- •Предисловие ко второму изданию
- •Часть 1. Аналитическая геометрия на плоскости Глава 1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
- •Глава 1. Ось и отрезок оси. Координаты на прямой
- •Глава 2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости
- •Глава 3. Полярные координаты
- •Глава 4. Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекции отрезка на координатные оси. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками.
- •Глава 5. Деление отрезка в заданном отношении
- •Глава 6. Площадь треугольника
- •Глава 9. Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения
- •Глава 10. Вывод уравнений заранее данных линий
- •Глава 11. Параметрические уравнения линии
- •Часть 3. Линии первого порядка
- •Глава 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •Глава 13. Неполные уравнения прямой. Совместное исследование уравнений двух и трех прямых. Уравнение прямой "в отрезках"
- •Глава 14. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой
- •Глава 15. Уравнение пучка прямых
- •Глава 16. Полярное уравнение прямой
- •Часть 4. Геометрические свойства линий второго порядка
- •Глава 17. Окружность
- •Глава 18. Эллипс
- •Глава 19. Гипербола
- •Глава 20. Парабола
- •Глава 21. Полярные уравнения эллипса, гиперболы и параболы
- •Глава 22. Диаметры линий второго порядка
- •Глава 5. Упрощение общего уравнения линии второго порядка. Уравнения некоторых кривых
- •Глава 23. Центр линии второго порядка
- •Глава 24. Приведение уравнения центральной линии второго порядка к простейшему виду
- •Глава 25. Приведение параболического уравнения к простейшему виду
- •Глава 26. Уравнение некоторых кривых, встречающихся в математике и ее приложениях
- •Часть 2. Аналитическая геометрия в пространстве Глава 6. Некоторые простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве
- •Глава 27. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве
- •Глава 28. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении
- •Глава 7. Векторная алгебра
- •Глава 29. Понятие вектора. Проекция вектора
- •Глава 34. Двойное векторное произведение
- •Глава 8. Уравнение поверхности и уравнения линии
- •Глава 35. Уравнение поверхности
- •Глава 37. Уравнение цилиндрической поверхности
- •Глава 9. Уравнение плоскости. Уравнения прямой. Уравнения поверхностей второго порядка
- •Глава 38. Общее уравнение плоскости.
Глава 19. Гипербола
515 |
|
Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что: |
|
515.1 |
ее оси 2a=10 и 2b=8; |
|
515.2 |
расстояние между фокусами 2c=10 и ось 2b=8; |
|
515.3 |
расстояние между фокусами 2c=6 и эксцентриситет e=3/2; |
|
515.4 |
ось 2a=16 и эксцентриситет e=5/4; |
|
515.5 |
уравнения асимптот и расстояние между фокусами 2c=20; |
|
515.6 |
расстояние между директрисами равно 228/13 и расстояние между фокусами 2c=26; |
|
515.7 |
расстояние между директрисами равно 32/5 и ось 2b=6; |
|
515.8 |
расстояние между директрисами равно 8/3 и эксцентриситет e=3/2; |
|
515.9 |
уравнения асимптот и расстояние между директрисами равно 64/5; |
516 |
|
Составить уравнение гиперболы, фокусы которого расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что: |
|
516.1 |
ее полуоси a=6, b=18 (буквой а мы обозначаем полуось гиперболы, расположенной на оси абсцисс); |
|
516.2 |
расстояние между фокусами 2с=10 и эксцентриситет e=5/3; |
|
516.3 |
уравнения асимптот и расстояние между вершинами равно 48;
|
|
516.4 |
расстояние между директрисами равно 50/7 и эксценриситет e=7/5; |
|
516.5 |
уравнения асимптот и расстояние между директрисами равно 32/5. |
517 |
|
Определить полуоси а и b каждой из следующих гипербол: |
|
517.1 |
; |
|
517.2 |
; |
|
517.3 |
; |
|
517.4 |
; |
|
517.5 |
; |
|
517.6 |
; |
|
517.7 |
. |
518 |
|
Дана гипербола . Найти: полуоси а и b, фокусы, эксцентриситет, уравнения асимптот, уравнения директрис. |
519 |
|
Дана гипербола . Найти: полуоси а и b, фокусы, эксцентриситет, уравнения асимптот, уравнения директрис. |
520 |
|
Вычислить площадь треугольника, образованного асимптотами гиперболы и прямой. |
521 |
|
Установить, какие линии определяются следующими уравнениями. Изобразить эти линии на чертеже. |
|
521.1 |
; |
|
521.2 |
; |
|
521.3 |
; |
|
521.4 |
. |
522 |
|
Дана точка M1(10; ) на гиперболе. Составить уравнения прямых, на которых лежат фокальные радиусы точки М1. |
523 |
|
Убедившись, что точка М1(-5; 9/4) лежит на гиперболе , определить фокальные радиусы точки М1. |
524 |
|
Эксцентриситет гиперболы e=2, фокальный радиус ее точки М, проведенный из некоторого фокуса, равен 16.
Вычислить расстояние от точки М до односторонней с этим фокусом директрисы. |
525 |
|
Эксцентриситет гиперболы e=3, расстояние от точки М гиперболы до директрисы e=3, расстояние от точки М гиперболы до директрисы равно 4. Вычислить расстояние от точки М до фокуса, одностороннего с этой директрисой. |
526 |
|
Эксцентриситет гиперболы e=2, центр ее лежит в начале координат, один из фокусов F(12; 0). Вычислить расстояние от точки М1 гиперболы с абсциссой, равной 13, до директрисы, соответствующей заданному фокусу. |
527 |
|
Эксцентриситет гиперболы e=3/2, центр ее лежит в начале координат, одна из директрис дана уравнением x=-8. Вычислить расстояние от точки М1 гиперболы с абсциссой, равной 10, до фокуса, соответствующего заданной директрисе. |
528 |
|
Определить точки гиперболы , расстояние от которых до правого фокуса равно 4,5. |
529 |
|
Определить точки гиперболы , расстояние которых до левого фокуса равно 7.
|
530 |
|
Через левый фокус гиперболы проведен перпендикуляр к ее оси, содержащей вершины. Определить расстояние от фокусов до точек пересечения этого перпендикуляра с гиперболой. |
531 |
|
Пользуясь одним циркулем, построить фокусы гиперболы (считая, что оси координат изображены и масштабная единица задана). |
532 |
|
Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны: |
|
532.1 |
точки M1(6; -1), M2(-8; ) гиперболы; |
|
532.2 |
точка М1(-5; 3) гиперболы и эксцентриситет e=; |
|
532.3 |
точка М1(9/2; -1) гиперболы с уравнения асимптот ; |
|
532.4 |
точка М1(-3; 5/2) гиперболы и уравнения директрис ;
|
|
532.5 |
уравнения асимптот и уравнения директрис.
|
533 |
|
Определить эксцентриситет равносторонней гиперболы. |
534 |
|
Определить эксцентриситет гиперболы, если отрезок между ее вершинами виден из фокусов сопряженной гиперболы под углом 600. |
535 |
|
Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса . Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет e=2. |
536 |
|
Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат в вершинах эллипса , а директрисы проходят через фокусы этого эллипса. |
537 |
|
Доказать, что расстояние от фокуса гиперболы до ее асимптоты равно b. |
538 |
|
Доказать, что произведение расстояний от любой точки гиперболы до двух ее асимптот есть величина постоянная, равная. |
539 |
|
Доказать, что площадь параллелограмма, ограниченного асимптотами гиперболы и прямыми, проведенными через любую ее точку параллельно асимптотами, есть величина постоянная, равная ab/2. |
540 |
|
Составить уравнение гиперболы, если известны ее полуоси a и b, центр C(x0; y0) и фокусы расположены на прямой: |
|
540.1 |
параллельной оси Ox; |
|
540.2 |
параллельной оси Oy. |
541 |
|
Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти координаты ее центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис:
|
|
541.1 |
; |
|
541.2 |
; |
|
541.3 |
. |
542 |
|
Установить, какие линии определяются следующими уравнениями. Изобразить эти линии на чертеже. |
|
542.1 |
; |
|
542.2 |
; |
|
542.3 |
; |
|
542.4 |
. |
543 |
|
Составить уравнение гиперболы, зная, что: |
|
543.1 |
расстояние между ее вершинами равно 24 и фокусы суть F1(-10; 2), F2(16; 2); |
|
543.2 |
фокусы суть F1(3; 4), F2(-3; -4) и расстояние между директрисами равно 3,6; |
|
543.3 |
угол между асимптотами равен 900 и фокусы суть F1(4; -4), F2(-2; 2). |
544 |
|
Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет e=5/4, фокус F(5; 0) и уравнение соответствующей директрисы . |
545 |
|
Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет e=13/12, фокус F(0; 13) и уравнение соответствующей директирсы . |
546 |
|
Точка А(-3; -5) лежит на гиперболе, фокус которой F(-2; -3), а соответствующая директриса дана уравнением . Составить уравнение этой гиперболы. |
547 |
|
Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет e=, фокус F(2; -3) и уравнение соответствующей директрисы. |
548 |
|
Точка М1(1; -2) лежит на гиперболе, фокус которой F(-2; 2), а соответстующая директриса дана уравнением . Составить уравнение этой гиперболы. |
549 |
|
Дано уравнение равносторонней гиперболы . Найти ее уравнение в новой системе, приняв за оси координат ее асимптоты. |
550 |
|
Установив, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, найти для каждой из них центр, полуоси, уравнения асимптот и построить их на чертеже: |
|
550.1 |
; |
|
550.2 |
; |
|
550.3 |
. |
551 |
|
Найти точку пересечения прямой и гиперболы. |
552 |
|
Найти точки пересечения прямой и гиперболы.
|
553 |
|
Найти точки пересечения прямой и гиперболы. |
554 |
|
В следующих случаях определить, как расположена прямая относительно гиперболы: пересекает ли, касается или проходит вне ее: |
|
554.1 |
, ; |
|
554.2 |
, ; |
|
554.3 |
, . |
555 |
|
Определить, при каких значениях m прямая : |
|
555.1 |
пересекает гиперболу : |
|
555.2 |
касается ее; |
|
555.3 |
проходит вне этой гиперболы. |
556 |
|
Вывести условие, при котором прямая касается гиперболы. |
557 |
|
Составить уравнение касательной к гиперболе в ее точке M1(x1; y1). |
558 |
|
Доказать, что касательные к гипербле, проведенные в концах одного и того же диаметра, параллельны. |
559 |
|
Составить уравнения касательных к гиперболе , перпендикулярных к прямой. |
560 |
|
Составить уравнения касательных к гиперболе , параллельных прямой. |
561 |
|
Провести касательные к гиперболе параллельно прямойи вычислить расстояние d между ними. |
562 |
|
На гиперболе найти точку М1, ближайшую к прямой , и вычислить расстояние d от точки М1 до этой прямой. |
563 |
|
Составить уравнение касательной к гиперболе , проведенных из точки А(-1; -7). |
564 |
|
Из точки С(1; -10) проведены касательные к гиперболе . Составить уравнение хорды, соединяющей точки касания. |
565 |
|
Из точки Р(1; -5) проведены касательные к гиперболе . Вычислить расстояние d от точки Р до хорды гиперболы, соединяющей точки касания. |
566 |
|
Гипербола проходит через точку А(; 3) и касается прямой. Составить уравнение этой гиперболы при условии, что ее оси совпадают с осями координат. |
567 |
|
Составить уравнение гиперболы, касающейся прямых ,, при условии, что ее оси совпадают с осями координат. |
568 |
|
Убедившись, что точки пересечения эллипса и гиперболыявляются вершинами прямоугольника, составить уравнения его сторон. |
569 |
|
Даны гиперболы и какая-нибудь ее касательная, Р – точка пересечения касательной с осью Ох, Q – проекция точки касания на ту же ось. Доказать, что. |
570 |
|
Доказать, что фокусы гиперболы расположены по разные стороны от любой ее касательной. |
571 |
|
Доказать, что произведение расстояний от фокусов до любой касательной к гиперболе есть величина постоянная, равная b2. |
572 |
|
Прямая касается гиперболы, фокусы которой находятся в точках F1(-3; 0), F2(3; 0). Составить уравнение этой гиперболы. |
573 |
|
Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если известны уравнение касательной к гиперболе и расстояние между ее вершинами 2а=8. |
574 |
|
Доказать, что прямая, касающаяся гиперболы в некоторой точке М, составляет равные углы с фокальными радиусами F1M, F2M и проходит внутри угла F1MF2. |
575 |
|
Из правого фокусы гиперболы под углом(<<) к оси Ох направлен луч света. Известно, что. Дойдя до гиперболы, луч от нее отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч. |
576 |
|
Доказать, что эллипс и гипербола, имеющие общие фокусы, пересекаются под прямым углом. |
577 |
|
Коэффициент равномерного сжатия плоскости к оси Ох равен 4/3. Определить уравнение линии, в котороую при этом сжатии преобразуется гипербола . |
578 |
|
Коэффициент равномерного сжатия плоскости к оси Оу равен 4/5. Определить уравнение линии, в которую при этом сжатии преобразуется гипербола . |
579 |
|
Найти уравнение линии, в которую преобразуется гипербола при двух последовательных равноменых сжатиях плоскости к координатным осям, если коэффициенты равномерного сжатия плоскости к осям Ох и Оу соответствуют 2/3 и 5/3. |
580 |
|
Определить коэффициент q равномерного сжатия плоскости к оси Ох, при котором гипербола преобразуется в гиперболу. |
581 |
|
Определить коэффициент q равномерного сжатия плоскости к оси Оу, при котором гипербола преобразуется в гиперболу. |
582 |
|
Определить коэффициенты q1, q2 двух последовательных равномерных сжатий плоскости к осям Ох и Оу, при которых гипербола преобразуется в гиперболу. |