5.4wMOROVENNOSTX SILOWYH LINIJ MAGNIT- NOGO POLQ
nAPOMNIM, ^TO WMOROVENNYM NAZYWAETSQ WEKTORNOE POLE, LINII KOTORO- GO W L@BOJ MOMENT WREMENI PROHODQT ^EREZ ODNI I TE VE VIDKIE ^ASTICY SREDYM. pOKAVEM, ^TO \TO IMEET MESTO W SLU^AE MAGNITNOGO POLQ W SREDE S IDEALXNOJ PROWODIMOSTX@.
wY[E MY POKAZALI, ^TO PRI SDELANNYH PREDPOLOVENIQH NAPRQVEN- NOSTX MAGNITNOGO POLQ QWLQETSQ RE[ENIEM SISTEMY URAWNENIJ
~ ~ |
~ |
~ |
~ |
|
@B |
|
|||
rB = 0 r v~ B = |
@t |
: |
||
wTOROE IZ WYPISANNYH URAWNENIJ, S U^ETOM PERWOGO, MOVET BYTX PERE- PISANO W WIDE
~ |
~ ~ |
~ ~ |
dB |
||
dt |
= (Br)~v ; B(r~v) : |
|
pODELIW OBE ^ASTI POLU^ENNOGO URAWNENIQ NA I WSPOMNIW, ^TO W SILU URAWNENIQ NEPRERYWNOSTI
|
|
1 d |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt = ;(r~v) |
|||
MY POLU^AEM, ^TO W SLU^AE IDEALXNOJ PROWODIMOSTI WYPOLNQETSQ SOOT- |
|||||
NO[ENIE |
|
|
|
||
~ |
|
~ |
|
||
|
d |
0B |
1 |
= 0B r~ |
1 ~v |
|
dt |
||||
@ |
A |
@ |
A |
||
KOTOROE QWLQETSQ NEOBHODIMYM I DOSTATO^NYM DLQ WMOROVENNOSTI LINIJ
~
POLQ B .
wOZWRA]AQSX K URAWNENIQM MAKROSKOPI^ESKOJ \LEKTRODINAMIKI, MOV- NO POKAZATX, ^TO W SLU^AE BOLX[OJ NO KONE^NOJ PROWODIMOSTI POSLEDNEE URAWNENIE ZAMENQETSQ NA
|
|
d |
|
~ |
|
|
~ |
|
m |
|
|
|
B |
|
|
B ~ |
|
~ |
|||
|
|
dt 0 |
|
1 |
= 0 |
|
|
|||
|
|
|
r1 ~v + |
|
B |
|||||
GDE m = c2 |
@ |
|
A |
@ |
|
A |
|
|
||
=4= { TAK NAZYWAEMYJ KO\FFICIENT MAGNITNOJ WQZ- |
||||||||||
KOSTI, I USLOWIE WMOROVENNOSTI OKAZYWAETSQ NARU[ENNYM.
59
w BEZRAZMERNYH PEREMENNYH |
|
|
~ ~ ~ ~ ~ |
1 |
~ |
|
||
St@tB + (~vr)B ; (Br)~v = |
Rm |
B |
GDE Rm = UL= m { MAGNITNOE ^ISLO rEJNOLXDSA.
mY WIDIM, ^TO PRI MALYH ^ISLAH sTRUHANA PROCESS PO^TI STACIONA- REN, A PRI BOLX[IH MAGNITNYH ^ISLAH rEJNOLXDSA ZAMAGNI^ENNAQ VID- KOSTX WEDET SEBQ PO^TI KAK IDEALXNAQ, NO WDALI OT GRANIC (SM. ZAME^ANIE W KONCE P.4.5).
5.5mAGNITOGIDRODINAMI^ESKIE WOLNY
rASSMOTRIM RASPOSTRANENIE LINEJNYH WOZMU]ENIJ W ODNORODNOJ, IDE-
ALXNOJ PROWODQ]EJ VIDKOSTI W MAGNITNOM POLE ~0
, B .
{TRIHOM BUDEM OTME^ATX MALYE OTKLONENIQ PLOTNOSTI, DAWLENIQ I NAPRQVENNOSTI MAGNITNOGO POLQ OT IH RAWNOWESNYH ZNA^ENIJ
0 |
0 |
~ ~ |
~ |
= 0 + |
p = p0 + p B = B0 |
+ b : |
|
kAK I W OTSUTSTWII MAGNITNOGO POLQ, IZO\NTROPIJNOSTX DWIVENIQ POZWOLQET SWQZATX MALYE WOZMU]ENIQ PLOTNOSTI I DAWLENIQ
p0 = 0u2 = p0 u2 |
= @p |
: |
||||
0 |
0 |
|
@ ! s=s0 |
|||
|
|
|
|
|
||
tAKIM OBRAZOM, LINEARIZOWANNAQ SISTEMA URAWNENIJ MAGNITNOJ GID- |
||||||
RODINAMIKI W RASSMATRIWAEMOM SLU^AE PRIOBRETAET WID |
||||||
0 |
~ |
|
|
|
|
|
@t |
+ 0(r~v) = 0 |
|
||||
u02 ~ 0 |
1 |
|
~ |
~ |
~ |
|
|
|
|
||||
@t~v = ; 0 r |
+ 4 0 |
|
(r b) B0 |
|||
|
~ ~ |
|
|
|
|
|
|
(rb) = 0 |
|
|
|||
~ |
~ |
|
|
~ |
|
|
@tb = r (~v B0) : |
|
|||||
60
rANX[E MY UVE POKAZALI, ^TO, ESLI OGRANI^IWATXSQ LINEJNYM PRI- BLIVENIEM, TO ISSLEDOWANIE WREMENNOJ \WOL@CII WOZMU]ENIQ PROIZWOLX- NOJ FORMY I SPEKTRALXNOGO SOSTAWA, DOSTATO^NO IZU^ITX PROCESS RAS- PROSTRANENIQ PLOSKOJ MONOHROMATI^ESKOJ WOLNY. pO\TOMU BUDEM ISKATX RE[ENIE POLU^ENNOJ SISTEMY URAWNENIJ WIDA
|
~~ |
|
|
|
~~ |
|
~v(t ~x) = ~ve;i!t+ikx |
(t ~x) = e;i!t+ikx |
|||||
|
~~ |
|
~ |
~ |
~~ |
|
;i!t+ikx |
|
;i!t+ikx |
: |
|||
p(t ~x) = pe |
|
b(t ~x) = be |
|
|||
wYPISANNAQ WY[E PODSTANOWKA SWODIT SISTEMU URAWNENIJ OPISYWA@- ]U@ RASPROSTRANENIE PLOSKOJ WOLNY K SISTEME ALGEBRAI^ESKIH URAWNE- NIJ
0 |
~~ |
|
u02 0~ |
1 |
~ |
~ ~ |
||
|
|
|
|
|||||
! = 0 |
(kv) |
;!~v + |
0 |
k = ;4 0 |
B0 |
(k b) |
||
|
~~ |
|
~ |
|
~ ~ |
~ |
|
|
|
(kb) = 0 ;!b = |
k (v B0) : |
||||||
oTMETIM, ^TO TRETXE URAWNENIE WYPISANNOJ SISTEMY MOVNO ISKL@^ITX POSKOLXKU ONO QWLQETSQ O^EWIDNYM SLEDSTWIEM ^ETWERTOGO. oTBRASYWAQ
\TO URAWNENIE I PODSTAWLQQ 0 IZ PERWOGO URAWNENIQ WO WTOROE, MY POLU- |
|||||
^AEM SISTEMU [ESTI URAWNENIJ DLQ [ESTI NEIZWESTNYH { TREH KOMPONENT |
|||||
|
~ |
|
|
|
|
WEKTORA ~v I TREH KOMPONENT b |
|
|
|
|
|
|
~~ ~ |
1 |
|
|
|
2 kv)k |
~ |
~ ~ |
|||
|
|
|
|
||
;!~v + U0 |
! |
= ;4 0 |
B0 (k b) |
||
|
~ |
~ ~ ~ |
~ |
~~ |
|
;!b = v(kB0) ; B0(kv) :
nETRUDNO UWIDETX, ^TO RAWSSMATRIWAEMAQ SISTEMA URAWNENIJ NA SA-
MOM DELE PREDSTAWLQET SOBOJ DWE NEZAWISIMYE SISTEMY URAWNENIJ. wY- BEREM SISTEMU KOORDINAT TAKIM OBRAZOM, ^TOBY WOLNOWOJ WEKTOR BYL NAPRAWLEN W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII OSI x, A WEKTOR NAPRQVENNOS- TI MAGNITNOGO POLQ LEVAL W PLOSKOSTI xy
~ |
~ |
= (Bx By 0) : |
k = (k 0 0) qquadB0 |
||
mY POLU^AEM, ^TO PERWAQ SISTEMA SWQZYWAET ORTOGONALXNYE PLOSKOS- TI xy KOMPONENTY SKOROSTI vz I ODNOIMENNU@ KOMPONENTU MAGNITNOGO POLQ WOLNY bz
61
!vz = |
1 |
~ |
~ ~ |
|
|||
4 0 |
(kvecb) |
!bz = ;(kB0)vz : |
pRI \TOM WTORAQ SISTEMA URAWNENIJ SWQZYWAET PERPENDIKULQRNYE OSI z KOMPONENTY
|
~~ ~ |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
(kv)k |
~ |
~ |
~ |
|
||
|
|
|
|
|
|||
;!~v? + u0 |
! |
= ;4 0 |
B0 |
(k b) ? |
|
||
|
~ |
~ ~ |
~~ |
~ |
|
|
|
;!b? = ~v?(kB0) ; (kv)B0 |
: |
|
|||||
pERWAQ SISTEMA OPISYWAET POPERE^NYE WOLNY W ZAMAGNI^ENNOJ IDE- ALXNOJ VIDKOSTI S WYSOKOJ PROWODIMOSTX@ (PLAZME). pRI \TOM SSOWET- STWU@]IE KOLEBANIQ MOGUT RASPROSTRANQTXSQ W PLAZME TOLXKO PRI WY- POLNENII DISPERSIONNOGO URAWNENIQ
4 ! |
2 |
~ ~ |
2 |
: |
|
= (kB0) |
|
pRI \TOM IZ URAWNENIQ NEPRERYWNOSTI MY POLU^AEM, ^TO ! 0 = 0kvx, I SLEDOWATELXNO, DLQ RASSMATRIWAEMOGO TIPA KOLEBANIJ 0 = 0 { KOLEBA- NIJ PLOTNOSTI NET.
|TI WOLNY NAZYWA@TSQ WOLNAMI aLXFWENA. iH FAZOWAQ SKOROSTX RAW-
NA
~
(~nB0)
u~ = p4 0 ~ex
A GRUPPOWAQ
~
~ pB0
U = 4 0 :
w OTSUTSTWII MAGNITNOGO POLQ \TOT TIP WOLN RASPROSTRANQTXSQ W IDEALXNOJ VIDKOSTI NE MOVET.
wTORAQ SISTEMA
|
~v? ~v |
~ |
~ |
|
~ |
) b? |
b |
|
|
~ ~ |
~~ |
~ |
=) |
|
;ub = ~v(nB0) ; (nv)B0 |
||||
62
|
|
|
;ubx = vxB0x ; vxB0x = 0 bx = 0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
;uby = B0xvy |
; B0yvx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
~ ~ ~ |
|
|
|
|
|
~ ~ ~ |
|
|
|
||||||||||
u ~v? = u0(~n~v)n~ + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
4 0 |
n(bB0) |
|
; |
b(nB0) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(u2 ; u02)vx ; |
|
u |
|
|
|
B0ybx = 0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
u2vy |
+ |
|
|
|
u |
|
B0xby = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
(vx |
vy |
by) |
|
|
|
; PEREMENNYE |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
B0y |
|
|
|
|
|
|
B0x |
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Det |
0 |
|
(u2 |
; |
u2) |
|
; |
0 |
|
|
|
|
|
; |
;u |
|
B0y |
1 = 0 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4u |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
||
|
|
|
|
@ |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
4 0 B0x |
|
A |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
3 |
B02y |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
u |
|
2 |
|
|
|
||||||
u |
(u |
|
; u0) ; u |
4 0 |
; (u |
|
|
; u0) |
4 0 |
B0x |
= 0 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B2 |
|
|
|
|
|
|
u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
u4 |
|
|
u2 u2 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
0 |
B2 |
= 0 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
; |
4 0 ! |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
4 0 |
|
|
|
0x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2u02 + |
B2 |
|
|
|
|
v u02 |
|
|
|
|
|
B2 |
|
2 |
|
B02x u023 |
||||||||||||||||||
u2 = |
|
|
|
|
|
+ |
|
! |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
4 0 |
|
; '0 |
7 |
||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
4 0 u |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|||||||||||||||||||||
mAGNITO-ZWUKOWYE WOLNY: bYSTRAQ WOLNA
B ! 0 u+ ! u0 ~v = (v 0 0)
|TO OBY^NAQ ZWUKOWAQ WOLNA. mEDLENNAQ WOLNA
B ! 0 u; ! 0 vx vy ! 0 by ! 0
63
gLAWA 6
|FFEKTIWNAQ GRAWITACIQ W GIDRODINAMIKE
w PERWOJ ^ASTI NA[EGO KURSA MY POKAZALI, ^TO PRI NALI^II SWQZEJ URAW- NENIE DWIVENIQ TO^E^NOJ ^ASTICY MOVET PRINIMATX WID, FORMALXNO SAWPADA@]IJ S WIDOM URAWNENIQ DWIVENIQ SWOBODNOJ ^ASTICY W ISKRIW- LENNOM PROSTRANSTWE. kRIWIZNA PROSTRANSTWA QWLQETSQ \FFEKTIWNOJ, PO- SKOLXKU NA SAMOM DELE DWIVENIE PROISHODIT WSE VE W PROSTRANSTWE eW- KLIDA. tEM NE MENEE BOLEE PODROBNOE RASSMOTRENIE \TIH WOPROSOW POLEZNO DLQ L@DEJ, RE[IW[IH POSWQTITX SEBQ ZANQTIQM ASTRONOMIEJ.
sEJ^AS UVE HORO[O IZWESTNO, ^TO POQWLENIE \FFEKTIWNOJ GRAWITA- CII HARAKTERNO DLQ FIZIKI KONDENSIROWANNOGO SOSTOQNIQ. |TO OSOBENNO INTERESNO POSKOLXKU WOZNIKAET PRINCIPIALXNAQ WOZMOVNOSTX MODELIRO- WATX W LABORATORII OB_EKTY I QWLENIQ, KOTORYE PREDSKAZANY TEORIEJ GRAWITACII, NO E]E NE BYLI, A NEKOTORYE, PO WSEJ WIDIMOSTI, I NE BU- DUT, NEPOSREDSTWENNO NABL@DAEMY. k NIM OTNOSQTSQ MONOPOLI, STRUNY, ^ERNYE DYRY I SWQZANNOE S IH SU]ESTWOWANIEM KWANTOWOE HOKINGOWSKOE IZLU^ENIE I MNOGOE DRUGOE.
k NASTOQ]EMU WREMENI NAKOPLEN MATERIAL, KOTOROGO BYLO BY WPOL- NE DOSTATO^NO DLQ ^TENIQ SEMESTROWOGO SPECIALXNOGO KURSA. oDNAKO MY SWQZANY RAMKAMI KLASSI^ESKOJ MEHANIKI, PO\TOMU OGRANI^IMSQ TOLXKO ODNIM PRIMEROM, KOTORYJ PO MNENI@ AWTOROW DOLVEN PREDSTAWLQTX IN- TERES DLQ STUDENTOW ASTRONOMI^ESKOGO OTDELENIQ.
64
6.1|FFEKTIWNAQ METRIKA
wERNEMSQ K WOPROSU O RASPROSTRANENII ZWUKOWYH WOLN W IDEALXNOJ VID- KOSTI. dLQ PROSTOTY BUDEM PREDPOLAGATX, ^TO WNE[NIE OB_EMNYE SILY POTENCIALXNY I DWIVENIE VIDKOSTI BEZWIHREWOE. tAKIM OBRAZOM, ISHOD- NAQ SISTEMA URAWNENIJ IMEET WID
"@~v ~ # ~ ~
@t + (~v r)~v = ;rp ; rU
@ ~
@t + r( ~v) = 0
~
(r ~v) = 0
GDE, KAK I RANX[E, DAWLENIE p PREDPOLAGAETSQ IZWESTNOJ FUNKCIEJ PLOT- NOSTI , A U { POTENCIAL WNE[NEJ SILY.
nE SLI[KOM SLOVNYE PREOBRAZOWANIQ POZWOLQ@T POKAZATX, ^TO, ESLI WWESTI POTENCIAL POLQ SKOROSTEJ
~
~v = r
I NOWU@ FUNKCI@
= ln
TO ISHODNAQ SISTEMA URAWNENIJ PRIOBRETAET SLEDU@]IJ WID
@ |
+ |
v2 |
|
|
@t |
2 |
+ g( ) + U = 0 |
||
|
|
|
||
@ |
|
|
~ |
~ |
@t + (~v r) + (r ~v) = 0 :
wHODQ]AQ W PERWOE IZ POLU^ENNYH URAWNENIJ FUNKCIQ g( ) OPREDELENA SLEDU@]IM OBRAZOM
e |
1 dp( 0) |
|
||
g( ) = Z |
d 0 : |
|||
|
|
|||
0 d 0 |
||||
pUSTX |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
0 = ln 0 |
|
v~0 = r 0 |
||
65
QWLQ@TSQ NEKOTORYM RE[ENIEM \TOJ SISTEMY URAWNENIJ. wWODQ
= 0 + 0 |
= 0 + 0 |
POSLE LINEARIZACII NA FONE DANNOGO RE[ENIQ MY POLU^IM
|
|
@ 0 |
~ |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|||
|
|
@t |
+ (v~0 r) |
+ g |
( 0) |
= 0 |
|
|
||||
1 |
" |
@( 0 0) |
~ |
0 |
v~0)# + |
|
1 |
~ ~ |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
@t |
+ r( 0 |
|
|
0 r( 0r |
|
) = 0 : |
|||||
wYRAVAQ 0 IZ PERWOGO URAWNENIQ I PODSTAWLQQ WO WTOROE, MY NAJDEM URAWNENIE, KOTOROMU UDOWLETWORQET LINEARIZOWANNYJ POTENCIAL POLQ SKOROSTEJ
1 |
|
@ 0 @ 0 |
|
@ |
|
0v~0 |
~ 0 |
~ |
0v~0 @ 0 |
~ ~ 0 |
|
||||
|
" |
|
|
|
@t |
! + |
|
|
|
r |
! + r |
|
|
! ; r( 0r |
)+ |
0 |
@t |
g0( 0) |
@t |
g0( 0) |
g0( 0) @t |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
+r |
g0( 0)(v~0 r) !# = 0 : |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
0v~0 |
~ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
tEPERX NEPOSREDSTWENNOJ PROWERKOJ NETRUDNO UBEDITXSQ, ^TO POLU^ENNOE URAWNENIE { \TO NI ^TO INOE, KAK WOLNOWOE URAWNENIE DLQ POLQ 0 NA PROSTRANSTWE-WREMENI S METRIKOJ SLEDU@]EGO WIDA
ds2 = |
0 |
(c02 ; v02)dt2 + 2dt(~v0 d~x) ; (d~x d~x)! |
c0 |
GDE c0 { SKOROSTX ZWUKA W RASSMATRIWAEMOJ TO^KE, c02 = g0(ln 0) :
~TOBY UBEDITXSQ W \TOM NADO WSPOMNITX, ^TO W KRIWOLINEJNYH KOORDINATAH URAWNENIE dALAMBERA IMEET WID
|
1 |
|
@ |
|
|
|
@ 0 |
! = 0 |
||
2 0 = |
|
qjgjg |
||||||||
|
|
|
@x |
@x |
||||||
|
g |
|||||||||
|
qj |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
I SOOBRAZITX, ^TO W NA[EM SLU^AE KOMPONENTY \FFEKTIWNOGO METRI^ES-
KOGO TENZORA IME@T WID
gtt = 0 [c2 ; v2]
c0 0 0
66
0 |
|
|
gti = git = c0 v0i |
i j k ::: = 1 2 3 |
|
|
0 |
|
gij = ;c0 |
ij : |
|
pREDPOLOVIM TEPERX, ^TO NEWOZMU]ENNYJ POTOK STACIONAREN, I SLE- DOWATELXNO, HARAKTERIZU@]IE EGO WELI^INY ~v0 I 0 NE ZAWISQT OT WREME- NI, I SFERI^ESKI SIMMETRI^NO SHODITSQ K NEKOTOROJ TO^KE PROSTRANST- WA. pOSLEDNEE OZNA^AET, ^TO PRI SOOTWETSTWU@]EM WYBORE SISTEMY KO- ORDINAT SKOROSTX VIDKOSTI W L@BOJ TO^KE PROSTRANSTWA NAPRAWLENA W STORONU NA^ALA OTS^ETA, T.E. IMEET TOLXKO RADIALXNU@ SOSTAWLQ@]U@, KOTORAQ NE ZAWISIT OT UGLOW
~v0(~r) = ;v0(r)~er :
pRI \TOM W NA^ALE OTS^ETA DOLVEN BYTX ORGANIZOWAN STOK VIDKOSTI, NA- PRIMER S POMO]X@ TONKOJ TRUBO^KI, KOTORAQ POZWOLQET OTWODITX VID- KOSTX DOSTATO^NO DALEKO I NE NARU[AET DINAMIKU POTOKA W CELOM.
tEPERX WYRAVENIE DLQ \FFEKTIWNOJ METRIKI NESKOLXKO UPRO]AETSQ. pRI WYBORE SFERI^ESKOJ SISTEMY KORDINAT S CENTROM W TO^KE STOKA MY POLU^AEM
ds2 = |
0 |
(c02 ; v02)dt2 ; 2v0dtdr ; r2(d 2 + sin2 d'2)! : |
c0 |
dALXNEJ[IE PREOBRAZOWANIQ O^EWIDNY DLQ TEH, KTO NEMNOGO ZNAKOM S TEORIEJ GRAWTITACII. tO, ^TO METRI^ESKIE KO\FFICIENTY ZAWISQT TOLX- KO OT RADIALXNOJ KOORDINATY, POZWOLQET IZBAWITXSQ OT NEDIAGONALXNYH ^LENOW W WYRAVENII DLQ LINEJNOGO \LEMENTA. |TO OSU]ESTWLQETSQ WWE- DENIEM NOWOJ WREMENNOJ KOORDINATY
v0(r)dr
= t ; Z c20 ; v02(r) : pRI \TOM METRIKA PRIOBRETAET SLEDU@]IJ WID
|
0 |
|
|
|
c0dr2 |
|
ds2 = |
|
(c02 |
; v02)d 2 |
; |
|
; r2(d 2 + sin2 d'2)! : |
c0 |
c02 ; v02 |
|||||
w TEORII GRAWITACII TAKOJ WID LINEJNOGO \LEMENTA TIPI^EN DLQ STA-
TI^ESKOGO SFERI^ESKI SIMMETRI^NOGO PROSTRANSTWA-WREMENI.
67
6.2gIDRODINAMI^ESKAQ MODELX ^ERNOJ DY- RY
sDELAEM SLEDU@]IJ [AG. pREDPOLOVIM, ^TO PO MERE PRIBLIVENIQ K TO^- KE STOKA SKOROSTX POTOKA NEPRERYWNO UWELI^IWAETSQ I PRI NEKOTOROM r = R STANOWITSQ BOLX[E SKOROSTI ZWUKA
v0(r) = ;c0(R) + (r ; R) + O((r ; R)2) = dvdr0 (R) :
tOGDA W OKRESTNOSTI SFERY RADIUSA R, WNE ZAWISIMOSTI OT URAWNENIQ SOSTOQNIQ VIDKOSTI, \FFEKTIWNAQ METRIKA PRIOBRETAET WID
ds2 = |
0(R) |
2 c0(R)(r ; R)d 2 |
; |
dr2 |
|
; R2(d 2 + sin2 d'2)! : |
|
c0(R) |
2 (r |
; |
R) |
||||
dLQ SRAWNENIQ SKAVEM, ^TO W OKRESTNOSTI SFERY {WARC[ILXDA PRI (r ; rg)=rg 1 METRIKA PROSTRANSTWA-WREMENI UEDINENNOGO STATI^ESKOGO SFE- RI^ESKI SIMMETRI^NOGO TELA MOVET BYTX PREDSTAWLENA W WIDE
ds2 = |
(r ; rg)dt2 |
|
rg dr2 |
|
(rg)2(d 2 + sin2 d'2) |
! |
: |
|
; (r ; rg) ; |
||||||||
|
rg |
|
|
|||||
TAK NAZYWAEMYJ [WARC[ILXDOWSKIJ RADIUS, KOTORYJ SWQZAN S MASSOJ TELA M, NX@TONOWSKOJ GRAWITACIONNOJ POSTOQNNOJ G I SKOROSTX@ SWETA W WAKUUME c SOOTNO[ENIEM
2GM rg = c2 :
pRI \TOM PREDPOLAGAETSQ, ^TO POWERHNOSTX TELA NAHODITSQ POD SFE-
ROJ RADIUSA rg. nO PRI \TOM OBLASTX PROSTRANSTWA, SOOTWETSTWU@]AQ r < rg STANOWITSQ ^ERNOJ DYROJ, I NIKAKOJ SIGNAL, ISPU]ENNYJ W \TOJ OBLASTI, NE MOVET DOSTI^X UDALENNOGO NABL@DATELQ. k SOVALENI@, OB- SUVDENIE \TIH WOPROSOW WYWELO BY NAS DALEKO ZA RAMKI TEORETI^ESKOJ MEHANIKI I MEHANIKI SPLO[NYH SRED. nO MY POLU^ILI WOZMOVNOSTX PRO- MODELIROWATX \TI UNIKALXNYE SWOJSTWA ^ERNYH DYR, OSTAWAQSX W RAMKAH GIDRODINAMIKI.
eSLI GOWORITX TOLXKO O \FFEKTIWNOJ METRIKE, TO GIDRODINAMI^ES- KIJ POTOK DEJSTWITELXNO MODELIRUET PROSTRANSTWO-WREMQ ^ERNOJ DYRY
68