Глава 11. Параметрические уравнения линии

204

Стержень АВ скользит своими концами А и В по координатным осям. Точка М делит стержень на две части АМ=а и ВМ=b. Вывести параметрические уравнения траектории точки М, приняв в качестве параметра угол t=(см. рис). Исключить затем параметр t и найти уравнение траектории точки М в виде А(x, y)=0.

205

Траекторией точки М является эллипс, уравнение которого (см. задачу 190). Вывести параметрические уравнения траектории точки М, принимая в качестве параметра t угол угол наклона отрезка ОМ к оси Ох.

206

Траекторией точки М является гипербола, уравнение которой (см. задачу 191). Вывести параметрические уравнения траектории точки М, принимая в качестве параметра t угол наклона отрезка ОМ к оси Ох.

207

Траекторией точки М является парабола, уравнение которой (см. задачу 192). Вывести параметрические уравнения траектории точки М, принимая в качестве параметра t:

207.1

ординату точки М;

207.2

угол наклона отрезка ОМ к оси Ох;

207.3

угол наклона отрезка FM к оси Ох, где точка F – фокус параболы.

208

Даны полярные уравнения следующих линий. Составить параметрические уравнения этих линий в декартовых прямоугольных координатах, совмещая положительную полуось абсцисс с полярной осью и выбирая в качестве параметра полярный угол.

208.1

;

208.2

;

208.3

.

209

Даны параметрические уравнения линий. Исключив параметр t, найти уравнения этих линий в виде F(x, y)=0.

209.1

 , ;

209.2

, ;

209.3

 , ;

209.4

, ;

209.5

, ;

209.6

, ;

209.7

, .

210

Определить, какие из точек M₁(3; 1), M₂(2; 3), M₃(6; 3), M₄(-3; -3), M₅(3; -1), M₆(-2; 1) лежат на прямой и какие на ней не лежат.

211

Точки P₁, P₂, P₃, P₄, P₅ расположены на прямой ; их абсциссы соответственно равны числам 4; 0; 2; -2; -6. Определить ординаты этих точек.

212

Точки Q₁, Q₂, Q₃, Q₄, Q₅ расположены на прямой ; их ординаты соответственно равны числам 1; 0; 2; -1, 3. Определить абсциссы этих точек.

213

Определить точки пересечения прямой с координатными осями и построить эту прямую на чертеже.

214

Найти точку пересечения двух прямых ,.

215

Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС даны соответственно уравнениями ,,. Определить координаты его вершин.

216

Даны уравнения двух сторон параллелограмма ,и уравнение одной из его диагоналей. Определить координаты вершин этого параллелограмма.

217

Стороны треугольника лежат на прямых ,,. Вычислить его площадь S.

218

Площадь треугольника S=8, две его вершины суть точки А(1; -2), В(2; 3), а третья вершина С лежит на прямой . Определить координаты вершины С.

219

Площадь треугольника S=1,5, две его вершины суть точки А(2; -3), В(3; -2), центр масс этого треугольника лежит на прямой . Определить координаты третьей вершины С.

220

Составить уравнение прямой и построить прямую на чертеже, зная ее угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый ею на оси Oy:

220.1

k=2/3, b=3;

220.2

k=3, b=0;

220.3

k=0, b=-2;

220.4

k=-3/4, b=3;

220.5

k=-2, b=-5;

220.6

k=-1/3, b=2/3.

221

Определить угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый на оси Oy, для каждой из прямых:

221.1

;

221.2

;

221.3

;

221.4

;

221.5

.

222

Дана прямая . Определить угловой коэффициент k прямой:

222.1

Параллельной данной прямой;

222.2

Перпендикулярно к данной прямой.

223

Дана прямая . Составить уравнение прямой, проходящей через точку М₀(2; 1):

223.1

Параллельно данной прямой;

223.2

Перпендикулярно данной прямой.

224

Даны уравнения двух сторон прямоугольника ,и одна из его вершин А(2; -3). Составить уравнения двух других сторон этого прямоугольника.

225

Даны уравнения двух сторон прямоугольника ,и уравнение одной из его диагоналей. Найти вершины прямоугольника.

226

Найти проекцию точке Р(-5; 13) относительно прямой .

227

Найти точку Q, симметричную точке Р(-5; 13) относительно прямой .

228

В каждом из следующих случаев составить уравнение прямой, параллельной двум данным прямым и проходящей посередине между ними:

228.1

, ;

228.2

, ;

228.3

, ;

228.4

, ;

228.5

, .

229

Вычислить угловой коэффициент k прямой, проходящей через две данные точки:

229.1

M₁(2; -5), M₂(3; 2);

229.2

P(-3, 1), Q(7; 8);

229.3

A(5; -3), B(-1; 6).

230

Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника A(5; -4), B(-1; 3), C(-3; -2) параллельно противоположным сторонам.

231

Даны середины сторон треугольника M₁(2; 1), M₂(5; 3), M₃(3; -4). Составить уравнение его сторон.

232

Даны две точки P(2; 3), Q(-1; 0). Составить уравнение прямой, проходящей через точку Q перпендикулярно к отрезку .

233

Составить уравнение прямой, если точка P(2; 3) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту прямую.

234

Даны вершины треугольника M₁(2; 1), M₂(-1; -1), M₃(3; 2). Составить уравнения его высот.

235

Стороны треугольника даны уравнениями ,,. Определить точку пересечения его высот.

236

Даны вершины треугольника A(1; -1), B(-2; 1), C(3; 5). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану, проведенную из вершины В.

237

Даны вершины треугольника A(2; -2), B(3; -5), C(5; 7). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины С на биссектрису внутреннего угла при вершине А.

238

Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A(3; 2), B(5; -2), C(1; 0).

239

Через точки M₁(-1; 2), M₂(2; 3) проведена прямая. Определить точки пересечения этой прямой с осями координат.

240

Доказать, что условие, при котором три точки M₁(x₁, y₁), M₂(x₂, y₂), M₃(x₃, y₃) лежат на одной прямой, может быть записано в следующем виде:

241

Доказать, что уравнение прямой, проходящей через две данные точки M₁(x₁, y₁), M₂(x₂, y₂), может быть записано в следующем виде:

242

Даны последовательные вершины выпуклого четырехугольника A(-3; 1), B(3; 9), C(7; 6), D(-2; -6). Определить точку пересечения его диагоналей.

243

Даны две смежные вершины A(-3; -1), B(2; 2) параллелограмма ABCD и точка Q(3; 0) пересечения его диагоналей. Составить уравнения сторон этого параллелограмма.

244

Даны уравнения двух сторон прямоугольника ,и уравнение его диагонали. Составить уравнения остальных сторон и второй диагонали этого прямоугольника.

245

Даны вершины треугольника A(1; -2), B(5; 4), C(-2; 0). Составить уравнения биссектрис его внутреннего и внешнего углов при вершине А.

246

Составить уравнение прямой, проходящей через точку P(3; 5) на одинаковых расстояниях от точек A(-7; 3) и B(11; -15).

247

Найти проекцию точки P(-8; 12) на прямую, проходящую через точки A(2; -3), B(-5; 1).

248

Найти точку M₁, симметричную точке М₂(8; -9) относительно прямой, проходящей через точки А(3; -4), B(-1; -2).

249

На оси абсцисс найти такую точку P, чтобы сумма ее расстояний до точек M(1; 2), N(3; 4) была наименьшей.

250

На оси ординат найти такую точку P, чтобы сумма ее расстояний до точек M(-3; 2), N(2; 5) была наибольшей.

251

На прямой найти такую точку Р, сумма расстояний которой до точек A(-7; 1), B(-5; 5) была бы наименьшей.

252

На прямой найти такую точку Р, разность расстояний которой до точек A(4; 1), B(0; 4) была бы наибольшей.

253

Определить угол между двумя прямыми:

253.1

, ;

253.2

, ;

253.3

, ;

253.4

, .

254

Дана прямая . Составить уравнение прямой, проходящей через точку M₀(2; 1) под углом 45⁰ к данной прямой.

255

Точка А(-4; 5) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой . Составить уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата.

256

Даны две противоположные вершины квадрата A(-1; 3), C(6; 2). Составить уравнения его сторон.

257

Точка E(1; -1) является центром квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой . Составить уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны этого квадрата.

258

Из точки M₀(-2; 3) под углом к оси Ox направлен луч света. Известно, что. Дойдя до оси Ox, луч от нее отразился. Составить уравнения прямых, на которых лежат падающий и отраженный лучи.

259

Луч света направлен по прямой , луч от нее отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.

260

Даны уравнения сторон треугольника ,,. Доказать, что этот треугольник равнобедренный. Решить задачу при помощи сравнения углов треугольника.

261

Доказатть, что уравнение прямой, проходящей через точку M₁(x₁; y₁) параллельно прямой , может быть записано в виде.

262

Составить уравнение прямой, проходящей через точку М₁(2: -3) параллельно прямой:

262.1

;

262.2

;

262.3

;

262.4

;

262.5

.

263

Доказать, что условие перпендикулярности прямых ;может быть записано в следующем виде:.

264

Установить, какие из следующих пар прямых перпендикулярны. Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных прямых.

264.1

 , ;

264.2

, ;

264.3

, ;

264.4

, ;

264.5

, ;

264.6

, .

265

Доказать, что формула для определения угла между прямыми,может быть записана в следующей форме:

266

Определить угол , образованный двумя прямыми. Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных прямых.

266.1

, ;

266.2

 , ;

266.3

 , .

267

Даны две вершины треугольника M₁(-10; 2), M₂(6; 4); его высоты пересекаются в точке N(5; 2). Определить координаты третьей вершины M₃.

268

Даны две вершины A(3; -1), B(5; 7) треугольника ABC и точка N(4; -1) пересечения его высот. Составить уравнения сторон этого треугольника.

269

В треугольнике АВС даны: уравнение стороны АВ: , уравнения высот АМ:и BN:. Составить уравнения двух других сторон и третьей высоты этого треугольника.

270

Составить уравнения сторон треугольника АВС, если даны одна из его вершина А(1; 3) и уравнения двух медиан ,.

271

Составить уравнения сторон треугольника, сли даны одна из его вершин B(-4; -5) и уравнения двух высот ,.

272

Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин A(4; -1) и уравнения двух биссектрис ,.

273

Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин B(2; 6), а также уравнения высоты и биссектрисы, проведенных из одной вершины.

274

Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину B(2; -1), а также уравнения высоты и биссектрисы, проведенных из различных вершин.

275

Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину C(4; -1), а также уравнения высоты и медианы, проведенной из одной вершины.

276

Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину B(2; -7), а также уравнения высоты и медианы, проведенных из различных вершин.

277

Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину C(4; 3), а также уравнения биссектрисы и медианы, проведенных из одной вершины.

278

Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину A(3; -1), а также уравнения биссектрисы и медианы, проведенных из различных вершин.

279

Составить уравнение прямой, которая проходит черезначало координат и вместе с прямыми ,образует треугольник с площадью, равной 1,5.

280

Среди прямых, проходящих через точку P(3; 0), найти такую, отрезок которой, заключенный между прямыми ,, делится в точке Р пополам.

281

Через точку Р(-3; -1) проведены всевозможные прямые. Доказать, что отрезок каждой из них, заключенный между прямыми ,, делится в точке Р пополам.

282

Через точку Р(0; 1) проведены всевозможные прямые. Доказать, что среди них нет прямой, отрезок которой, заключенный между прямыми ,, делился бы в точке Р пополам.

283

Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат, зная, что длина ее отрезка, заключенного между прямыми ,, равна.

284

Составить уравнение прямой, проходящей через точку С(-5; 4), зная, что длина ее отрезка, заключенного между прямыми ,, равна 5.