Доказательство.

Следует из теоремы 4.

Из (3) общий делитель и должен делить 1 он является постоянной − взаимно просты. ■

Свойства (взаимно–простых многочленов).

1) − взаимно прост c и − взаимно прост с . _.

Доказательство.

НОД, НОД умножая последнее равенство на .

Если и − не взаимно просты делитель, который является делителем для − не взаимно просты. Это противоречие доказывает утверждение. ■

2) Если и НОД .

Доказательство.

НОД |умножим на |

. Так как и . ■

3) Если НОД .

Доказательство. Так как , то умножая на , получаем .■

 6º. Корни многочленов.

Определение 6. Число называется корнем, если .

Теорема 6 (теорема Безу). Пусть . Тогда .

Доказательство. Разделим на : , где const. Тогда

. ■

Замечание. Остаток от деления на равен .

Следствие. Число корней нулевого многочлена не превосходит его степени.

Доказательство по индукции по степени многочлена. Если , то const корней нет утверждение доказано.

Пусть утверждение доказано для и пусть . Если у нет корней утверждение доказано.

Если − корень и . По предположению индукции число корней не больше . Корни − это корни и наоборот (число корней )=(число корней )+1.■

Замечание. Т.о., задача нахождения корней многочлена равносильна нахождению его нормальных делителей (т.е. делителей степени 1).

Многочлен можно разделить на с остатком используя так называемую схему Горнера. Пусть имеет вид:

,

и пусть , где .

Приравнивая левую и правую часть, получаем:

,

откуда при одинаковых степенях имеем:

Отсюда

Для практического использования схему Горнера строят следующим образом:

Напомним, что .

Пример. Пусть . Найти . Воспользуемся схемой Горнера, которая в данном случае имеет вид:

	1	0	-4	6	-8	10
2	1		-4+4=0		-8+12=4

 

Пусть – корень многочлена т.е. и значит, по теореме Безу, Может оказаться, что , то

Определение 7. Наибольшее называется кратностью корня многочлена . Такой корень называется -кратным корнем Если , то корень называется простым.

Замечание 1. Если – корень кратности для многочлена , то и т.е. . Наоборот, если и то – корень кратности многочлена Для доказательства этого предположим, что |т.к. в кольце нет делителей нуля | противоречие.

Замечание2. является корнем нулевого многочлена.

Теорема 7. Если является -кратным корнем многочлена, то при >1 число будет (-1)-кратным корнем производной Если =1, то не является корнем

Доказательство. Пусть − -кратный корень многочлена Тогда , где , т.е. Дифференцируя это представление по , имеем: , т.е.. Т.к. не делит Т.к. частное от деления определяется однозначно, то является наибольшей степенью , которая делит ■

Следствие. Если – -кратный корень , то –-кратный корень для