Аффинное пространство

§2. Аффинное пространство

1˚. Определение.

Элементами линейного пространства являются вектора, которые могут перемещаться параллельно самим себе. Однако в приложениях важным является рассмотрение объектов, для которых исследуется их взаимное расположение. Поэтому по аналогии с трехмерными вводятся многомерные аффинные пространства, элементами которых являются точки и эти точки связаны с векторами некоторого линейного пространства.

Итак, пусть дано некоторое множество А , элементы которого называются точками и обозначаются заглавными точками Пусть также дано некоторое векторное пространство V.

Определение 1. Множество A вместе с отображением A A, называется аффинным (или точечно-аффинным) пространством над линейным пространством V, если выполнены следующие аксиомы:

1) Если А имеем , то – равенство треугольника.

2) точки АA и V ! точка BA: = .

Таким образом, А можно поставить в соответствие вектор V, обозначаемый . Точка А называется началом вектора , а точка В – концом вектора .

Аффинное пространство называется действительным или комплексным, конечномерным или бесконечномерным в зависимости от того, каким является соответствующее линейное пространство. Размерность аффинного пространства равна размерности линейного пространства.

Обозначение. А − n–мерное аффинное пространство.

Замечание 1. Всякое линейное пространство V можно рассматривать как аффинное, если вектора называть точками и паре точек u,v=A поставить в соответствие вектор v-u.

Замечание 2. Всякое аффинное пространство A можно рассматривать как векторное. Для этого фиксируется некоторая точка ОA и с каждой точкой МA сопоставляется её радиус-вектор . Множество радиус векторов всех точек МA образует линейное пространство V.

Далее всегда будем рассматривать аффинные пространства с фиксированной точкой.

Свойства аффинного пространства.

1) Каждой паре совпадающих точек из A сопоставляется нулевой вектор из V.

Доказательство: Пусть МA и = . Пусть - произвольный вектор из V //по аксиоме 2)// точка NA: = . По аксиоме 1) + = + = = = = .■

2) Если = , то = –.

Доказательство: Пусть = + = + = = = –. ■

Пример. Прямая, плоскость и пространство являются аффинными пространствами над векторными пространствами V, V, V.

2˚. Аффинные координаты.

Рассмотрим n–мерное аффинное пространство A и введём в нём так называемую аффинную систему координат. Пусть О – точка в A – начало координат и пусть − базис в соответствующем пространстве . Пусть М – произвольная точка A . Тогда определён вектор , называемый радиус-вектором точки М. Разлагая по , имеем: .

Коэффициенты этого разложения называются аффинными координатами точки М (относительно выбранной системы координат с началом в точке О и базисом ). Система {0, } называется репером.

Обозначение. .

Ввиду единственности разложения вектора по базису, координаты точки определяются однозначно.

Пусть дана другая точка N с координатами . Из аксиомы 1) аффинного пространства = + = − =, т.е. вектор имеет координаты ; т.е., чтобы получить координаты вектора надо из координат конца вычесть координаты начала.

Замечание 1. Пусть выбран базис и начало координат перенесено из точки О в точку О. Пусть координаты О в базисе с центром в О заданы координатами . Тогда имеем = + .

Замечание 2. Если О = О, а базис {e} переходит в базис {e} : E = E X = X.

В общем случае, .

12