§ 3. Многочлены
1о. Эвристические соображения.
Пусть
– поле. Тогда многочленом (полиномом)
от одной
переменной
с
коэффициентами из
называется выражение вида
Здесь под
понимается
некоторый символ, который может принимать
любые значения из
.
Многочлен можно понимать как:
-
формальное выражение;
-
как функцию
,
если
.
Ключевой вопрос: что значит, что два многочлена равны?
Если следовать
первому пункту, то
равносильно
выполнению равенств
Если
второму,
то
должно
выполняться равенство
.
Легко видеть, что если многочлены равны как формальные выражения, то они равны как функции. Обратно неверно.
Пример.
Если
с операциями, введенными в примере 5 из
примеров колец (см. п.
3° из
§ 2), то многочлены
и
совпадают как функции, но различны как
формальные выражения. Тоже самое
и
.
В
дальнейшем будем
рассматривать многочлены как формальные
выражения. Более того, для удобства
формальной записи алгебраических
операций многочлены желательно
рассматривать как сумму бесконечного
числа слагаемых вида
с конечным числом отличных от нуля
слагаемых:
Тогда формулы для суммы и произведения
многочленов примут вид:
;
,
где
.
2O. Точные определения.
Пусть
– поле.
Определение
1.
Многочленом
одной переменной с
коэффициентами из
называется бесконечная последовательность
,
в которой лишь конечное число элементов
не равно нулю.
Множество многочленов
с коэффициентами из поля
обознается
.
Введем операции сложения и умножения многочленов.
Пусть
.
Тогда
,
,
где
.
Очевидно, что
и
имеют лишь конечное число ненулевых
членов, т.е. являются многочленами. При
этом, если
имеет
членов, а
ненулевых членов, то
–
не более чем
,
а
– не более чем
ненулевых членов.
Теорема
1.
– коммутативное кольцо с единицей и
без делителей нуля.
Доказательство.
– абелева группа – очевидно. При этом
нулевой элемент
.
Проверим ассоциативность умножения. Пусть
.
Необходимо доказать,
что
.
Имеем:
,
где
.
Тогда
,
где
,
и
,
где
,
т.е. ассоциативность умножения выполняется.
Проверим дистрибутивность, т.е. выполнение равенств
.
Имеем
где
;
где
.
Аналогично доказывается второе равенство.
Проверим коммутативность умножения. Имеем
,
где
и
,
где
силу коммутативности
умножения в
.
Легко проверить,
что
– единица в
,
так как
.
Покажем, что в
нет делителей нуля. Пусть
,
,
,
,
,
,
,
.
Тогда
,
где
,
т.к.
не имеет делителей нуля. Следовательно,
– кольцо без делителей нуля.
■
Рассмотрим
.
Очевидно, что
.
Следовательно,
множество
можно отождествить с
(т.е. построить изоморфизм между этими
кольцами, причем
ставится в соответствие
.)
Обозначим
(т.к.
).
Утверждение 1.
Пусть
.
Тогда
.
Доказательство.
Так как
,
то легко видеть, что
. Тогда
,
и, значит
■
Терминология. Пусть
.
Тогда
называется свободным
членом
многочлена. Если
,
то
называется степенью
многочлена.
Пишут
(degree),
– старший коэффициент
,
,
– переменная.
Следствие.
.
Выполняется
.
При этом
,
.
Доказательство.
Пусть
и
.
Тогда
и
.
Если
или
.■
Замечание.
определено только для многочленов
нулевой степени
близко по свойствам к кольцу
алгоритм деления с остатком.
3
o. Деление многочленов.
Теорема
2.
Пусть
.
Тогда
|
|
(1) |
и
.
Доказательство.
Пусть
.
Если
,
то можно положить
.
Если
,
то будем использовать тот же метод
деления, что и для чисел.
Пусть
и
.
Положим
.
Тогда
.
Пусть
и
.
Если
,
то остановим процесс вычисления; если
,
то положим
.
Пусть
,
– старший коэффициент
,
и т.д. … Так как степени многочленов
убывают, то получим
:
и
.
Процесс останавливается. Суммируя
полученные ранее выражения, получаем:
.
Тогда
,
,
т.е. получено требуемое представление
(1).
Докажем единственность.
Пусть
и
.
Тогда
.
Если
, то
(по
лемме 1)
,
a
противоречие
.■
Определение
2.
Если
и
,
то
называется остатком
при делении
на
.
Пример.
.
Замечание.
Из указанного в теореме 2 алгоритма
деления с остатком следует, что если
и
– многочлены с действительными
коэффициентами, то коэффициенты всех
многочленов
а значит и коэффициенты
и
– действительные. Для целых коэффициентов
это утверждение, очевидно, неверно.
4o. Делители многочленов. Наибольший общий делитель.
Определение
3.
Пусть
.
Если
,
то говорят, что
делится на
или
делит
,
и пишут
.
Если
, то
означает, что остаток от деления равен
.
В этом случае многочлен
называется делителем
многочлена
.
Свойства
(делимости многочленов).
Пусть
,
,
,
,
,
.
Тогда справедливы свойства:
1)
Если
,
.
Доказательство
следует из равенства
.
2)
,
.
Доказательство. Так как
;
так как
.
Тогда имеем
.
3)
,
.
4)
выполняется
.
Доказательство.
.
Тогда
;
следовательно,
.
5)
Если
,
,
то справедливо
.
6)
.
Доказательство
следует из равенства
.
7)
имеем
.
8)
.
Действительно,
.
9)
.
Доказательство.
и
.
Ho
.
и
.
10)
.
Доказательство.
Если
имеем
.
Если
и по свойству 1 имеем
(в
силу свойства 9)
.
Следует из свойства
9.
11) Если
,
то
имеем
.
Определение
4.
Многочлен
называется общим
делителем
и
,
если
и
.
Наибольшим
общим делителем
(НОД) двух многочленов
и
называется их делитель
,
который делится на любой другой их общий
делитель.
Замечание. Ненулевая постоянная является общим делителем любых двух многочленов.
Утверждение
2.
Если НОД двух многочленов
и
существует, то он определен с точностью
до множителя
.
Доказательство.
Пусть
и
– два НОД для
и
и
(по
свойству 10)
,
для
и
.
Пусть
.
Если
– общий делитель для
и
,
то
– тоже общий делитель. Если
–
НОД, т.е. любой другой делитель делит
,
то
−
тоже
НОД.■
Утверждение
3.
Если
,
,
то пары многочленов
и
имеют одинаковые общие делители.
Доказательство.
Пусть
– общий делитель
и
(из
)
(по
свойству 5)
.
Аналогично, из делимости
и
на
и
делятся на
.■
Лемма
4.
Если
,
то
– НОД для
и
,
т.е.
.
Доказательство
следует из того, что
– делитель
и
и любой делитель
и
делит
.
Теорема
3. Для
,
НОД(
)
.
Доказательство.
Рассмотрим
.
Если
,
то в силу утверждения 4 и условия
имеем
–
НОД(
).
Если
,
то поделим
на
с остатком
.
Если
,
то теорема доказана в силу утверждения
4.
Пусть
.
Тогда делим
на
.
Если остаток
,
то доказательство завершаем, если
,
то делим
на
и т.д. Так как степени остатков все время
уменьшаются, то процесс конечен. Таким
образом, имеем следующую последовательность
равенств:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(E) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь
.
Из равенств (
)
и утверждения 2
что
пары многочленов
имеют общие делители
делители
и
совпадают с делителями многочлена
(по
лемме 4)
– делитель
и
.
Если
– любой другой делитель
и
он
делитель и
– НОД.■
Замечание 1. Алгоритм построения НОД, использованный в теореме 3, называется алгоритмом Евклида или алгоритмом последовательного деления.
Замечание
2. Если
.
Замечание 3. Так как НОД определен с точностью до множителя, то будем считать, что коэффициенты при старшей степени равен 1.
Пример.
Если
,
то
.
Замечание 4.
При вычислении НОД результаты вычисления
можно умножать и делить на элементы из
,
что влияет лишь на множители.
Теорема
4 (теорема
о разложении НОД). Пусть
и
,
.
Тогда
|
|
(2) |
При этом, если
,
то
и
можно подобрать так, что
и
.
Доказательство.
Если
,
то
.
Аналогично, если
.
Пусть теперь
и
не является делителем
.
Тогда можно считать, что
.
Из последнего равенства из (Е) следует,
что
.
Положим
.
Из равенства
где
.
Поднимаясь дальше вверх, приходим к (2).
Докажем второе
утверждение теоремы. Пусть (2) получено,
но
.
Покажем, что (2) можно привести к виду
,
где
.
Разделим
на
с остатком:
,
где
..
Подставляя
это
в (2), имеем:
.
Положим
.
Тогда
.
Покажем, что
.
От противного: пусть
.
Тогда имеем:
.
Так как из
следует
,
то
,
что противоречит определению НОД.■
Пример.
Если
,
,
то НОД(
)=
.
Следовательно,
.
Замечание. Аналогично НОД вводится для случая многих многочленов.
5˚. Взаимно простые многочлены.
Определение
5.
Многочлены
называют взаимно
простыми,
если их общими делителями являются
только многочлены нулевой степени.
Лемма
1.
–
взаимно просты
НОД
.
Теорема 5 (критерий взаимной простоты многочленов).
−
взаимно просты
:
|
|
(3) |
|
|
|