1 semestr / Лекции в формате PDF - 1-й семестр / lect01-07

удовлетворяющих перестановочным соотношениям

[aα, aβ+] = δαβ,

гамильтониан принимает вид

ãäå

Nα = aα+aα.

Поскольку справедливы перестановочные соотношения

Рассмотрим противоположный случай изотропного осциллятора, когда все частоты равны друг другу:

ω1 = ω2 = ω3 = ω.

В этом случае гамильтониан принимает вид

H= 21mp~2 + 12 mω2~r2.

Векторы Ψ(n1, n2, n3) попрежнему собственные векторы гамильтониана, принадлежащие собственному значению

31

Уровни энергии вырождены, причем кратность вырождения n-го уровня равна числу способов представления целого числа n в виде суммы трех неотрицательных чисел

Вырождение уровней, очевидно, связано с тем, что гамильтониан изотропного осциллятора более симметричен, чем гамильтониан осциллятора с несоизмеримыми частотами. В случае изотропного осциллятора гамильтониан не изменяет своей формы при замене переменных

с унитарной матрицей ˆ

A:

A+βαAαγ = δβγ.

Действительно, прямая подстановка операторов a в терминах a0 приводит к выражению

Штрихованные операторы удовлетворяют тем же перестановочным соотношениям, что и первоначальные:

00 +

[a α, a β ] = δαβ.

Совокупность преобразований, осуществляемых унитарными матрицами третьего порядка, образуют группу SU(3).

4. Изотропный ротатор это система, динамические переменные которой составляющие момента количества движения

Jα+ = Jα, [Jα, Jβ] = i αβγJγ.

Гамильтониан системы определяется формулой

H1 ~2

=2I J ,

где оператор квадрата момента количества движения равен

3

X

в которой каждое слагаемое явлется произведением симмметричного и антисимметричного по индексам β, γ сомножителей. Таким образом,

~2

α[Jα, J ] = 0.

32

Поскольку из трех величин Jα одна уже явно выделена, удобно ввести следующие комбинации двух других:

J+ = J1 + iJ2, J− = J1 − iJ2, J++ = J−.

Новые переменные удовлетворяют таким перестановочным соотношениям:

[J3, J±] = ±J±, [J+, J−] = 2J3.

Первая пара коммутаторов приводит к тому, что абсолютная величина собственных значений оператора J3 неограничена.

Действительно, из этих соотношений следует, что J±|ν, µi собственные векторы J3:

J3J±|ν, µi = (J±J3±J±)|ν, µi = J±|ν, µi(φ(µ)±1).

В этом нет ничего удивительного, поскольку каждый из операторов проекции момента не обладает какими-либо особыми свойствами, кроме действительности. Положение меняется, когда вспоминают, что эти операторы должны быть проекциями одного вектора фиксированной длины. Оператор квадрата момента количества движения можно представить в форме

означающие, что при фиксированном ν значения функции φ должны быть ограничены.

Это означает, что должны существовать такие значения µ+ è µ−, для которых справедливы равенства

J+|νµ+i = 0, J−|νµ−i = 0.

Поскольку вектор |νµ−i можно получить из вектора |νµ+i последовательно выполняя операцию J−, то должны выполняться равенства

φ(µ−) = φ(µ+) − n, n = 0, 1, 2, ....

Добавляя к ним соотношения

φ(µ+)2 + φ(µ+) = φ(µ−)2 − φ(µ−),

получим систему уравнений, определяющую значения φ(µ±):

Значения f(ν) определяются формулой

Числа f(ν), φ(µ) можно использовать для нумерации векторов базиса. Для этого определим последовательность целых и полуцелых чисел

j = 0, 12 , 1, 32 , 2, ...

33

è m область изменения которых определяется значениями j: при заданном j числа m принимают 2j + 1 значение:

m= −j, −j + 1, ..., j − 1, j.

Эти числа будут нумеровать векторы базиса:

Операторы J± действуют на векторы базиса следующим образом:

p

J+|j, mi = |j, m + 1i (j − m)(j + m + 1),

p

J−|j, mi = |j, m − 1i (j + m)(j − m + 1)

Возвращаясь ротатору, заметим, что векторы |j, mi это собственные векторы гамильтониана ротатора:

Значения энергии зависят только от квантового числа j, а состояния с определенной энергией нумеруются парой чисел. Это означает, что уровни энергии вырождены, причем кратность вырождения уровня энергии E(j) равна 2j + 1.

5. Группа SU(2) и группа вращений. Чтобы лучше уяснить, какая симметрия определяет

вырождение уровней ротатора, выясним, каким преобразованиям можно подвергать составляющие момента количества движения. Для этого удобно воспользоваться особой параметризацией

составляющих момента. Пусть операторы bs, s = 1, 2 удовлетворяют перестановочным

соотношениям:

[bs, bt] = 0, [bs, b+t ] = δst.

(под знаком суммы содержатся матричные элементы матриц Паули) самосопряжены,

Jα+ = Jα,

а коммутаторы их равны

[Jα, Jβ] = i αβγJγ.

Иначе говоря, Jα это составляющие момента количества движения. + действуют в пространстве с базисом

Тогда векторы определенного выше базиса можно будет занумеровать следующим образом:

34

справедливы равенства

J3|j, mi = |j, mim,

Составляющие момента количества движения преобразуются в этом случае так:

где матрица σ0 α равна произведению

σ0 α = A+σαA.

Двухрядная унитарная матрица пропорциональна унитарной унимодулярной матрице:

A+ = A−1 A = eiχU, U+ = U−1, detU = 1.

Ôàçó eiχ можно включить в определение операторов b, а матрицу A, уже унимодулярную, представить в форме

Вычисление матриц σ0 легко свести к решению дифференциального уравнения. Поскольку

[σα, n~s] = i αβγnβσγ,

òî

dσα(ξ)

dξ

= i αβγnβσγ(ξ).

Удобно записать это уравнение в векторной форме:

35

получим уравнения

Постоянные интегрирования находятся по начальным условиям:

Окончательная формула выглядит так:

~σ(ξ) = ~σcosξ + ~n(n~σ)(1 − cosξ) + (~n × ~σ)sinξ.

7. Сферически симметричные системы.

На прошлой лекции нам пришлось иметь дело с преобразованием матриц Паули

σˆα σˆα0 = SσˆαS+,

ãäå

S = exp(−iξ~n~s).

Эта формула является прямым следствием справедливости перестановочных соотношений

[sα, sβ] = i αβγsγ,

è

[sα, σβ] = i αβγσγ.

Первая серия коммутаторов означает, что sα это операторы момента количества движения.

Векторную природу матриц Паули определяет второй набор коммутаторов. Эти наблюдения можно использовать для определения в квантовой механике скалярных и векторных величин.

Если операторы Jα, α = 1, 2, 3. операторы момента количества движения системы, то действующий в этой системе оператор V называют скаляром, если выполняются перестановочные соотношения

α [Jα, V ] = 0.

Набор операторов Aα, α = 1, 2, 3 образует вектор если эти операторы удовлетворяют перестановочным соотношениям

[Jα, Aβ] = i αβγAγ.

Заметим, что принятое определение вектора и скаляру приводит к естественному утверждению: скалярное произведение векторов это скаляр.

Теперь можно определить сферически симметричный гамильтониан. Гамильтониан H называют сферически симметричным, если выполняются перестановочные соотношения

[Jα, H] = 0.

Операторы Jα это декартовы составляющие моменоа количества движения системы. Очевидно, что гамильтониан вида

36

это скаляр. При изучении сферически симметричных систем удобно определить сферический базис. Его образуют векторы

Они попарно ортогоналны и удовлетворяют соотношениям

Поскольку

~r = rr,ˆ

то операторы импульса и момента в импульса сферическом базисе принимают вид

Нетрудно найти декартовы составляющие момента импульса:

Аналогично вычисляются величины

то сферически симметричный гамильтониан сведется в координатном пространстве к оператору

Обозначая символом Ylm(ˆr) общее решение уравнений

l3Ylm(ˆr) = mYlm(ˆr),

37

заметим, что в качестве частного решения уравнения

Среди индексов, выделяющих частные решения уравнения Шредингера, содержатся величины l è m. Уравнение для функции R(r), которое определяет значение дмискретных уровней

энергии E, индекса m не содержит. Таким образом

каждое собственное значение сферически симметричного гамильтониана вырождено, по меньшей мере, (2l + 1)-кратно.

Это свойство уровней является прямым следствием сферической симметрии гамильтониана. 8. Уровни энергии в центрально-симметричном поле.

Уровни энергии в центрально симметричном поле определяются квадратично интегрируемыми решениями уравнения

Z ∞

|R(r)|2r2dr < ∞.

0

Чтобы упростить структуру дифференциального оператора уравнения, удобно перейти к функции u(r):

Чтобы изучить поведение решения полученного уравнения при асимптотически больших значениях радиуса оставим в уравнении наиболее существенные при больших r слагаемые. Если потенциал убывает на больших расстояниях, то уравнение сводится к

получим

u(r) = C1ekr + C2e−kr.

Убывающее на больших расстояниях решение возможно лишь в том случае, если

E < 0, .. k > 0, C1 = 0.

Заметим, что в классических терминах условие отрицательности энергии выделяет финитные движения. Можно сказать, что

38

возможные дискретные уровни энергии соответствуют классическим финитным движениям.

Если при неограниченном возрастании радиуса потенциал стремится к некоторому положительному пределу,

то решение уравнения Шредингера на больших расстояниях походит на решение уравнения

Если энергия меньше предельного значения потенциала, то

Квадратично интегрируемое решение выделяется условием C1 = 0. Åñëè

lim r2V (r) = 0,

r→0

то решения уравнения Шредингера ведут себя на малых расстояниях как решения уравнения

т.е. как функции

u(r) = C1r−l + C2rl+1.

Функция u(r) регулярна в начале координат при условии C1 = 0. Таким образом, регулярное решение уравнения Шредингера ведет себя на малых расстояниях как

Ψ(r) rlu(r), u(0) 6= 0.

Если потенциал стремится к нулю при возрастании радиуса, то решение уравнения Шредингера естественно искать в форме

u(r) = rleαrw(r), α = ¯h1 √−2mE, E 0.

Функция w(r) должна удовлетворять уравнению

В случае достаточно простых потенциалов решение уравнение удобно представить в форме степенного ряда.

Рассмотрим, например, случай кулонова потенциала притяжения, когда

V (r) = −Zer 2 .

39

Это хорошо известное вырожденное гипергеометрическое уравнение , которое допускает

решение в форме ряда

∞

Подстановка ряда в уравнение приводит к рекуррентным соотношениям

В общем случае при больших s справедливы соотношения

поэтому определяющий функцию w(x) ряд сходится при всех значениях x. Однако, этот ряд определяет экспоненциально растущую при больших x функцию:

w(x) eBx, B > 0.

Функция w(x) может оказаться квадратично интегрируемой только в одном случае: определяющий ее бесконечный ряд превращается в конечную сумму. Это возможно лишь в тех случаях,

когда параметр a принимает целые отрицательные значения:

a = −nr, nr = 0, 1, 2, ...

ãäå nr радиальное квантовое число. Подставляя в это равенство явное значение a, получим

Заметим, что приступая к процедуре квантования энергии мы ожидали, что уровни энергии можно будет перечислить парой индексов nr, l, поэтому каждый уровень в сферически симметричном поле будет 2l + 1-кратно вырожден. В случае произвольного сферического

поля это правильно Однако, пример кулонова поля показывает, что дело дело обстоит не так просто. Уровни энергии нумеруются числами

n= nr + l + 1,

40