1 semestr / Лекции в формате PDF - 1-й семестр / lect01-07

поэтому при фиксированном значении n числа l принимают n значений

l= 0, 1, ...n − 1,

Кратность вырождения уровня En равна

При выполнении конкретных расчетов причину увеличения кратности вырождения понять довольно трудно. Поэтому соответсвующее вырождение иногда называют случайным. Однако, мы уже знаем, что всякое вырождение связано с некоторой нетривиальной симметрией. Кажущаяся случайность связана всего лишь с тем, что дополнительная симметрия гамильтониана не сразу бросается в глаза. Между тем, причина и смысл этой симметрии были открыты

еще в XXVIII веке Лапласом.

Сферические гармоники

Числа l в этом разделе принимают значения l = 0, 1, ... Векторы Φ(j, m) в координатном пространстве будут обозначаться Ylm(θ, φ). Интеграл по сфере единичного радиуса

2π π

Z Z

dφsinθdθF (θ, φ)

00

будет обозначаться символом

Z

drFˆ (ˆr).

4. Уравнение

ˆ

l3F (θ, φ) = lF (θ, φ)

имеет решение

F (θ, φ) = Cexp(ilφ)g(θ).

5. Функция F из предыдущего раздела будет решением уравнения

ˆ

l+F (θ, φ) = 0,

åñëè

g(θ) = sinlθ.

6. Вектор Yll, нормированный условием

Z

drˆ|Yll(ˆr)|2 = 1,

равен

Вычисляя нормировочный интеграл, воспользуйтесь формулой

π

2

Z

dxsinµ−1x = 2µ−2B( µ2 , µ2 ).

0

7. Покажите что

41

ˆ

8. Последовательно действуя на вектор Yll оператором l− покажите что

−

11.Вектор Yl,−l пропорционален e−ilφsinlθ.

12.Справедливо равенство

13.Начав построение сферических гармоник с вектора Yl,−l, получите эквивалентное

(10)выражение Ylm:

Полиномы Лежандра определяются формулой

42

Присединенные полиномы Лежандра равны

1

Z

Plm0 (x)Plm(x)dx = δl0 l 2 (l + m)! .

2l + 1 (l − m)!

−1

14. Если коэффициент С выбрать равным il, то сфермческие гармоники определятся формулой

m=−l

17. Применяя формулу сложения для полиномов Лежандра покажите, что формуле

∞

можно придать вид разложения плоской волны по сферическим гармоникам

18. Функции Ylm(θ, φ) = Ylm(ˆr) образуют ортонормированный базис в пространстве квадратично интегрируемых функций, заданных на единичной сфере:

Z

Ylm(ˆr)+Yl0 m0 (ˆr)drˆ = δll0 δmm0 ,

43

Z

0 0 0

F (ˆr) = δ(ˆr − rˆ )F (ˆr )drˆ .

Cимметрия кулонова потенциала

На прошлой лекции мы получили формулу для уровней энергии в кулоновом поле

Мы нашли кратность вырождения уровней энергии. Стационарные состояния в цент- рально-симметричном поле нумеруются числами nr, l, m, а уровни энергии - числами nr, l:

HΨ(nr, l, m) = Ψ(nr, l, m)E(nr, l).

Поскольку при заданном l число m принимает 2l + 1 значений, то уровни энергии в сферически симметричном поле, вообще говоря, вырождены (2l+1)-кратно. Однако, кулоново поле дает нам пример исключения из правил. Поскольку число n равно

n= nr + l + 1,

то при заданной энергии, т.е. при заданном числе n, число l может принимать n значений: l = 0, 1, ..., n − 1. Поэтому энергией En обладают

n−1

X

(2l + 1) = n2

l=0

состояний. По ходу решения дифференциального уравнения, приводящего к значениям уровней энергии, трудно объяснить физическую причину столь высокой кратности уровней. Поэтому в некоторых учебниках это вырождение называют "случайным", связанным с особенностями кулонова потенциала. Между тем мы уже знаем, что вырождение уровней энергии связано с наличием некоммутирующих интегралов движения. Чем больше таких интегралов, тем выше кратность вырождения.

С другой стороны, некоммутирующие интегралы движения определяют нетривиальную симметрию гамильтониана.

Таким образом, вырождение уровней энергии связано со свойствами симметрии гамильтониана. В классической физике траектория точечной частицы, движущейся в центрально симметричном

поле, целиком лежит в плоскости, ортогональной к постоянному во времени моменту импульса. Однако, в общем случае она не обязана быть замкнутой. Между тем орбиты вращающихся вокруг Солнца планет замкнуты, что стимулирует поиск физической причины более высокой симметрии траектории частицы, движущейся в поле

V (r) = −Gr .

Эта задача была решена Лапласом еще в XV III веке. Лаплас выяснил, что в таком поле

В начале XX века он получил названия вектора Лапласа-Рунге-Ленца. В 1925 году Паули приступая решению задачи об уровнях энергии атома водорода определил оператор

Паули, естественно определил три матрицы, потому что понятие оператора в квантовую механику тогда еще не проникло. Называя три соответсвующие оператора вектором, мы подразумеваем пока лишь число операторов. Имя вектора эти операторы с полным правом

44

могут получить лишь после вычисления коммутаторов наших величин с моментом импульса. Прямой подсчет показывает, что справедливы перестановочные соотношения

[lα, Aβ] = i αβγAγ,

показывающие, что мы действительно имеем дело с квантовым вектором Лапласа-Рунге- Ленца.

Далее, взяв в качестве гамильтониана оператор

H = 21mp~2 − Zer 2 ,

нетрудно показать, что

[H, Aα] = 0.

Именно это соотношение использовал Паули при выводе формулы уровней энергии атома водорода.

Полезно помнить, что в случае связанных состояний электрона, когда энергия отрицательна, оператор (−H) положительно определен.

Для дальнейшего удобно определить новые переменные

Операторы lα, kα эрмитовы, а их коммутаторы равны

[lα, lβ] = i αβγlγ,

[lα, kβ] = i αβγkγ,

[kα, kβ] = i αβγlγ.

Кроме того, векторы ~ ~

k è l ортогональны:

Все эти соотношения имеют чисто кинематическую природу. Равенство

определяет гамильтониан как функцию kα, lα, причем симметрия гамильтониана связана с

возможными каноническими преобразованиями этих переменных. Чтобы прояснить структуру этих преобразований, удобно перейти к новым переменным

45

Перестановочные соотношения

[J1α, J1β] = i αβγJ1γ,

[J2α, J12β] = i αβγJ2γ.

[J1α, J2β] = 0

показывают, что ~ ~

J1, J2 два независимых момента количества.

В качестве наблюдаемых, определяющих чистые состояния системы, можно выбрать

выбрать как прямое произведение векторов

Ψ(j1, m1; j2, m2) = Ψ(j1, m1) Ψ(j2, m2).

Фактически состояния атома водорода будут занимать лишь часть этого пространства,

Это означает, что базис пространства состояний нумеруется тремя числами:

ejm1m2 = Ψ(j, m1) Ψ(j, m2),

где числа j, m1, m2 принимают следующие значения:

собственные значения имеет решение

E0

Hejm1m2 = ejm1m2 (−2n2 ).

Числа n = 2j + 1 принимают значения

n= 1, 2, 3, ....

Кратность вырождения уровня определяется числом значений, которое принимает пара индексов m1, m2 при заданном значении j:

d(En) = (2j + 1)(2j + 1) = n2.

Поскольку момент импульса равен

то, как следует из общей теории сложения моментов, собственные значения оператора ~2 l

принимают при заданном j равны l(l + 1) ïðè l = 0, 1, ..., 2j = n − 1.

Прежде чам заняться сложением моментов, займемся вычислением средних значений различных степеней радиуса. Эти величины позволяют составить наглядные представления о строении атома водорода. Нам придется коснуться некоторых более общих тем.

46

Многие важные результаты классической физики связаны с простым математическим утверждением: средниее значения величин, которые сводятся к производным некоторой функции по времени, равны нулю, т.е.

Практическая ценность этого внешне тривиального результата определяется тем, что производную функции f можно выразить как соотношение между некоторыми динамическими переменными,

что позволяет найти связь средних значений этих величин.

Приведенные рассуждения легко переносятся в квантовую механику. Поскольку производная по времени в силу уравнений Гайзенберга сводится к вычислению коммутатора, то роль классической формулы будет играть такое построение:

Рассмотрим, например величину F = r~p. Ее коммутатор с гамильтонианом равен

Эта формула особенно проста, если потенциал - однородная функция координат. Например, в случае кулонова потенциала

В этом случае формула, связывающая средние, принимает вид

2hHi = hV (r)i.

В результате получается соотношение

1

r2 . Для этого можно воспользоваться формулой ФейнманаГельмана, связывающей малые изменения среднего значения энергии с малыми изменениями

гамильтониана. Если гамильтониан системы зависит от параметра λ, то от этого же параметра зависят как уровни знергии, так и собственные векторы:

H(λ)Ψ(λ) = Ψ(λ)E(λ).

Если векторы Ψ(λ) нормированы на единицу при любом значении λ, òî

hδΨ(λ)|Ψ(λ)i + hΨ(λ)|δΨ(λ)i = 0.

Варьируя обе части уравнения на собственные значения, получим равество

Гамильтониан, определяющий радиальное движение в состоянии с определенным моментом импульса зависит от квантового числа l:

¯h2 l(l + 1) Hr = H0 + 2m r2 .

47

Поскольку l в этой формуле можно считать непрерывным параметром, то можно вычислить среднее

Нам уже известны средние значения трех степеней r: r−2, r−1 è r0 = 1. Этого достаточно,

чтобы вычислить средниее значение любой степени радиуса с помощью рекуррентной формулы Крамерса:

Cложение моментов

Разберем простой пример задачи, где вычисление уровней энергии требует сложения моментов количества движения.

Известно, что электрон проявляет себя как точечная частица лишь при нерелятивистских энергиях. При измерении значений уровней энергии атома водорода с точностью, которая требует учета релятивистских поправок, необходимо принять во внимание чисто квантовую степень свободы электрона наличие у него собственного момента количества движенияспина.

Мы уже знаем, что со спином электрона можно связать переменные ~s = 12~σ. Наличие спина приводит к существованию у электрона магнитного момента

µ~ = µ0~s.

Из формул релятивистской кинематики известно, что частица с собственным магнитным моментом µ~, движущаяся в лабораторной системе координат, приобретает в ней электрический

Если такая частица попадает в электрическое поле, то она приобретает энергию

48

Если поле обладает сферической симметрией, то

Скалярное произведение в нашем случае сводится смешанному произведению, превращаясь в другое скалярное произведение:

количества движения электрона. Эта величина определяет одну из релятивистских поправок к энергии атома водорода.

Чтобы иметь возможность систематического изучения подобных задач, полезно развить общую теорию сложения моментов.

Предположим, что среди переменных, выделяющих чистые состояния системы содержатся

как совокупность собственных векторов уже перечисленных операторов и некоторых операторов

:

jm

49

Коэффициенты hj1, m1, j2, m2|j1, j2, j, mi, будучи скалярными произведениями hn|Ψmi образуют

при фиксированных значениях j1 è j2 унитарные матрицы размерности (2j1 + 1)(2j2 + 1). Их называют коэффициентами Клебша-Гордона. Нетрудно понять, не вычисляя

явно коэффицентов Клебша-Гордона, какие значения принимают числа j, m при фиксированных значениях j1, j2. При фиксированном j числа m принимают 2j +1 значение, максимальное