11.5.4.Четвертая теория (энергетическая)

Она наилучшим образом согласуется с экспериментальными данными для пластичных материалов типа сталь. Утверждается, что элемент тела единичного объема разрушится тогда, когда работа максимальных касательных напряжений достигнет предельного значения.

Для трехосного напряженного состояния в разных плоскостях имеем 3 разных :

Рассмотрим работу

Рис.11.16

Имеем:

Работа силы на перемещениибудет:

.

В виду малости угла сдвига имеем:

.

Примем, что объем элемента

Таким образом, получаем:

.

По закону Гука (- модуль сдвига):

.

Окончательно получим: .

Аналогично, максимальные касательные напряжения в других плоскостях дают работы:

, .

Суммируя их, получим:

.

Обозначим работу внутренних сил, приводящих к разрушению элемента тела, через .

Тогда критерий разрушения можно записать в виде:

.

Выразим правую часть через . Рассмотрим частный случай - одноосное растяжение. Тогда в момент разрушения:

.

Подставляя в критерий разрушения, получим:

Окончательно четвертая теория теперь примет вид:

.

Рассмотрим теперь частный случай, когда = 0, который имеет место в балках и плитах строительных сооружений. Тогда получим критерий в виде:

.

или

Предельная кривая примет вид эллипса, приведенного на рис.11.15.

11.5.5. Пятая теория – критерий Мора

Формулируется для элемента тела, который растягивается в продольном направлении и сжимается в поперечном направлении (см. рис.11.18).

Рис.11.18. Рис.11.19.

Для некоторых материалов (например, для бетона) было обнаружено, что он, предварительно сжатый в поперечном направлении (см. рис.11.19), хуже работает на растяжение в продольном направлении.

Запишем это утверждение аналитически. Учтем, что при растяжении , при поперечном сжатии. Тогда разрушение произойдет при

,

где n > 0 – некоторый коэффициент. Выразим n через пределы прочности материала.

Для этого сначала рассмотрим разрушение при простом сжатии. Тогда получим:

Отсюда: .

Таким образом, для элемента тела, который растягивается в продольном направлении и сжимается в поперечном направлении получим критерий Мора в виде:

.

В 1-ой и 3-ей четвертях (т.е. при растяжении или сжатии в обоих направлениях) применяют первую теорию. Предельная кривая примет вид многоугольника, приведенный на рис.11.20.

Рис.11.20

Примечание. Если на элемент тела кроме действует еще, при этом, а также, , то критерий Мора записывают так же

.

Это означает, что влиянием на прочность элемента пренебрегают.

12. Краткое изложение теорий прочности в задачах сопротивления материалов

Поскольку вторая теория плохо коррелирует с экспериментом, то ограничимся изложением только I, III,IV и V теорий.

Пусть известны пределы прочности на растяжение и сжатиепри одноосном нагружении элемента напряжением(см. рис.12.1).

Рис.12.1

Встает вопрос: какое значение растягивающего напряжения потребуется для того, чтобы разрушить образец, если предварительно нагрузить его в поперечном направлении напряжением- меньшее значение, чем, большее, чем, или же равное?

Оказалось, что однозначного ответа на этот вопрос нет, так как для различных классов материалов степень влияния разная, причемможет как повышать прочность, так и понижать ее, а иногда на прочность в направлении действияона никак не влияет.

На основе экспериментальных данных первая, третья теории и модифицированная пятая теория (модифицированная теория Мора) отвечают на него следующим образом.

В случае напряженных состояний «растяжение-растяжение» или «сжатие-сжатие» наличие для большинства материалов никак не влияет на прочность элемента в первом направлении (т.е. какими бы не были, элемент разрушается тогда, когда одно из них достигает предела прочности).Таким образом, условия прочности имеют вид:

или ,

или .

Рассмотрим теперь элемент тела, который предварительно сжат в поперечном направлении, а затем растягивается в продольном направлении. Для большинства конструкционных материалов (сталь, бетон и др.) было обнаружено, что образец, предварительно сжатый в поперечном (втором) направлении, хуже работает на растяжение в первом направлении.

Запишем это утверждение аналитически. Учтем, что при поперечном сжатии . Тогда разрушение произойдет при

,

где m > 0 – некоторый коэффициент. Подставляя сюда два частных случая разрушения при простом растяжении и простом сжатии, получим выражение для m

.

В случае третьей теории, т.е. для равнопрочных материалов n=1.

Таким образом, пятая теория Мора, и третья теории в случае напряженных состояний «растяжение при поперечном сжатии» дают условия прочности вида:

или .

Первая теория, как показали эксперименты для большинства строительных материалов, в случае напряженных состояний «растяжение при поперечном сжатии» не применима.

Предельная кривая для теории Мора и третьей теории примет вид многоугольника, изображенного на рис.11.20.

Сформулируем четвертую теорию в краткой форме (с учетом того, что в сопротивлении материалов рассматриваются только те элементы конструкций, которые испытывают лишь два напряжения σ_z , τ_zy). Эксперименты показывают, что при наличии касательных напряжений τ_zy для разрушения малого элемента тела нормальным напряжением σ_z требуется меньшее значение σ_z , чем предел прочности . Это утверждение в четвертой теории записывается следующим образом:

.

Как показали эксперименты коэффициент с = 3. Поэтому в сопротивлении материалов четвертую теорию записывают в виде

.

Предельная кривая для четвертой теории примет вид эллипса, изображенного на рис.11.15 пунктирной линией. Она хорошо подтверждается для пластичных материалов типа сталь, алюминий и т.п. с равными пределами прочности на растяжение и сжатие

Примечание.

При анализе теорий прочности можно пойти еще дальше и провести следующие рассуждения.

Поскольку в сопротивлении материалов рассматриваются только те случаи, в которых на малые элементы конструкций действуют лишь два напряжения σ_z , τ_zy , то, как отмечено выше в разделе11.3, можно сразу записать выражения для главных напряжений, изображенных на рис.11.1. При этом видно, что одно из них положительно, а другое – отрицательно:

.

Следовательно, в задачах сопротивления материалов имеем растяжение малого элемента при поперечном сжатии. Как было уже сказано, первая теория для большинства строительных материалов в случае напряженных состояний «растяжение при поперечном сжатии» не применима.

Таким образом, в задачах сопротивления материалов достаточно использовать теорию разрушения Мора в виде

Для материалов с равными пределами прочности на растяжение и сжатие (т.е. для случая , например, для стали) она дает небольшое отличие от эксперимента (порядка 15% в сторону занижения прочности, т.е. в «запас прочности»). Для таких материалов можно использовать более точную четвертую теорию.