + 3*80 + 4*60 + 5*30 + 2*50 + 1*100 = 1010

5. Найдем экстремум функции Z = (х1-4)²+(x₂-6)², используя функцию Лагранжа:

где

В качестве целевой функции, подлежащей оптимизации, в этой задаче выступает функция:

Z = (х1-4)²+(x₂-6)²

Перепишем ограничение задачи в неявном виде:

Составим вспомогательную функцию Лагранжа:

Необходимым условием экстремума функции Лагранжа является равенство нулю ее частных производных по переменным х_i и неопределенным множителям λ.

Составим систему:

∂L/∂x₁ = = 0

∂L/∂x₂ = = 0

∂L/∂λ₁ = x₁+x₂-1 = 0

∂L/∂λ₂ = 2x₁+3x₂-12 = 0

∂L/∂λ₃ = x₁ = 0

Решим данную систему методом Гаусса:

Запишем систему в виде:

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Необходимо переменную x₃ принять в качестве свободной переменной и через нее выразить остальные переменные.

Приравняем переменную x₃ к 0

Из 2-ой строки выражаем x₂

Из 3-ой строки выражаем x₁

.

Заключение

Одним из необходимых условий дальнейшего развития экономической науки является применение точных методов количественного анализа, широкое использование математики. В экономических науках долгое время преобладали описательный подход и чисто качественный анализ экономических явлений. Это относится и к конкретным экономическим наукам. В области организации и управления машиностроительным производством применяется в основном лишь элементарный математический аппарат, требующий знаний математики в объёме средней школы.

Использование элементов высшей математики весьма ограничено. Очень редко решаются задачи на нахождение максимума или минимума, используется теория вероятности при рассмотрении некоторых задач. В меньшей степени использовался математический аппарат в экономике машиностроительного предприятия.

Использование в экономике математических методов позволяет достигнуть единства качественного анализа с количественным.

В ходе выполнения контрольной работы были изучены:

- решение задач линейного программирования;

- симплекс – метод;

- графический метод решения задачи линейного программирования;

- решение транспортной задачи;

- метод множителей Лагранжа;

- метод Гаусса.

Список использованных источников

1. Маслов А.В. Методы экономико-математического моделирования: Учебное пособие. В 2-х частях. Ч.1. – Юрга: Изд-во ЮТИ ТПУ, 2006. – 114 с.

2. Математическое моделирование в экономике и управлении: Учебное пособие / А.В. Маслов, А.А. Григорьева. - Юрга: Изд-во ЮТИ ТПУ, 2007. - 264 с.

3. Экономико-математическое моделирование: методические указания к выполнению контрольных работ для студентов специальности 080502 «Экономика и управление на предприятии (в машиностроении)» и 080109 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» заочной формы обучения. – Юрга: Изд. ЮТИ ТПУ, 2008. – 36с.

4. Материалы с сайта: http://math.semestr.ru/transp/index.php

19