Глава 4. Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекции отрезка на координатные оси. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками.

44

Вычислить проекцию отрезка на ось u, если даны его длина d и угол j наклона к оси:

44.1

d=6,  = /3;

44.2

d=6,  =2 /3;

44.3

d=7,  = /2;

44.4

d=5,  =0;

44.5

d=5,  = ;

44.6

d=4,  = - /3.

45

Построить на чертеже отрезки, исходящие из начала координат,

зная их проекции на координатные оси:

45.1

X=3, Y=2;

45.2

X=2, Y=-5;

45.3

X=-5, Y=0;

45.4

X=-2, Y=3;

45.5

X=0, Y=3;

45.6

X=-5, Y=-1;

46

Построить на чертеже отрезки, имеющие началом точку M(2; -1),

зная их проекции на координатные оси:

46.1

X=4. Y=3;

46.2

X=2, Y=0;

46.3

X=-3, Y=1;

46.4

X=-4, Y=-2;

46.5

X=0, Y=-3;

46.6

X=1, Y=-3.

47

Даны точки М₁(1; -2), М₂(2; 1), М₃(5; 0), М₄(-1; 4), М₅(0; -3).

Найти проекции на координатные оси следующих отрезков:

47.1

47.2

47.3

47.4

48

Даны проекции X=5, Y=-5 отрезка на координатные оси;

зная, что его начало в точке М₁(-2; 3), найти координаты его конца.

49

Даны проекции X=4, Y=-5 отрезка на координатные оси;

зная, что его конец в точке B(1; -3), найти координаты его начала.

50

Построить на чертеже отрезки, исходящие оиз начала координат,

зная длину d и полярный угол q каждого из них:

50.1

d=5, q = /5;

50.2

d=3,  =5 /6;

50.3

d=4,  =- /3;

50.4

d=3,  =-4 /3.

51

Построить на чертеже отрезки, имеющие началом точку М(2; 3),

зная длину и полярный угол каждого из них (координаты точки М декартовы):

51.1

d=2, q =- /10;

51.2

d=1,  = /9;

51.3

d=5,  =- /2ж

52

Вычислить проекции на координатные оси отрезков, зная длину

d и полярный угол q каждого из них:

52.1

d=12, q =2 /3;

52.2

d=6,  =- /6;

52.3

d=2,  =- /4.

53

Даны проекции отрезков на координатные оси. Вычислить длину каждого из них.

53.1

X=3, Y=-4;

53.2

X=12, Y=5;

53.3

X=-8, Y=6.

54

Даны проекции отрезков на координатные оси.

Вычислить длину d и полярный угол q каждого из них.

54.1

X=1, Y=;

54.2

X=, Y=;

54.3

X=, Y=2.

55

Даны точки М₁(2; -3), M₂(1; -4), M₃(-1; -7), M₄(-4; 8).

Вычислить длину и полярный угол слдующих отрезков:

55.1

55.2

55.3

55.4

56

Длина d отрезка равна 5, его проекция на ось абсцисс равна 4.

Найти проекцию этого отрезка на ось ординат при условии,

что он образует с осью ординат:

56.1

Острый угол;

56.2

Тупой угол.

57

Длина отрезка равна 13; его начало в точке М(3; -2),

проекция на ось абсцисс равна –12.

Найти координаты конца этого отрезка при условии, что он образует с осью ординат:

57.1

Острый угол;

57.2

Тупой угол.

58

Длина отрезка равна 17, его конец в точке N(-7; 3),

проекция на ось ординат равна 15.

Найти координаты начала этого отрезка при условии, что он образует с осью абсцисс:

58.1

Острый угол;

58.2

Тупой угол.

59

Зная проекции X=1, Y=отрезка на координатные оси,

найти его проекцию на ось, которая составляет с осью Ox угол  =2 /3.

60

Даны две точки M₁(1; -5), M₂(4; -1).

Найти проекцию отрезка на ось, которая составляет с осью Ox угол =- /6.

61

Даны две точки P(-5; 2), Q(3; 1).

Найти проекцию отрезка на ось, которая составляет с осью Ox угол

62

Даны две точки M₁(2; -2), M₂(7; -3).

Найти проекцию отрезка на ось, проходящую через точки

A(5; -4), B(-7; 1) и направленную:

62.1

от А к В;

62.2

от В к А.

63

Даны точки A(0; 0), B(3; -4), C(-3; 4), D(-2; 2), E(10; -3).

Определить расстояние d между точками:

63.1

А и В.

63.2

В и С.

63.3

А и С.

63.4

C и D.

63.5

A и D.

63.6

D и E.

64

Даны две смежные вершины квадрата A(3; -7) и В(-1; 4).

Вычислить его площадь.

65

Даны две противоположные вершины квадрата P(3; 5), Q(1; -3).

Вычислить его площадь.

66

Вычислить площадь правильного треугольника, две вершины которого суть

A(-3; 2), B(1; 6).

67

Даны три вершины А(3; -7), В(5; -7), С(-2; 5) параллелограмма ABCD,

четвертая вершина которого D противоположна B.

Определить длины диагоналей того параллелограмма.

68

Сторона ромба равна , две его противоположные вершины суть точки

P(4; 9), Q(-2; 1). Вычислить площадь этого ромба.

69

Сторона ромба равна , две его противоположные вершины суть точки

P(3; -4), Q(1; 2). Вычислить длину высоты этого ромба.

70

Доказать, что точки А(3; -5), В(-2; -7), С(18; 1) лежат на одной прямой.

71

Доказать, что треугольник с вершинами A₁(1; 1), A₂(2; 3), A₃(5; -1) прямоугольный.

72

Доказать, что точки А(2; 2), В(-1; 6), С(-5; 3), D(-2; -1) являются вершинами квадрата.

73

Определить, есть ли среди внутренних углов треугольника с вершинами

M₁(1; 1), M₂(0; 2), M₃(2; -1) тупой угол.

74

Доказать, что все внутренние углы треугольника с вершинами

M(-1; 3), N(1; 2), P(0, 4) острые.

75

Вершины треугольника суть точки A(5; 0), B(0; 1), C(3; 3).

Вычислить его внутренние углы.

76

Вершины треугольника суть точки А(; 1), B(0, 2), C(; 2).

Вычислить его внешний угол при вершине А.

77

На оси абсцисс найти такую точку М,

расстояние от которой до точки N(2; -3) равнялось бы 5.

78

На оси ординат найти такую точку М, расстояние от которой до точки

N(-8; 13 равнялось бы 17.

79

Даны две точки M(2; 2), N(5; -2); на оси абсцисс найти такую точку

Р, чтобы угол MPN был прямым.

80

Через точку А(4; 2) проведена окружность, касающаяся обеих координатных осей.

Определить ее центр С и радиус R.

81

Через точку М₁(1; -2) проведена окружность радиуса 5, касающаяся оси Ox.

Определить центр С окружности.

82

Определить координаты точки М₂, симметричной точке М₁(1; 2)

относительно прямой, проходящей через точки А(1; 0), В(-1; -2).

83

Даны две противоположные вершины квадрата А(3; 0) и С(-4; 1).

Найти две его другие вершины.

84

Даны две смежные веришны квадрата А(2; -1) и В(-1; 3).

Определить две его другие вершины.

85

Даны вершины треугольника M₁(-3; 6), M₂(9; -10), M₃(-5; 4).

Определить центр С и радиус R круга, описанного около этого треугольника.