Задание № 1
на контрольную работу по дисциплине
“Экономико-математическое моделирование”
Вариант № 7
1. Используя геометрическую интерпретацию, найти решение задачи линейного программирования:
Z = x1+4x2+2х4х5 max при условиях:
х15х2 +х3 =5,
х1+х2 +х4 =4,
х1+х2 +х5 =8,
x1, х2, ... , х5 0
2. Минимизировать
функцию Z
= 2х1 + 3х2 +
х3
при ограничениях:
2х1 + х2 + 3х3 6,
2х1 + 4х2 + 3х3 16, Решить симплекс-методом. Составить
3х1 + 4х2 + 2х3 12, двойственную задачу и также решить её
х j 0 (j = 1,2,3) симплекс-методом.
3. Найти графическим методом целочисленное решение задачи:
Z = x1 max при ограничениях:
х1 + х2 + х3 = 9,
4х1 + 7х2 + х4 = 4,
5х1 6х2 + х5= 6,
хj 0, (j = 1,...,5)
4. Найти решение транспортной задачи, исходные данные которой определяются таблицей:
|
Пункты |
Пункты назначения |
Запасы |
||||
|
отправления |
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
В5 |
|
|
А1 |
1 |
2 |
3 |
1 |
4 |
180 |
|
А2 |
6 |
3 |
4 |
5 |
2 |
220 |
|
А3 |
8 |
2 |
1 |
9 |
3 |
100 |
|
Потребности |
120 |
80 |
160 |
90 |
50 |
500 |
5. Методом множителей Лагранжа найти условные экстремумы функции:
Z = (х1 4)2 +(х2 6)2 при ограничениях:
х1 + х2 1,
2х1 + 3х2 12,
-
х1, х2 0,
Содержание
Введение 5
Основная часть 6
Заключение 20
Список использованных источников 21
Введение
Одним из необходимых условий дальнейшего развития экономической науки является применение точных методов количественного анализа, широкое использование математики.
Основная цель контрольной работы – научиться выделять существенные проблемы в экономике и находить методы, которые наиболее приемлемы для их решения. Знание методов и средств из области экономико–математического моделирования, правильное построение экономических моделей позволяет наиболее эффективно управлять капиталом на предприятии и облегчает достижение поставленных целей (освоение рынков сбыта, минимизация затрат, повышение конкурентоспособности продукции), в чем и состоит сущность работы менеджера.
Для достижения данной цели нужно решить ряд заданий, необходимых для закрепления теоретических навыков.
Основная часть
1. Z = - x1 + 4x2 + 2x4 - x5 → max при ограничениях:
x1 - 5x2 + x3=5,
- x1 + x2 + x4=4,
x1 + x2 + x5=8.
Переход к СЗЛП:
Расширенная матрица системы ограничений-равенств данной задачи:
Соответствующие уравнения имеют вид:
x1 - 5x2 + x3 = 5
- x1 + x2 + x4 = 4
x1 + x2 + x5 = 8
Выразим базисные переменные через остальные:
x = - x1 + 5x2 - x3+5
x = x1 - x2 - x4+4
x = - x1 - x2 - x5+8
Подставим их в целевую функцию:
Z = - x1 + 4x2 + 2x4 - x5
или
Z = - x1 + 4x2 + 2x4 - x5 → max
Система неравенств:
- x1 + 5x2 - x3+5 ≥ 0
x1 - x2 - x4+4 ≥ 0
- x1 - x2 - x5+8 ≥ 0
Приводим систему неравенств к следующему виду:
x1 - 5x2 + x3 ≤ 5
- x1 + x2 + x4 ≤ 4
x1 + x2 + x5 ≤ 8
Z = - x1 + 4x2 + 2x4 - x5 → max
Упростим систему:
x1 - 5x2 + x3 ≤ 5
- x1 + x2 + x4 ≤ 4
x1 + x2 + x5 ≤ 8
Z = - x1 + 4x2 + 2x4 - x5 → max
Запишем систему в виде:
|
1 |
-5 |
1 |
0 |
0 |
5 |
|
-1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
4 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
8 |
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
|
-1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
4 |
|
1 |
-5 |
1 |
0 |
0 |
5 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
8 |
Добавим 2-ую строку к 1-ой:
|
0 |
-4 |
1 |
1 |
0 |
9 |
|
1 |
-5 |
1 |
0 |
0 |
5 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
8 |
Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
|
0 |
-4 |
1 |
1 |
0 |
9 |
|
0 |
-6 |
1 |
0 |
-1 |
-3 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
8 |
Умножим 1-ую строку на (6). Умножим 2-ую строку на (-4). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
|
0 |
0 |
2 |
6 |
4 |
66 |
|
0 |
-6 |
1 |
0 |
-1 |
-3 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
8 |
Необходимо переменные x4, x5 принять в качестве свободных переменных и через них выразить остальные переменные.
Приравняем переменные x4, x5 к 0
Из 1-ой строки выражаем x3
Из 2-ой строки выражаем x2
Из 3-ой строки выражаем x1
.
2. Z = 2x1+3x2+2.5x3 при следующих ограничениях:
-2x1-x2-3x3≤-6
-2x1-4x2-3x3≤-16
-3x1-4x2-2x3≤-12
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x4. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x6.
-2x1-1x2-3x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 = -6
-2x1-4x2-3x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 = -16
-3x1-4x2-2x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 = -12
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:
Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.
Решим систему уравнений относительно базисных переменных:
x4, x5, x6,
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X1 = (0,0,0,-6,-16,-12)
Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.
|
Базис |
В |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
|
x4 |
-6 |
-2 |
-1 |
-3 |
1 |
0 |
0 |
|
x5 |
-16 |
-2 |
-4 |
-3 |
0 |
1 |
0 |
|
x6 |
-12 |
-3 |
-4 |
-2 |
0 |
0 |
1 |
|
Z(X0) |
0 |
-2 |
-3 |
-2.5 |
0 |
0 |
0 |
1. Проверка критерия оптимальности.
План 0 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
2. Определение новой свободной переменной.
Среди отрицательных значений базисных переменных выбираем наибольший по модулю.
Ведущей будет 2-ая строка, а переменную x5 следует вывести из базиса.
3. Определение новой базисной переменной.
Минимальное значение θ соответствует 2-му столбцу, т.е. переменную x2 необходимо ввести в базис.
На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-4).
|
Базис |
В |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
|
x4 |
-6 |
-2 |
-1 |
-3 |
1 |
0 |
0 |
|
x5 |
-16 |
-2 |
-4 |
-3 |
0 |
1 |
0 |
|
x6 |
-12 |
-3 |
-4 |
-2 |
0 |
0 |
1 |
|
Z(X0) |
0 |
-2 |
-3 |
-2.5 |
0 |
0 |
0 |
|
θ |
0 |
|
|
|
- |
- |
- |
4. Пересчет симплекс-таблицы.
Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.
|
Базис |
В |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
|
x4 |
-2 |
-1.5 |
0 |
-2.25 |
1 |
-0.25 |
0 |
|
x2 |
4 |
0.5 |
1 |
0.75 |
0 |
-0.25 |
0 |
|
x6 |
4 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
1 |
|
Z(X0) |
12 |
-0.5 |
0 |
-0.25 |
0 |
-0.75 |
0 |
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
-
x1
x2
x3
x4
x5
x6
-2 / -4 = 0.5
-4 / -4 = 1
-3 / -4 = 0.75
0 / -4 = 0
1 / -4 = -0.25
0 / -4 = 0
1. Проверка критерия оптимальности.
План 1 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
2. Определение новой свободной переменной.
Среди отрицательных значений базисных переменных выбираем наибольший по модулю.
Ведущей будет 1-ая строка, а переменную x4 следует вывести из базиса.
3. Определение новой базисной переменной.
Минимальное значение θ соответствует 3-му столбцу, т.е. переменную x3 необходимо ввести в базис.
На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-2.25).
|
Базис |
В |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
|
x4 |
-2 |
-1.5 |
0 |
-2.25 |
1 |
-0.25 |
0 |
|
x2 |
4 |
0.5 |
1 |
0.75 |
0 |
-0.25 |
0 |
|
x6 |
4 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
1 |
|
Z(X1) |
12 |
-0.5 |
0 |
-0.25 |
0 |
-0.75 |
0 |
|
θ |
0 |
|
- |
|
- |
|
- |
4. Пересчет симплекс-таблицы.
Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.
|
Базис |
В |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
|
x3 |
0.89 |
0.67 |
0 |
1 |
-0.44 |
0.11 |
0 |
|
x2 |
3.33 |
0 |
1 |
0 |
0.33 |
-0.33 |
0 |
|
x6 |
3.11 |
-1.67 |
0 |
0 |
0.44 |
-1.11 |
1 |
|
Z |
12.22 |
-0.33 |
0 |
0 |
-0.11 |
-0.72 |
0 |
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
|
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
|
-2 / -2.25 = 0.89 |
-1.5 / -2.25 = 0.67 |
0 / -2.25 = 0 |
-2.25 / -2.25 = 1 |
1 / -2.25 = -0.44 |
-0.25 / -2.25 = 0.11 |
0 / -2.25 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В базисном столбце все элементы положительные.
Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
1. Проверка критерия оптимальности.
Среди значений индексной строки нет положительных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.
Окончательный вариант симплекс-таблицы:
|
Базис |
В |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
|
x3 |
0.89 |
0.67 |
0 |
1 |
-0.44 |
0.11 |
0 |
|
x2 |
3.33 |
0 |
1 |
0 |
0.33 |
-0.33 |
0 |
|
x6 |
3.11 |
-1.67 |
0 |
0 |
0.44 |
-1.11 |
1 |
|
Z |
12.22 |
-0.33 |
0 |
0 |
-0.11 |
-0.72 |
0 |
Оптимальный план можно записать так:
x3 = 0.89
x2 = 3.33
x6 = 3.11
F(X) = 3*3.33 + 2.5*0.89 = 12.22