2°. Определение гиперболы, каноническое уравнение гиперболы, исследование формы гиперболы.

Определение 3. Гиперболой называется множество точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек и этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, не равная нулю и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Пусть расстояние между фокусами равно . Для вывода канонического уравнения гиперболы выберем ДПСК так же, как и для эллипса. Тогда фокус имеет координаты , а фокус – координаты .

Для произвольной точки плоскости определим её фокальные радиусы и по формулам: , . По определению, точка принадлежит гиперболе, если есть величина постоянная. Пусть . Это равенство является необходимым и достаточным условием расположения точки на данной гиперболе. Из этого равенства, используя выражения (1) для фокальных радиусов и , получаем уравнение

, (8)

являющиеся уравнением гиперболы в выбранной прямоугольной системе координат. Переписывая (8) в виде

и возведя обе части равенства в квадрат, получим

.

Отсюда упрощений имеем

.

Возведя обе части снова в квадрат, получим

,

откуда

.

Так как для гиперболы , то, положив , получим

. (9)

Мы показали, что координаты любой точки гиперболы удовлетворяют уравнению (9). Покажем теперь, что справедливо и обратное утверждение: любая точка с координатами , удовлетворяющими уравнению (9), есть точка гиперболы.

Из (9) находим . Тогда

.

Аналогично получим

.

Так как из равенства (13) следует, что и, по определению, , то для имеем

, , (10)

поэтому . Для получим

, . (11)

Следовательно, .

Таким образом, для рассматриваемой точки имеем , и поэтому она располагается на гиперболе. Уравнение (9) называется каноническим уравнением гиперболы.

Исследуем форму гиперболы. Так как в уравнение (9) входят только чётные степени координат, то, как и в случае эллипса, оси координат являются осями симметрии, а начало координат – центром симметрии. Ось симметрии гиперболы, на которой располагаются фокусы, называется фокальной осью, а точка пересечения осей симметрии – центром гиперболы.

Точки пересечения гиперболы с осями симметрии называются вершинами. Полагая в уравнении (9), получаем – точка пересечения гиперболы с осью . Следовательно, точки , – вершины гиперболы. Положив , из (9) получим невозможное равенство , которое означает, что гипербола не пересекается с осью .

Величина и называются полуосями гиперболы. Если , то гипербола называется равносторонней.

Из уравнения (9) получаем

,

т.е. . В силу симметрии достаточно исследовать форму гиперболы в первой четверти, а в остальных четвертях построить гиперболу по симметрии. Из уравнения (9) для первой четверти получаем

. (12)

Функция в первой четверти монотонно возрастает и является выпуклой вверх, так как

,

.

Найдём наклонную асимптоту для графика функции (12) в первой четверти:

,

.

Следовательно, прямая – наклонная асимптота для гиперболы. В силу симметрии асимптотами гиперболы (9) являются прямые . Других асимптот нет.

Построим гиперболу (9). Сначала построим так называемый основной прямоугольник гиперболы со сторонами , . Очевидно, что асимптоты гиперболы являются прямыми, на которых расположены диагонали этого прямоугольника. Из приведённых выше рассуждений следует, что гипербола имеет вид, изображённый на рис. 3, и состоит из левой и правой ветвей.

Рассмотрим также уравнение

. (13)

Оно задаёт гиперболу, фокусы которой расположены на оси , а основной прямоугольник и асимптота те же, что у гиперболы (9) (рис. 4). Гиперболы (9) и (13) называются сопряжёнными друг с другом.

Рис. 3

Рис. 4

Определение 4. Эксцентриситетом гиперболы называется число

.

Для любой гиперболы . Эксцентриситет характеризует форму гиперболы: чем меньше , тем больше вытягивается основной прямоугольник (так как ), а вслед за ним и гипербола вдоль оси .

Фокальным параметром гиперболы называется длина отрезка перпендикуляра к оси , восстановленного в одном из фокусов до пересечения с гиперболой в точке , т.е. . Точка имеет координаты , следовательно,

, откуда .

Фокальные радиусы и произвольной точки гиперболы в силу соотношений (10) и (11) для правой ветви гиперболы задаются формулами

, , (14)

для левой –

. (15)