Глава 5. Упрощение общего уравнения линии второго порядка. Уравнения некоторых кривых

665

Установить, какие из следующих линий являются центральными (т.е. имеют единственный центр), какие не имеют центра, какие имеют бесконечно много центров:

665.1

 ;

665.2

;

665.3

;

665.4

;

665.5

;

665.6

;

665.7

;

665.8

 .

666

Установить, что следующие линии являются центральными, и для каждой из них найти координаты центра:

666.1

;

666.2

;

666.3

;

666.4

.

667

Установить, что каждая из следующих линий имеет бесконечно много центров; для каждой из них составить уравнение геометрического места центров:

667.1

;

667.2

;

667.3

 .

668

Установить, что следующие уравнения определяют центральные линии; преобразовать каждое из них путем переноса начала координат в центр:

668.1

;

668.2

 ;

668.3

 ;

668.4

.

669

При каких значениях m и n уравнение определяют:

669.1

центральную линию;

669.2

линию без центра;

669.3

линию, имеющую бесконечного много центров.

670

Дано уравнение линии . Определить, при каких значениях углового коэффициента k прямая:

670.1

пересекает эту линию в одной точке;

670.2

касается этой линии;

670.3

пересекает эту линию в двух точках;

670.4

не имеет общих точек с этой линией.

671

Составить уравнение линии второго порядка, которая, имея центр в начале координат, проходит через точку M(6; -2) и касается прямая в точке N(2; 0).

672

Точка Р(1; -2) является центром линии второго порядка, которая проходит через точку Q(0; -3) и касается линии Ох в начале координат. Составить уравнение этой линии.

673

Определить тип каждого из следующих уравнений; каждое из них путем параллельного переноса осей координат привести к простейшему виду; установить, какие геометрические образы они определяют, и изобразить на чертеже расположение этих образов относительно старых и новых осей координат:;

673.1

673.2

;

673.3

;

673.4

;

673.5

.

674

Каждое из следующих уравнений привести к простейшему виду; определить тип каждого из них; установить, какие геометрические образы они определяют, и изобразить на чертеже расположение этих образов отноительно старых и новых осей координат:

674.1

;

674.2

;

674.3

;

674.4

;

674.5

.

675

Определить тип каждого из следующих уравнений при помощи вычисления дискриминанта старших членов:

675.1

;

675.2

;

675.3

;

675.4

;

675.5

;

675.6

.

676

Каждое из следующих уравнений привести к каноническому виду; определить тип каждого из них; установить, какие геометрические образы они определяют; для каждого случая изобразить на чертеже оси первоначальной координатной системы; оси других координатных систем, которые вводятся по ходу решению, и геометрический образ, определяемый данным уравнением:

676.1

;

676.2

;

676.3

 ;

676.4

;

676.5

:

676.6

 .

677

То же задание, что и в предыдущей задаче, выполнить для уравнений:

677.1

;

677.2

;

677.3

;

677.4

;

677.5

;

677.6

;

677.7

;

677.8

.

678

Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти величины его полуосей:

678.1

;

678.2

;

678.3

;

678.4

.

679

Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет единственную точку (вырожденный эллипс), и найти ее координаты:

679.1

;

679.2

;

679.3

;

679.4

.

680

Не проводя преобразований координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти величины ее полуосей:

680.1

;

680.2

 ;

680.3

;

680.4

.

681

Не проводя преобразований координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет пару пересекающихся прямых (вырожденную гиперболу), и найти их уравнения:

681.1

;

681.2

;

681.3

;

681.4

.

682

Не проводя преобразования координат, установить, какие геометрические образы определяются следующими уравнениями:

682.1

:

682.2

;

682.3

;

682.4

;

682.5

.

683

Для любого эллиптического уравнения доказать, что ни один из коэффициентов А и С не может обращаться в нуль и что они суть числа одного знака.

684

Доказать, что эллиптическое уравнение второй степени (>0) определяет эллипс в том и тольк в том случае, когда А исуть числа разных знаков.

685

Доказать, что эллиптическое уравнение второй степени (>0) является уравнением мнимого эллипса в том и только в том случае, когда А исуть числа одинаковых знаков.

686

Доказать, что эллиптическое уравнение второй степени (>0) определяет вырожденный эллипс (точку) в том и только в том случае, когда=0.

687

Доказать, что гиперболическое уравнение второй степени (<0) определяет гиперболу в том и только в том случае, когда.

688

Доказать, что гиперболическое уравнение второй степени (<0) определяет вырожденную гиперболу (пару пересекающихся прямых) в том и только в том случае, когда=0.