1 semestr / Лекции в формате PDF - 1-й семестр / lect01-07
.pdf
ih¯ |
h¯2s |
rs−2~l2 |
− |
h¯2s(s − 1) |
rs−2 |
(r~p). |
|
2µ |
|||||
µ |
|
|
|
|||
9. Усредняя соотношения 8б и 8г в состоянии с определенными n è l получим
|
< rs−2(r~p) > = ih¯ |
s + 1 |
|
< rs−2 >, |
|
|
|||
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
s + 1 |
− (2s + 1)r0 |
< rs−1 > + |
|
|
||||
|
|
< rs > |
|
|
|||||
|
n2 |
|
|
||||||
s(2l + 1 + s)(2l + 1 − s) |
r02 < rs−2 > |
= |
0, r0 = |
h¯2 |
. |
||||
|
|
||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
Ze2µ |
||
Это равенство известно как соотношение Крамерса.
Чтобы найти с помощью соотношения Крамерса среднее значение любой степни r,
необходимо независимо найти два из них.
10. Усредняя соотношение 1 в состоянии с определенным значением энергии, получим
ˆ |
∂V |
|
2 < T > = < xα |
∂xα |
> . |
В случае потенциалов, однородных по координатам, это равенство приводит к соотношениям между кинетической, полной и потенциальной энергиям, известным обычно как теоремы вириала.
11. Если гамильтониан, его нормированные на единицу собственные векторы, собственные значения зависят от параметра λ, то справедлива теорема Фейнманна-Гельмана:
|
ˆ |
|
∂E(λ) |
|
< |
∂H |
> = |
. |
|
∂λ |
|
|||
|
|
∂λ |
||
12. Для кулонова потенциала соотношение (10) проводит к равенству
< |
1 |
> = |
1 |
. |
|
r |
r0n2 |
||||
|
|
|
13. Рассматривая в среднем значении гамильтониана (7) величину l как непрерывную переменную и применяя равенство (11), можно показать, что
< |
1 |
> = |
|
1 |
. |
|
r2 |
r02n3(l + 1/2) |
|||||
|
|
|
||||
14. Из соотношения Крамерса следует, что
< |
|
1 |
|
> |
= |
|
|
|
|
|
|
1 |
, |
|
r3 |
|
r03n3l(l + 1/2)(l + 1) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
< r > |
= |
|
1 |
r0 |
(3n2 − l(l + 1)), |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
r0 |
2n2 |
|
|
||||
< r2 > |
= |
|
|
|
(5n2 + 1 − 3l(l + 1)). |
||||||||
|
|
2 |
|||||||||||
15. Неопределенность радиуса в состоянии с заданными числами n è l равна
r = r0 pn2(n2 + 2) − l2(l + 1)2. 2
Вектор Лапласа-Рунге-Ленца В этом разделе операторы не будут снабжаться шляпками.
51
1. Справедливы соотношения
|
|
~ |
× p~) |
|
|
= |
|
|
−(p~ × l) |
+ |
|
|
|
|
2i~p. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
(l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
~ |
× p~)p~ = 0, |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
, |
|
|
|
|
~ |
|
2 |
||||
(l |
p~(p~ × l) = 0, |
|
p~(l × p~) = 2i~p |
|
(p~ × l)p~ = 2i~p . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
~2 |
, |
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
~2 |
, |
|
|
|
|
|
||||
|
|
(l |
× p~)~r = −h¯l |
|
|
~r(p~ × l) = h¯l |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
~ |
|
~2 |
+ 2i(r~p), |
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
~2 |
+ 2i(p~r). |
|
|||||||||||||||
|
~r(l × p~) = |
−h¯l |
|
|
(p~ × l)~r = h¯l |
|
||||||||||||||||||||||||||
Вектор Лапласа-Рунге-Ленца определяется формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
~ |
|
1 |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
~r |
|
|
|
|
|
|
|
|
h¯ |
|
||||||
|
A |
= |
|
2p0 |
((l |
× p~) − (p~ × l)) + |
r |
, |
|
|
p0 = |
r0 |
. |
|
||||||||||||||||||
2. Вектор ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A можно представить в форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
~ |
|
|
|
1 |
~ |
|
|
|
|
i |
|
|
~r |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
A |
= |
|
|
|
|
(l |
× p~) − |
|
p~ + |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
p0 |
p0 |
r |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
~ |
|
= |
|
|
|
|
|
i |
~2 |
|
|
~r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
A |
|
|
|
− |
|
[p,~ l |
] + |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2p0 |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
~ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
~r |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
A = − |
hp¯ 0 |
(r~p |
|
|
− (r~p)p~) − |
p0 |
p~ + |
r |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
3. Момент импульса и вектор Лапласа-Рунге-Ленца ортогональны: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
~ |
~ |
|
= |
|
|
|
~~ |
= |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
lA |
|
|
Al |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4. Справедливы перестановочные соотношения
[xαp~2, xβp~2] = −2ih¯2 αβγlγp~2.
|
[xαp~2, (r~p)pβ] |
= |
−ih¯(xαpβ − δαβp~2), |
|||||
|
~r |
|
1 |
|
1 |
|
||
[xαp~2 |
− (r~p)pα, |
|
] = |
|
|
xαpβr2 − |
|
xαxβ(r~p) − ixαxβ. |
r |
¯h |
¯h |
||||||
5. Вектор Лапласа-Рунге-Ленца удовлетворяет перестановочным соотношениям
[lα, Aβ] = i αβγAγ, |
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
Ze2 |
|||||||
[H, Aα] = 0, H = |
|
p~2 |
− |
|
|
|
. |
|
||
2µ |
|
r |
||||||||
[Aα, Aβ] = −i |
2H |
= |
|
Ze2 |
||||||
|
αβγlγ, E0 |
|
|
|
. |
|||||
E0 |
|
|
r0 |
|||||||
6. Справедлива формула
~2 |
|
2H |
~2 |
|
A |
= |
E0 |
(l |
+ 1) + 1. |
Âподпространстве состояний, принадлежащих дискретным уровням энергии оператор
−2EH0 положительно определен, поэтому можно определить операторы
kα = BAα = AαB, |
1 |
= − |
2H |
|
|
|
. |
||
B2 |
E0 |
|||
7. Справедливы соотношения
[lα, lβ] = i αβγlγ, [lα, kβ] = i αβγkγ, [kα, kβ] = i αβγlγ.
52
|
~ |
2 |
|
~2 |
|
|
|
|
|
E0 |
|
|
||||
|
k |
|
+ l |
|
+ 1 |
= |
− |
2H |
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
~~ |
~~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
lk = kl = 0. |
|
|
|
|
|
||||||
8. Операторы |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
~ |
|
|
~ |
|
~ |
|
~ |
|
|
|
~ |
~ |
||||
J1 |
= |
|
2 |
(l + k), J2 |
= |
|
2 |
(l |
− k) |
|||||||
удовлетворяют соотношениям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Jaα, Jbβ] |
|
= |
|
iδab αβγJaγ, |
|
||||||||||
|
|
~2 |
|
|
~2 |
|
1 |
~2 |
~2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
J1 |
= J2 |
= |
4 |
(l |
+ k |
). |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Операторы Jaα можно считать динамическими переменными, описывающими поведение
частицы в кулоновом поле. В качестве полного набора наблюдаемых можно взять величины (Ja2, Ja3). Это соответсвует выбору базиса в пространстве состояний в форме прямого
произведения Φ(j1, m1)Φ(j2, m2). Поскольку J1 = J2, то векторы базиса нумеруются тремя
числами - (n = 2j1 + 1, m1, m2). Кратность вырождения уровней равна
d(n) = (2j1 + 1)(2j2 + 1) = n2.
Поскольку момент импульса равен
~ |
~ |
~ |
, |
l |
= J1 |
+ J2 |
то возможные значения l находятся по правилам сложения моментов. В нашем случае l
изменяется от |n−2 1 − n−2 1 | = 0 äî n−2 1 + n−2 1 = n − 1.
Базис Ψ(n, l, m) по правилам сложения моментов представляется как линейная комбинация векторов базиса Φ(n, m1, m2).
53