1.3.5. Перехід від десяткової до інших систем числення

Досі ми переходили від заданої системи числення до десяткової, а зараз розглянемо, як знайти запис поданого десяткового числа у будь-якій довільній системі числення. Якщо число ціле, то його потрібно послідовно ділити на основу системи доти, доки частка не стане меншою ніж основа. Залишки, що будуть отримані у процесі ділення записані у зворотному порядку, починаючи з останньої частки, і будуть шуканим записом. Наведемо приклади.

Знайти запис цілого числа (125)₁₀ у шістнадцятковій системі:

- 125	16
112	7
13

тобто (125)₁₀= (7D)₁₆ .

Знайти запис числа (100)₁₀ у двійковій системі числення:

тобто (100)₁₀ = (1100100)₂ .

Щоб перевести десятковий дріб в іншу систему, треба застосовувати дещо інший алгоритм. Сутність алгоритму покажемо на прикладі.

Знайти запис числа (0,847)₁₀ у двійковій системі числення:

0,847
×2
1,694→	0.694
	×2
	1,388→	0,388
		×2
		0,776→	0,776
			×2
			1,552

Випишемо отримані частки у прямому порядку – це і буде шуканий запис: (0,847)₁₀ = (0, 1101)₂

Дії з двійковими числами. Основні дії з двійковими числами виконують з урахуванням таблиць додавання, віднімання, множення.

Таблиця 1.2. Основні дії з двійковими числами

Додавання	Віднімання	Множення
0+0=0	0-0=0	0×0=0
0+1=1	1-0=1	1×0=0
1+0=1	0-1=0	0×1=0
1+1=10	10-1=1	1×1=1

Приклад 1. Обчислити суму чисел 5 та 3, заздалегідь перевівши їх у двійкову систему числення. (5)₁₀=101; (3)₁₀=11.

Додавання	Віднімання
1 + 01 11 1000	- 101 11 10

1.3.6. Перехід від двійкової до вісімкової і шістнадцяткової систем

Для переводу цілого числа з двійкової системи до вісімкової його попередньо треба розбити на тріади, а потім кожну тріаду замінити відповідною цифрою вісімкової системи:

(1000111010101) ₂

1 000 111 010 101

1 0 7 2 5

(10725) ₈

Щоб перейти до шістнадцяткової системи треба зробити так само, тільки ділити потрібно не на тріади, а на тетради, і замінювати їх шістнадцятковою цифрою:

(1000111010101) ₂

1 0001 1101 0101

1 1 D 5

(11D5)₁₆

Цілком очевидно, що діючи у зворотному порядку, можна переходити від вісімкової і шістнадцяткової системи до двійкової. Такий суто механічний перехід є можливим завдяки тому, що основи цих систем мають спільне кратне 2. Якщо порівняти записи одного і того ж числа в різних системах, то зрозуміло, що шістнадцяткова система є більш економною щодо кількості використованих символів і це є перевагою перед двійковою системою.

Приклад 2. Нехай модем передає інформацію зі швидкістю 2400 бод. Для передачі одного символу тексту потрібно передати близько 10 бітів. Таким чином, модем здатний за 1 секунду передати близько 2400/10 = 240 символів.

Приклад 3. Скільки біт достатньо для того, щоб закодувати всі букви англійського алфавіту та цифри від 0 до 9?

При визначенні кількості різноманітних комбінацій, використовуємо формулу: 2^N = кількість комбінацій, де N – це кількість біт, а основа 2 обумовлена двійковою системою числення, тобто наявністю лише двох значень (0 та 1).

Англійський алфавіт містить 26 букв + 10 цифр від 0 до 9. тобто комбінацій має бути 36. Тоді 2^х ≥ 36. Таким чином х = 6.