Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
К.Р.ЭММ.doc
Скачиваний:
16
Добавлен:
01.08.2013
Размер:
270.34 Кб
Скачать

Задание № 1

на контрольную работу по дисциплине

“Экономико-математическое моделирование”

Вариант № 7

1. Используя геометрическую интерпретацию, найти решение задачи линейного программирования:

Z =x1+4x2+2х4х5 max при условиях:

х15х2 +х3 =5,

х1+х2 +х4 =4,

х1+х2 +х5 =8,

x1, х2, ... , х5 0

2. Минимизировать функцию Z = 2х1 + 3х2 +х3 при ограничениях:

2х1 + х2 + 3х3 6,

2х1 + 4х2 + 3х3 16, Решить симплекс-методом. Составить

3х1 + 4х2 + 2х3 12, двойственную задачу и также решить её

х j 0 (j = 1,2,3) симплекс-методом.

3. Найти графическим методом целочисленное решение задачи:

Z = x1 max при ограничениях:

х1 + х2 + х3 = 9,

4х1 + 7х2 + х4 = 4,

5х1 6х2 + х5= 6,

хj 0, (j = 1,...,5)

4. Найти решение транспортной задачи, исходные данные которой определяются таблицей:

Пункты

Пункты назначения

Запасы

отправления

В1

В2

В3

В4

В5

А1

1

2

3

1

4

180

А2

6

3

4

5

2

220

А3

8

2

1

9

3

100

Потребности

120

80

160

90

50

500

5. Методом множителей Лагранжа найти условные экстремумы функции:

Z = (х1 4)2 +(х2 6)2 при ограничениях:

х1 + х2 1,

2х1 + 3х2 12,

  • х1, х2 0,

Содержание

Введение 5

Основная часть 6

Заключение 20

Список использованных источников 21

Введение

Одним из необходимых условий дальнейшего развития экономической науки является применение точных методов количественного анализа, широкое использование математики.

Основная цель контрольной работы – научиться выделять существенные проблемы в экономике и находить методы, которые наиболее приемлемы для их решения. Знание методов и средств из области экономико–математического моделирования, правильное построение экономических моделей позволяет наиболее эффективно управлять капиталом на предприятии и облегчает достижение поставленных целей (освоение рынков сбыта, минимизация затрат, повышение конкурентоспособности продукции), в чем и состоит сущность работы менеджера.

Для достижения данной цели нужно решить ряд заданий, необходимых для закрепления теоретических навыков.

Основная часть

1. Z = - x1 + 4x2 + 2x4 - x5 → max при ограничениях:

x1 - 5x2 + x3=5,

- x1 + x2 + x4=4,

x1 + x2 + x5=8.

Переход к СЗЛП:

Расширенная матрица системы ограничений-равенств данной задачи:

Соответствующие уравнения имеют вид:

x1 - 5x2 + x3 = 5

- x1 + x2 + x4 = 4

x1 + x2 + x5 = 8

Выразим базисные переменные через остальные:

x = - x1 + 5x2 - x3+5

x = x1 - x2 - x4+4

x = - x1 - x2 - x5+8

Подставим их в целевую функцию:

Z = - x1 + 4x2 + 2x4 - x5

или

Z = - x1 + 4x2 + 2x4 - x5 → max

Система неравенств:

- x1 + 5x2 - x3+5 ≥ 0

x1 - x2 - x4+4 ≥ 0

- x1 - x2 - x5+8 ≥ 0

Приводим систему неравенств к следующему виду:

x1 - 5x2 + x3 ≤ 5

- x1 + x2 + x4 ≤ 4

x1 + x2 + x5 ≤ 8

Z = - x1 + 4x2 + 2x4 - x5 → max

Упростим систему:

x1 - 5x2 + x3 ≤ 5

- x1 + x2 + x4 ≤ 4

x1 + x2 + x5 ≤ 8

Z = - x1 + 4x2 + 2x4 - x5 → max

Запишем систему в виде:

1

-5

1

0

0

5

-1

1

0

1

0

4

1

1

0

0

1

8

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

-1

1

0

1

0

4

1

-5

1

0

0

5

1

1

0

0

1

8

Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0

-4

1

1

0

9

1

-5

1

0

0

5

1

1

0

0

1

8

Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0

-4

1

1

0

9

0

-6

1

0

-1

-3

1

1

0

0

1

8

Умножим 1-ую строку на (6). Умножим 2-ую строку на (-4). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0

0

2

6

4

66

0

-6

1

0

-1

-3

1

1

0

0

1

8

Необходимо переменные x4, x5 принять в качестве свободных переменных и через них выразить остальные переменные.

Приравняем переменные x4, x5 к 0

Из 1-ой строки выражаем x3

Из 2-ой строки выражаем x2

Из 3-ой строки выражаем x1

.

2. Z = 2x1+3x2+2.5x3 при следующих ограничениях:

-2x1-x2-3x3≤-6

-2x1-4x2-3x3≤-16

-3x1-4x2-2x3≤-12

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x4. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x6.

-2x1-1x2-3x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 = -6

-2x1-4x2-3x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 = -16

-3x1-4x2-2x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 = -12

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:

x4, x5, x6,

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,0,-6,-16,-12)

Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

Базис

В

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x4

-6

-2

-1

-3

1

0

0

x5

-16

-2

-4

-3

0

1

0

x6

-12

-3

-4

-2

0

0

1

Z(X0)

0

-2

-3

-2.5

0

0

0

1. Проверка критерия оптимальности.

План 0 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.

2. Определение новой свободной переменной.

Среди отрицательных значений базисных переменных выбираем наибольший по модулю.

Ведущей будет 2-ая строка, а переменную x5 следует вывести из базиса.

3. Определение новой базисной переменной.

Минимальное значение θ соответствует 2-му столбцу, т.е. переменную x2 необходимо ввести в базис.

На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-4).

Базис

В

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x4

-6

-2

-1

-3

1

0

0

x5

-16

-2

-4

-3

0

1

0

x6

-12

-3

-4

-2

0

0

1

Z(X0)

0

-2

-3

-2.5

0

0

0

θ

0

-

-

-

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.

Базис

В

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x4

-2

-1.5

0

-2.25

1

-0.25

0

x2

4

0.5

1

0.75

0

-0.25

0

x6

4

-1

0

1

0

-1

1

Z(X0)

12

-0.5

0

-0.25

0

-0.75

0

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x1

x2

x3

x4

x5

x6

-2 / -4 = 0.5

-4 / -4 = 1

-3 / -4 = 0.75

0 / -4 = 0

1 / -4 = -0.25

0 / -4 = 0

1. Проверка критерия оптимальности.

План 1 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.

2. Определение новой свободной переменной.

Среди отрицательных значений базисных переменных выбираем наибольший по модулю.

Ведущей будет 1-ая строка, а переменную x4 следует вывести из базиса.

3. Определение новой базисной переменной.

Минимальное значение θ соответствует 3-му столбцу, т.е. переменную x3 необходимо ввести в базис.

На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-2.25).

Базис

В

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x4

-2

-1.5

0

-2.25

1

-0.25

0

x2

4

0.5

1

0.75

0

-0.25

0

x6

4

-1

0

1

0

-1

1

Z(X1)

12

-0.5

0

-0.25

0

-0.75

0

θ

0

-

-

-

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.

Базис

В

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x3

0.89

0.67

0

1

-0.44

0.11

0

x2

3.33

0

1

0

0.33

-0.33

0

x6

3.11

-1.67

0

0

0.44

-1.11

1

Z

12.22

-0.33

0

0

-0.11

-0.72

0

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

B

x1

x2

x3

x4

x5

x6

-2 / -2.25 = 0.89

-1.5 / -2.25 = 0.67

0 / -2.25 = 0

-2.25 / -2.25 = 1

1 / -2.25 = -0.44

-0.25 / -2.25 = 0.11

0 / -2.25 = 0

В базисном столбце все элементы положительные.

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

1. Проверка критерия оптимальности.

Среди значений индексной строки нет положительных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.

Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Базис

В

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x3

0.89

0.67

0

1

-0.44

0.11

0

x2

3.33

0

1

0

0.33

-0.33

0

x6

3.11

-1.67

0

0

0.44

-1.11

1

Z

12.22

-0.33

0

0

-0.11

-0.72

0

Оптимальный план можно записать так:

x3 = 0.89

x2 = 3.33

x6 = 3.11

F(X) = 3*3.33 + 2.5*0.89 = 12.22

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете Экономико-математическое моделирование