1 semestr / Лекции в формате PDF - 1-й семестр / lect01-07

Факт равенства операторов отражают формулой

F1 = F2.

В терминах двух операторов F1, F2 можно определить сумму операторов оператор

F= c1F1 + c2F2,

действующий по формуле

F (ψ) = F1(ψ)c1 + F2(ψ)c2.

Произведением операторов F1 è F2 называют оператор F2F1:

F2F1(ψ) = F2(F1(ψ)).

Нетрудно показать прямым вычислением, что сумма и произведение линейных операторовлинейные операторы.

Можно определить действие с линейными операторами, аналогичное комплексному сопряжению чисел. Пусть F линейный оператор, φ произвольный, а ψ некоторый

фиксированный вектор из H. Образуем скалярное произведение hφ|F (ψ)i и попробуем представить его в форме hφ|F (ψ)i = hφ0 |ψi.

Отображение φ = φ0 определяет определяет сопряженный оператор

φ0 = F +(φ).

Из определения сопряженного оператора следует, что выполняется равенство hφ|Fψi = hF +φ|ψi.

Переходя к комплексно сопряженным скалярным произведениям нетрудно получить соотношение

hφ|F +ψi = hFφ|ψi.

Это означает, что повторное сопряжение приводит к первоначальному оператору

(F +)+ = F.

Нетрудно показать, что сопряжение произведения операторов меняет порядок сомножителей:

(F1F2)+ = F2+F1+.

Пару линейных операторов A è B осуществляющих отображения

A(ψ) = φ, B(φ) = ψ,

называют взаимно обратными и обозначают, например, символами A è A−1. Условие существования обратного оператора можно записать как два уравнения

AA−1 = A−1A = E.

Унитарными операторами называют операторы, сохраняющие скалярные произведения:

hS(φ)|S(ψ)i = hφ|ψi φ, ψ.

Нетрудно убедиться, что оператор S будет унитарным, его сопряженный оператор совпадет

с обратным:

S+S = SS+ = E.

21

МАТРИЦА КООРДИНАТНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ОПЕРАТОРА

Действие линейного оператора удобно описать следующим образом. Поскольку каждый вектор ψ можно представить в форме

X

ψ = encn,

n

Матрицу hem|F |eni можно считать представителем оператора F , его координатной реализацией

в базисе en. При этом сумме или произведению операторов будет соответствовать сумма

или произведение матриц операторов, сопряженному оператору эрмитово сопряженная матрица. Функциям операторов соответствующие функции матриц.

Остается определить след оператора: след оператора это число

Хотя в определении следа фигурирует некоторый частный базис, значение следа от выбора базиса не зависит. Пусть hn еще один базис, так что

X

en = hshhs|eni.

s

Подставляя это разложение в формулу вычисления следа, получим

Вынося числа из-под знака скалярного произведения и меняя порядок суммирования, получим

XX

Вычисление внутренней суммы приводит к δst, после чего значение следа оказывается равным

X

Tr(F ) = hhs|F |hsi.

s

22

СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА

При изучении структуры линейных операторов полезно знать их собственные векторы. Не равный нулю вектор ψ H нзывают собственным вектором линейного оператора

F , принадлежащим собственному значению f, если выполняется равенство

F |ψi = |ψif.

Для дальнейшего важно, что собственные значения самоcопряженного оператора действительны: åñëè ψ собственный вектор самосопряженного оператора F , òî

hψ|Fψi = hψ|F |ψi = hFψ|ψi = hψ|ψif = f hψ|ψi.

Кроме того, собственные векторы самосопряженного оператора, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны:

hψ1|F |ψ2i = f1hψ1|ψ2i = hψ1|ψ2if2.

собственные векторы, принадлежащие одному собственному значению, можно ортогонализовать. Таким образом, можно считать, что все собственные векторы самосопряженного оператора попарно ортогональны.

Известно, число собственных векторов самосопряженного оператора в конечномерном гильбертовом пространстве равно размерности пространства.

В случае гильбертовых пространств бесконечной размерности возможны три случая.

1.Самосопряженный оператор не имеет ни одного собственного значения.

2.Число собственных векторов ψs самосопряженного оператора F = F + таково, что

найдется ненулевой вектор ψ, ортогональный ко всем векторам ψs. Иначе говоря, собственные векторы F не образуют базиса в гильбертовом пространстве.

3. Собственные векторы оператора ψs образуют ортонормированный базис в

гильбертовом пространстве. Такие операторы называют спектром. В этом случае

Это означает, F можно представить как сумму операторов

X

F = gsQs.

s

Операторы Qs действуют по формуле

Qs|ψi = |ψsihψs|ψi.

Их естественно назвать операторами проектирования на векторы ψs. Операторы проектирования обладают следующими свойствами:

Полезно перестроить эту формулу так, чтобы в сумму входили только неравные друг другу числа gs.

Пусть числа

g1 = g2 = ... = gn1 = f1; gn1+1 = gn1+2 = ... = gn2 = f2; ...

Cумму, определяющую F , можно представить в форме

F= f1(Q1 + Q2 + ...Qn1 ) + f2(Qn1+1 + ...Qn2 ) + ...

23

Операторы

Операторы Ps представляют собой операторы проектирования на попарно ортогональные подпространства Ms, натянутые на векторы {ψsrbrace, k = 1, 2, ..., ns − ns−1.

Оператор F можно представить как сумму операторов Ps:

X

F = fsPs.

s

Совокупность чисел fs называют cпектром оператора F , совокупность операторов Ps спектральным разложением единицы, принадлежащим оператору F , а само представление

F в терминах операторов Ps спектральным разложением оператора F . Отметим полезное применение формулы спектрального разложения. Любую

функцию оператора F можно представить в виде

X

G(F ) = G(fs)Ps.

s

Кратность вырождения значений спектра определяется формулой

N(fs) = Tr(Ps).

ИЗМЕРЕНИЯ СООБЩАЮТ ИНФОРМАЦИЮ О СОСТОЯНИИ СИСТЕМЫ

Физика, будучи наукой о природе, развивается анализируя результаты экспериментов, т.е. наборы не совсем точных чисел. В науке о неточных числах теории вероятностей мерой размытости распределения набора чисел служит дисперсия величина равная

D(F ) = hF 2i − (hF i)2

Перенесем соображения теории вероятностей в квантовую механику. Если наблюдаемой F соответсвует самосопряженный линейный оператор F = F +, то ее дисперсию можно

представить в форме

D(F ) = hT 2i,

ãäå

T= F − hF iE.

Поскольку среднее значение наблюдаемой hF i действительно, то оператор T самосопряжен:

T + = T,

а среднее значение T 2 неотрицательно.

Зная все это, естественно дать такое определение:

наблюдаемая имеет точное значение в некотором состоянии, если ее дисперсия в этом состоянии равна нулю.

Поскольку матрицу плотности можно представить в форме

X

ρ = psQs,

s

24

Можно выбрать такой базис {em}, в котором действие операторов Qs можно выразить формулой:

Таким образом,

точным значением наблюдаемой F может быть только одно из собственных значений оператора этои величины.

Заметим, что векторы em появились как собственные векторы матрицы плотности. В том состоянии, когда наблюдаемая F имеет точное значение, некоторые из них оказываются

собственными векторами оператора F . Это означает, что измерение наблюдаемых снабжает

экспериментатора информацией о структуре матрицы плотности. Очевидно, что

наблюдаемые с чисто непрерывным спектром не могут иметь точного значения ни в одном состоянии.

Это утверждение полностью соотвтсвует основным понятиям классической физики, утверждающей, что любую физическую величину можно измерить лишь некоторой, пусть сколь угодно малой погрешностью. Отличие квантовой физики от классической состоит в том, что в квантовой физике существуют величины с дискретным спектром, которые могут иметь абсолютно точные значения. Измерения таких величин наблюдаемых с чисто дискретным спекторм снабжают нас максимально возможной информацией о состоянии системы.

Чтобы выяснить точный смысл этого утверждения, остановимся на чисто математической теореме:

если наблюдаемая F имеет в состоянии ρ точное значение, то операторы F и ρ коммутируют.

Действительно, произведение Fρ можно представить в форме

X

Fρ = F ( |emipmhem|).

m

Åñëè pm 6= 0, справедливо равенство F |emi = emifm, поэтому

25

Таким образом, справедливо утверждение

Dρ(F ) = 0 = [F, ρ] = 0.

Наконец, сошлемся на еще одну теорему: если операторы A è B c чисто дискретным спектром коммутируют, то операторы A è B можно представить как функции оператора

C с чисто дискретным невырожденным спектром.

Возвращаясь к вопрсу о роли измерений в определении состояния системы, можно сказать следующее:

если наблюдаемая с чисто дискретным невырожденным спектром имеет точное значение, то матрицу плотности системы можно представить как функцию оператора этой величины.

В этом случае лишь один из векторов {em} может быть собственным вектором оператора

F :

F |ei = |eif.

В спектральном представлении матрицы плотности в этом случае остается лишь одно слагаемое, поэтому матрица плотности оказывается оператором, проецирующим произвольный

вектор гильбертового пространства на вектор e.

ρ|ψi = |eihe|ψi.

В этом случае справедливо соотношение

ρ2 = ρ.

Таким образом измерение наблюдаемой с чисто дискретным невырожденным спектром позволяет получить наибольшую информацию о физической системе и она сводится к утверждению, что матрица плотности сводится к проекционному оператору.

Справедливо и обратное: если матрица плотности состояния удовлетворяет равенству

ρ2 = ρ,

для коэффициентов ps в ее спектральном представлении

Условие Trρ = 1, приводит к тому, что матрица плотности действует по формуле

ρ|ψi = |eihe|ψi.

Выбрав |ei в качестве одного из векторов ортогонального базиса {e; es, s = 2, 3, ...} и определив наблюдаемую

Найдем, что F принимает в состоянии ρ точное значение f. Таким образом соотношение

ρ2 = ρ

необходимое и достаточное условие того, что в состоянии ρ некоторые наблюдаемые имеют

точные значения. Совокупность этих наблюдаемых можно определть как множество функций оператора с чисто дискретным невырожденным спектром, который соотвествует той величине,

26

которая имеет точное значение. Пока представление о чистом состоянии ничем не отличается от соответствующих классических определений.

Âклассической механике чистое состояние материальной точки с одной степенью свободы

это состояние в котором точно известны ее импульс p и координата q. Все остальные

характеристики сводятся к той или иной функции f(p, q). Однако, если в чистом состоянии

классической системы точно известны âñå характеристики частицы, то в квантовом чистом состоянии в силу открытых Гайзенбергом соотношений неопределенностей точные значения могут иметь лишь те величины, операторы которых коммутируют.

Можно привести еще один пример. Состояния одномерного гармонического осциллятора в классической механике можно описать в терминах пары переменных действие угол. При переходе в квантовую физику эта пара канонических переменных просто исчезает. В математическом аппарате квантовой механики просто нет оператора фазы. Чтобы задать чистое состояние осциллятора достаточно задать его энергию.

Именно это обстоятельство определяет различия в поведении квантовой и классической частиц.

КВАНТОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ СИСТЕМ

1. Гармонический осциллятор. Гамильтониан системы имеет вид

где самосопряженные операторы p è q удовлетворяют перестановочному соотношению

[q, p] = ihE¯ .

Определив постоянные

перейдем к операторам

коммутатор которых равен

[a, a+] = E.

то гамильтониан в новых переменных приводится к форме

H= hω¯ (N + 12 E),

где самосопряженный оператор N равен

N= a+a.

Прежде всего заметим, что N неотрицательно определенный оператор:

hΨ|N|Ψi = hΨ|a+a|Ψi = haΨ|aΨi ≥ 0.

27

Кроме того, справедливы перестановочные соотношения

Нетрудно показать, что векторы если вектор Ψ собственный вектор оператора N, принадлежащий собственному значению ν, òî a+Ψν, aΨν собственные векторы N, принадлежащие собственным значениям ν ± 1:

NΨν = Ψνν = NaΨν = aΨν(ν − 1), Na+Ψν = a+Ψν(ν + 1).

Чтобы предотвратить появление отрицательных собственных значений неотрицательно определенного оператора N, следует предположить, что в гильбертовом пространстве содержится базис, состоящий из векторов

где нормированный на единицу вектор |Ψ0i удовлетворяет уравнению

Гамильтониан одномерного гармонического осциллятора оператор с чисто дискретным невырожденным спектром.

Чтобы с чистой совестью утверждать, что гамильтониан нашей системы оператор с чисто дискретным спектром нужно доказать, что система попарно ортогональых векторов

представляет собой базис, т.е. обладает свойством полноты. Чтобы воспользоваться уже известными математическими формулами, удобно перейти к иной реализации операторов импульса и координаты.

2. Координатное пространство. Выберем некоторый класс функций {Ψ(x)} и определим операторы

Поскольку

Иначе говоря, операторы p è q удовлетворяют перестановочному соотношению, характерному для операторов импульса и координаты. Чтобы сделать p è q эрмитовыми, необходимо

28

должным образом определить скалярное произведение функций. Пусть скалярное произведение функций Ψ1 è Ψ2 будет равно

Нетрудно проверить, что оно удовлетворяет требованиям, предъявляемым к скалярному произведению.

Интеграл, определяющий скалярное произведение, конечен, если входящие в него функции квадратично интегрируемы, т.е. если

Z ∞

|Ψ1,2|2dx < ∞.

−∞

У нас практически само собой возникло новое гильбертово пространство пространство квадратично интегрируемых функций

со скалярным произведением

Нетрудно показать, операторы q è p эрмитовы. Действительно, скалярное произведение

можно представить в форме

hΨ1|qΨ2i = hΨ3|Ψ2i,

ãäå

Ψ3(x) = xΨ1(x) = (qΨ1)(x).

Это означает, что оператор q самосопряжен:

q+ = q.

Аналогично доказывается самосопряженность оператора импульса:

hΨ1|pΨ2i = hΨ4|Ψ2i,

ãäå

ò.å.

p+ = p.

Осталось только показать, что в этом пространстве существует ортонормированный базис. Проще всего это сделать, построив его явно. Для этого реализуем в L2 операторы a è a+.

Определив безразмерную переменную

найдем, что

29

Хорошо известно, что функции Ψn(ξ) образуют ортонормированный базис в линейном пространстве квадратично интегрируемых функций. Это означает, что линейное пространство L2 гильбертово пространство.

Переходя к размерной переменной x и нормируя функции Ψn(x) на единицу:

Z ∞

|Ψx|2dx = 1,

−∞

нужно учесть, что функции Ψn(x) приобретают размерность:

3. Гармонический осциллятор c тремя степенями свободы это система с гамильтонианом

Переменные системы определяются соотношениями

pα+ = pα, xα+ = xα,

30