1 semestr / Лекции в формате PDF - 1-й семестр / lect01-07

Это означает, что p, z имеют смысл неопределенностей z-составляющих импульса ирадиуса-вектора атома, поэтому их произведение величина порядка ¯h. Таким образом неопределенность энергии E, связана с длительностью эксперимента t соотношением

E t h¯.

ФОРМУЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ СРЕДНИХ. ВОЗМОЖНЫЕ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ.

Явный вид формулы, по которой вычисляются средние, немедленно получается после следующего наблюдения: что любую матрицу можно представить в форме

ãäå ˆ

Pmn матрицы, у которых все элементы, кроме одного, равны нулю, а единственный ненулевой элемент равен единице и стоит на пересечении m-той строки и n-того столбца. Поэтому среднее значение любой величины F можно представить следующим образом:

ãäå

h ˆ i

ρnm = Pmn .

Если считать, что числа ρmn определяют матрицу ρˆ = (ρmn), то среднее значение F можно представить в форме

Среднее значение произвольной динамической переменной F определяется двумя величинами

матрицей ˆ

F , которая сопоставляется с интересующей нас переменной, и некоторой другой

матрицей, которая строится из средних значений вполне определенных величин ˆ

Pmn,

не имеющих отношения к величине F . Матричные элементы этой матрицы связаны со

свойствами системы, т.е. с ее состоянием.

Таким образом получен способ математического описания состояний квантовой системы системы:

состояние системы матрица ρˆ.

Поскольку ρˆ естественным образом возникает при вычислении среднего значения, называют

матрицей плотности.

Заметим, что пока из условий, определяющих процедуру вычисления средних, было использовано лишь условие 2). Остальные можно сформулировать как условия, которым

то в силу условия 3) числа ρmn è ρnm должны быть комплексно сопряжены:

ρmn = (ρnm) .

Это означает, что матрица ρˆ должна быть эрмитовой.

11

Условие 1) требует, чтобы след матрицы ρˆ был равен единице:

T rρˆ = 1.

Остается сформулировать следствие условия положительной определенности средних.

Для этого достаточно вычислить среднее значение некоторой положительно определенной величины. Выберем ее следующим образом. Возьмем некоторую последовательность чисел {cn}, удовлетворяющих условию Pn |cn|2 = 1, и определим матрицу

ˆ (Q)mn = cmc n.

Она обладает свойствами

Первое из этих равенств означает, что величина Q действительна, а второе что она равна квадрату действительной величины. Ее среднее значение должно быть неотрицательным. Поэтому должно выполняться неравенство

Матрицы, обладающие такими свойствами, называются положительно

определенными.

Таким образом, возможные состояния системы в аппарате квантовой механики связываются с матрицами плотности:

ρ,ˆ

которая обладает следующими свойствами: 1. Матрица плотости эрмитова:

ρˆ+ = ρˆ.

2. Матрица плотности положительно определена:

hc|ρcˆ i ≥ 0, c.

3. След матрицы плотности равен единице:

T rρˆ = 1.

Среднее значение любой величины F в состоянии ρ равно

Нетрудно убедиться в том, что вычисленные по этой формуле средние значения комплексно сопряженных величин комплексно сопряжены и средние действительных величин действительны:

m,n

ПРИМЕР МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ.

Рассмотрим простейшую физическую систему, переменным которой соответствуют двухрядные матрицы

12

означающие, что двухрядные эрмитовы матрицы определяют четыре действительные параметра. Чтобы явно выделить эти величины, представим произвольную эрмитову матрицу в терминах единичной матрицы и

Перечислим важнейние свойства этих матриц:

Из этих соотношений следует, в частности, полезная формула

Произвольную эрмитову матрицу можно представить в форме

ˆ

где параметр b равен следу матрицы F :

ˆ

b = T rF .

Поскольку след матрицы плотности равен единице, то ee представить так:

Выясним, к чему приводит условие положительной определенности матрицы плотности. Заметим, что если ~n единичный вектор: ~n2 = 1, то матрицы

обладают свойствами:

т.е. они соответсвуют положительно определенным величинам. Поэтому должны выполняться неравенства

Вычисляя средние значения явно, получим неравенства

означающие, что длина вектора ~a не должна превосходить единицы. Удобно выделить явно длину вектора и его направление. Матрица плотности после этого примет вид

Пока наши рассуждения были применимы к любой системе, переменные которой представляются двухрядными матрицами. Рассмотрим случай, когда эти величины можно связать со спином частицы.

Спин частицы это ее собственный момент количества движения в состоянии, при котором импульс частицы равен нулю. В классической механике эта величина тождественно

13

равна нулю. Таким образом спин имеет чисто кантовую природу. В квантовой теории это частный случай общего понятия момента количества движения.

Чтобы осознать смысл этих выражений, выясним как можно определить в квантовой механике момент импульса.

В классической механике момент импульса частицы это векторное произведение ее

импульса и радиус-вектора:

~ × M = ~r p~.

В покомпонентной записи это равенство выглядит так:

M1 = x2p3 − x3p2, M2 = x3p2 − x2p3, M3 = x1p2 − x2p3,

èëè

Mα = αβγxβpγ.

Чтобы получить соотвествующие формулы квантовой теории, нужно определить величины xˆα, pˆα. Эти определения даются в терминах коммутаторов.

Приведенные формулы определяют составляющие импульса и радиус-вектора частицы как действительные величины. Кроме того, все три составляющие радиус-вектора (а также и составляющие ее импульса) можно одновременно измерить с произвольной точностью. Для соотвествующих друг другу составляющих импульса и радиус-вектора справедливы соотношения неопределенностей Гайзенберга.

Составляющие момента импульса определяются равенствами

èëè

ˆ

Mα = αβγxˆβpˆγ.

Нетрудно проверить, что составляющие момента импульса эрмитовы:

Если измерять момент момент импульса в единицах ¯h:

~~

ˆˆ

M = ¯hl,

то основной нашей величиной станет безразмерный момент импульса

Найдем перестановочные соотношения между составляющими момента импульса. Удобно начать с коммутаторов между координатами и моментом:

Поскольку xˆ1 коммутирует со всеми остальными величинами, входящими в коммутатор, то в результате получается нуль. Иначе обстоит дело с другим выражением:

14

Коммутаторы между остальными составляющими момента и координаты получаются из приведенных после циклической перестановки индексов. Результат всех вычислений подводит формула:

Аналогично выглядят коммутаторы между составлющими импульса и момента:

ˆ

[lα, pˆβ] = i αβγpˆγ.

Теперь несложно вычислить коммутатор между составляющими момента импульса:

ˆ ˆ

[l1, l1] = 0

Теперь можно забыть о том, как были получены эти коммутаторы и определить составляющие момента количества движения

Åñëè ˆ

Fα не равны тождественно нулю, то эти переменные можно связать с внутренним моментом количества движения частицы .

В качестве ˆ

Fα можно взять матрицы sˆα, пропорциональные матрицам Паули:

1

sˆα = 2 σα.

Они удовлетворяют требуемым перестановочным соотношениям и, кроме того, выполняется

15

Это обстоятельство связывается с тем, что матрицы sˆα описывают частицы со спином

1

2 .

Систему, которая описывается переменными, сводящимся к двухрядным матрицам, можно определить как систему с двумя независимыми состояниями. Чтобы пояснить это утверждение, предположим, что эта система описывается спиновыми переменными.

В этом случае величина

имеет смысл проекции спина на ось ~n.

Таким образом

если r < 1, то дисперсия Q всегда положительна, т.е. проекция спина в

этом случае на может иметь точного значения.

Если r = 1, то дисперсия Q может быть равна нулю в том случае, если m~ = ±~n.

Полученный результат можно сформулировать так:

Проекция спина на произвольную ось может иметь точное значение только в одном из двух состояний системы, причем эти состояния однозначно определяются выбранной осью.

Эти факты можно было предсказать до явного вычисления средних значений, анализируя структуру матрицы ˆ

Q(~n). Ее можно представить в форме

Матрицы Pˆ±(~n) удовлетворяют соотношениям

16

Полезно заметить, что в терминах спектрального разложения матрицы легко представить любую ее функцию:

где числа p± равны средним значениям величин Fˆ±:

h ˆ i p± = F± .

Они удовлетворяют условиям

p± ≥ 0, p+ + p− = 1,

поэтому с ними можно связать некоторое распределение вероятностей, именно:

h ˆ i

p± = F± вероятность того, что значение величины F в состоянии ρ равно f±.

Дисперсия величины F в состоянии ρ представляет собой сумму двух неотрицательных

величин

Dρ(F ) = f+2p+ + f−2p− − (f+p+ + f−p−)2 =

Если числа f+ è f− различны, то из двух равенств f+ = hF i è f+ = hF i справедливым

может быть только одно. Таким образом, если в результате измерения наблюдаемой с невырожденным спектром выяснилось, что она принимает точное значение, то возможны два случая

hF i = f+, p− = 0 hF i = f−, p+ = 0.

Это утверждение можно сформулировать следующим образом

Таким образом, измеряя наблюдаемую с невырожденным спектром, можно выяснить, в

каком состоянии находится система. Если наблюдаемая ˆ

F с невырожденным спектром принимает точное значение, то оно равно f± одному из значений спектра этой величины. Матрица плотности

системы совпадает в этом случае с матрицей ˆ

F±, входящей в спектральное разложение

ˆ

F .

Состояние, в котором некоторая наблюдаемая с невырожденным спектром принимает точное значение, называют чистым.

17

Матрицы плотности чистых состояний ˆ

F± обладают особой структурой, выделяющей их среди произвольных матриц плотности. Если представить вектор ~a в форме

Чистое состояние (т.е. соответствующая матрица плотности) определяется столбцом комплексных чисел.

18

ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА

На прошлой лекции мы выяснили на простом примере, что возможные состояния квантовой системы можно разделить на два класса чистые è смешанные. Чистые состояния это состояния, в которых имеет точное значение величина вполне определенного типа наблюдаемая с чисто дискретным невырожденным спектром . Все остальные состояния смешанные.

С формальной точки зрения чистые состояния можно определить как состояния, матрица плотности которых удовлетворяет условию

ρˆ2 = ρˆ.

Матричные элементы таких матриц имеют вид

Таким образом при работе с чистыми состояниями естественным образом возникают последовательности φ = {φs} и числовые функции таких последовательностей

hφ|φi = Xφs ψs.

s

Возникает соблазн принять такого рода последовательности как основу математического аппарата квантовой механики.

Прежде всего нужно определить класс последовательностей, с которыми мы собираемся работать. Они должны быть такими, чтобы последовательности, определяющие числа

hφ|ψi всегда были конечными. В силу неравенства Коши-Буняковского

Поэтому в качестве допустимых последовательностей можно взять множество

X

l2 = {ψ : |φs|2 < ∞}.

s

В силу неравенства Коши-Буняковского множество l2 представляет собой векторное пространство. Это означет следующее: если последовательности ψ1 è ψ2 принадлежат l2, то этому же множеству принадлежит и последовательность ψ1c1 + ψ2c2 ñ произвольными комплексными числами c1 è c2.

Последовательности ψ будем называть векторами пространства l2, а числа hφ|ψi скалярным призведением векторов φ è ψ.

Скалярное произведение обладает важными для дальнейшего свойствами:

2. hφ|ψi = (hψ|φi) ;

19

3. hψ|ψi ≥ 0, hψ|ψi = 0 φ = 0.

Векторы φ, ψ, скалярное произведение которых равно нулю, называют

p

Число ||ψ|| = + hψ|ψi называют нормой èëè длиной вектора ψ. Вектор, норма которого

равна 1, называют единичным.

В пространстве l2 существуют ортонормированные базисы множества векторов {em}

со свойствами:

1 свойство ортогональности:

hem|eni = δmn.

Векторы базиса попарно ортогональны; длина каждого из этих векторов равна единице. 2 свойство полноты:

X

2. ψ l2 ψ = encn−

n

произвольный вектор из l2 можно представить как суперпозицию векторов базиса. Иногда

бывают удобны формулы, выражающие условия ортогональности и полноты в терминах составляющих векторов базиса. Свойство ортогональности:

X

emse ns = δmn.

s

ense nt = δst.

n

Коэффициенты cn в этом разложении равны скалярным произведениям

cn = hen|ψi.

Их называют координатами èëè коэффициентами Фурье вектора ψ в базисе {en}.

ˆ

Если толковать числа ens как матричные элементы матрицы (S)ns = ens, то соотношения

ортогональности и полноты примут вид условий унитарности матрицы ˆ

S:

Пространство l2 это пример общего пространства Гильберта. Не имея возможности

вдаваться в изложение полной теории гильбертовых пространств, приведем удобное для нас определение:

гильберотово пространство H это линейное пространство со скалярным произведением, в котором существует ортонормированный базис.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

В гильбертовом пространстве можно определить линейный оператор линейную функцию векторов пространства H.

со свойством

F (ψ1c1 + ψ2c2) = F (ψ1)c1 + F (ψ2)c2.

Операторы F1 è F2 называют равными, åñëè

ψ F1(ψ) = F2(ψ).

20