Глава 6. Площадь треугольника

127

Написать формулы преобразований координат, если начало координат (без изменения направления осей) перенесено в точку:

127.1

А(3; 4);

127.2

B(-2; 1);

127.3

C(-3; 5).

128

Начало координат перенесено (без изменения направления осей) в точку O’(3; -4). Координаты точек А(1; 3), B(-3; 0), C(-1; 4) определены в новой системе. Вычислить координаты этих же точек в старой системе координат.

129

Даны точки A(2; 1), B(-1; 3), C(-2; 5). Найти их координаты в новой системе, если начало координат перенесено (без изменения направления осей):

129.1

в точку А;

129.2

в точку В;

129.3

в точку С.

130

Определить старые координаты начала O’ новой системы, если формулы преобразования заданы следующими равенствами:

130.1

, ;

130.2

, ;

130.3

 , ;

130.4

 , ;

131

Написать формулы преобразований координат, если координатные оси повернуты на один из следующих углов:

131.1

60⁰;

131.2

–45⁰;

131.3

90⁰;

131.4

–90⁰;

131.5

180⁰.

132

Координатные оси повернуты на угол =60⁰. Координаты точек А(; -4), B(; 0), C(0;) определены в новой системе. Вычислить координаты этих же точек в старой системе.

133

Даны точки M(3; 1), N(-1; 5), P(-3; -1). Найти их координаты в новой системе, если оси координат повернуты на угол:

133.1

–45⁰;

133.2

90⁰;

133.3

–90⁰;

133.4

180⁰.

134

Определить угол , на который повернуты оси, если формулы преобразования координат заданы следующими равенствами:

134.1

, ;

134.2

, ;

135

Определить координаты точки O’ – нового начала координат, если точка А(3; -4) лежит на новой оси абсцисс, а точка B(2; 3) лежит на новой оси ординат, причем оси старой и новой систем координат имеют соответственно одинаковые направления.

136

Написать формулы преобразования координат, если точка M₁(2; -3) лежит на новой оси абсцисс, а точка M₂(1; -7) лежит на новой оси ординат, причем оси старой и новой систем координат имеют соответственно одинаковые направления.

137

Две системы координатных осей Ox, Oy и Ox’, Oy’ имеют общее начало О и преобразуются одна в дргую поворотом на некоторый угол. Координаты точки А(3; –4) определены относительно первой из них. Вывести формулы преобразования координат, зная, что положительное направление оси Ox’ определено отрезком .

138

Начало координат перенесено в точку O’(-1; 2), координатные оси повернуты на угол . Координаты точек M₁(3; 2), M₂(2; -3), M₃(13; -13) определены в новой системе. Вычислить координаты эти же точек в старой системе координат.

139

Даны точки A(5; 5), B(2; -1), C(12; -6). Найти их координаты в новой системе, если начало координат перенесено в точку В, а координатные оси повернуты на угол .

140

Определить старые координаты нового начала и угол , на который повернуты оси, если формулы преобразвоания координат заданы следующими равенствами:

140.1

, ;

140.2

, ;

140.3

, ;

141

Даны точки M₁(9; -3), M₂(-6; 5). Начало координат перенесено в точку M₁, а координатные оси повернуты так, что положительное направление новой оси абсцисс совпадает с направлением отрезка . Вывести формулы преобразования координат.

142

Полярная ось полярной системы координат параллельна оси абсцисс декартовой прямоугольной системы и направлена одинаково с нею. Даны декартовы прямоугольные координаты полюса O(1; 2) и полярные координаты точек M₁(7; /2), M₂(3; 0), M₃(5; -/2), M₄(2; 2/3), M₅(2; -/6). Определить координаты этих точек в декартовой прямоугольной системе координат.

143

Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось направлена по биссектрисе первого координатного угла. Даны полярные координаты точек M₁(5; /4), M₂(3; -/4), M₃(1; 3/4), M₄(6; -3/4), M₅(2; -/12). Определить декартовы прямоугольные ординаты этих точек.

144

Полярная ось полярной системы координат параллельна оси абсцисс декартовой прямоугольной системы и одинаково с нею направлена. Даны декартовы прямоугольные координаты полюса O(3; 2) и точек M₁(5; 2), M₂(3; 1), M₃(3; 5), M₄(,), M₅(; 3). Определить полярные координаты этих точек.

146

Даны две функции P и Q, расстояние между которыми равно а, и функция , гдеd₁=MP и d₂=MQ. Определить выражение этой функции, если в качестве начала координат принята точка P, а ось Ох направлена по отрезку PQ.

147

При условиях задачи 146 определить выражение функции f(M) (непосредственно и при помощи преобразования координат, используя результат задачи 146), если:

147.1

Начало координат выбрано в середине отрезка PQ, ось Ох направлена по отрезку PQ.

147.2

Начало координат выбрано в точке Р, а ось Ох направлена по отрезку QP.

148

Даны квадрат ABCD со стороной a и функция , гдеd₁=MA, d₂=MB, d₃=MC, d₄=MD. Определить выражение этой функции, если за оси координат приняты диагонали квадрата (причем ось Ох направлена по отрезку АС, ось Оу – по отрезку BD).

149

При условиях задачи 148 определить выражение для f(M) (непосредственно и при помощи преобразования координат, используя результат задачи 148), если начало координат выбрано в точке А, а оси координат направлены по его сторонам (ось Ох – по отрезку АВ, ось Оу – по отрезку AD).

150

Дана функция f (x, y)=x²+y²+6x+8y. Определить выражение этой функции в новой системе координат, если начало координат перенесено (без изенения направления осей) в точку О’ (3; –4).

151

Дана функция f (x, y)=x²–y²–16. Определить выражение этой функции в новой системе координат, если координатные оси повернуты на угол –45 .

152

Дана функция f (x, y)=x²+y². Определить выражение этой функции в новой системе координат, если координатные оси повернуты на некоторый угол  .

153

Найти такую точку, чтобы при переносе в нее начала координат выражение функции f (x, y)=x²–4y²–6x+8y+3=0 после преобразования не содержало членов первой степени относительно новых переменных.

154

Найти такую точку, чтобы при переносе в нее начала координат выражение функции f (x, y)==x²–4xy+4y²+2x+y–7 не содержало членов первой степени относительно новых переменных.

155

На какой угол нужно повернуть координатные оси, чтобы выражение функции f (x, y)==x²–2xy+y²+6x+3 после преобразования не содержало члена с произведением новых переменных?

156

На какой угол нужно повернуть координатные оси, чтобы выражение функции после преобразования не содержало члена с произведением новых переменных?