3. Найти графическим методом целочисленное решение задачи:
Z = x1 max при ограничениях:
х1 + х2 + х3 = 9,
4х1 + 7х2 + х4 = 4,
5х1 6х2 + х5= 6,
хj 0, (j = 1,...,5)
Решим систему методом Гаусса:
Запишем систему в виде:
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
9 |
|
-4 |
7 |
0 |
1 |
0 |
4 |
|
5 |
-6 |
0 |
0 |
1 |
6 |
Умножим 1-ую строку на (4). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
|
0 |
11 |
4 |
1 |
0 |
40 |
|
-4 |
7 |
0 |
1 |
0 |
4 |
|
5 |
-6 |
0 |
0 |
1 |
6 |
Умножим 2-ую строку на (5). Умножим 3-ую строку на (4). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
|
0 |
11 |
4 |
1 |
0 |
40 |
|
0 |
11 |
0 |
5 |
4 |
44 |
|
5 |
-6 |
0 |
0 |
1 |
6 |
Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
|
0 |
0 |
4 |
-4 |
-4 |
-4 |
|
0 |
11 |
0 |
5 |
4 |
44 |
|
5 |
-6 |
0 |
0 |
1 |
6 |
Необходимо переменные x4, x5 принять в качестве свободных переменных и через них выразить остальные переменные.
Приравняем переменные x4,x5 к 0
Из 1-ой строки выражаем x3
Из 2-ой строки выражаем x2
Из 3-ой строки выражаем x1
Необходимо найти максимальное значение целевой функции Z = x1 → max, при системе ограничений:
|
x1+x2=10 |
(1) |
|
-4x1+7x2=4 |
(2) |
|
5x1-6x2≥6 |
(3) |
|
x1≥0 |
(4) |
|
x2≥0 |
(5) |
Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).
или
Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи. Обозначим границы области многоугольника решений.
Рассмотрим целевую функцию задачи F = x1 → max. Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = x1 = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.
Равный масштаб
Область допустимых решений представляет собой треугольник.
Прямая Z = const пересекает область в точке C. Так как точка C получена в результате пересечения прямых (2) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых: -4x1+7x2=4 5x1-6x2≥6
Решив систему уравнений, получим:
x1 = 6, x2 = 4
Откуда найдем максимальное значение целевой функции: Z(X) = 1*6 + 0*4 = 6
Начало формы
Решение двойственной задачи позволяет определить существенные и несущественные ресурсы и их избытки, а также вычислить объективно обусловленные оценки и составить соотношение устойчивости.