Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1310 вузов, 5235 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
Предмет:
Механика сплошных сред
Файл:

МСС / МСС / Лекции Граца

.pdf
Скачиваний:
139
Добавлен:
06.05.2013
Размер:
424.95 Кб
Скачать
☆

zAPI[EM URAWNENIE DWIVENIQ WIHRQ W BEZRAZMERNYH EDINICAH. kAK I W PREDYDU]EM PARAGRAFE, SOHRANIW DLQ OBEZRAZMERENNYH WELI^IN STA- RYE OBOZNA^ENIQ, POLU^IM

 

d

~

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Stdt (!~ ) = !~ r ~v + Re !~

GDE St = L=UT I Re = LU= { ^ISLA sTRUHANA I rEJNOLXDSA, SOOTWET-

STWENNO.

 

 

 

 

mY WIDIM, ^TO PRI St << Re;1

DWIVENIE MOVET PRIBLIVENNO

RASSMATRIWATXSQ KAK STACIONARNOE, A PRI Re >> 1 WYPOLNQETSQ USLOWIE WMOROVENNOSTI WIHREJ. pOD^ERKNEM ODNAKO, ^TO

DAVE W SLU^AE IS^EZA@]E MALOJ WQZKOSTI OTLI^IE W GRANI^NYH USLO- WIQH PRIWEDET K SU]ESTWENNOMU OTLI^I@ W HARAKTERE DWIVENIQ WIH- REWOGO POLQ PO SRAWNENI@ SO SLU^AEM IDEALXNOJ VIDKOSTI.

4.3zAKON IZMENENIQ \NERGII WQZKOJ VID- KOSTI

pOLNAQ SISTEMA URAWNENIJ WQZKOJ VIDKOSTI DOLVNA SODERVATX PQTX URAW- NENIJ. w SLU^AE WQZKOJ VIDKOSTI ODNIM IZ \TIH URAWNENIJ QWLQETSQ PO- PREVNEMU URAWNENIE NEPRERYWNOSTI

 

d

~

 

 

 

dt

+ (r~v) = 0 :

zAKON IZMENENIQ IMPULXSA PRIOBRETAET WID URAWNENIQ nAWXE-sTOKSA

d~v

~

~ ~

dt

= ;rp + ~v + ( + 3 )r(r~v) :

w KA^ESTWE POSLEDNEGO UDOBNO WZQTX URAWNENIE, KOTOROE WYRAVAET SOBOJ

ZAKON SOHRANENIQ \NERGII.

dLQ DALXNEJ[EGO NAM POTREBUETSQ ZAKONY IZMENENIQ WNUTRENNEJ \NER-

GII

 

 

 

 

de

~

~

0

~

dt = Pikvik ; (r~q) = ;p(r~v) + Pikvik ; (rq~)

49

I \NTROPII

ds

~

 

T dt = ;(rq~) + D :

wOSPOLXZUEMSQ TAKVE TEM, ^TO PRI MALYH GRADIENTAH TEMPERATURY

~

~q = ; rT ( T ) ; ;TEPLOPROWODNOSTX, > 0 :

|TO SOOTNO[ENIE IZWESTNO KAK ZAKON fURXE.

pOSTUPAQ KAK W I SLU^AE IDEALXNOJ VIDKOSTI, ZAPI[EM

@ v2

d v2

v2

d

~

v2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@t 2 + e! = dt 2 + e! +

 

 

 

+ e! :

2 + e! dt ; (~vr) 2

oTKUDA, ESLI WOSPOLXZOWATXSQ ZAKONAMI IZMENENIQ KINETI^ESKOJ \NERGII

d (v2 ) = ;vi@ip + vi@kPik0 dt 2

WNUTRENNEJ \NERGII I \NTROPII, TO NETRUDNO POLU^ITX SOOTNO[ENIE

@

 

 

v2

~

v2

~ 0

~

 

 

 

 

 

@t

 

2 + e! = ;r ~v

2 + h! ; (~vP

) ; rT !

~0

0

GDE P = viPike~k.

dLQ INTERPRETACII POLU^ENNOGO SOOTNO[ENIQ ZAPI[EM EGO W INTEG- RALXNOJ FORME

 

 

d

v2

 

 

 

Z

2 + e! d~x =

 

 

dt

 

 

 

V

 

; Z d i

 

v2

 

vi " 2 + e# + vip ; vkPik0 ; @iT ! :

@V

 

 

 

 

pERWYJ ^LEN PREDSTALQET SOBOJ POTOK POLNOJ \NERGII ^EREZ GRANICU OB_- EMA, DWA SLEDU@]IH { \TO RABOTA SIL DAWLENIQ I WQZKOGO TRENIQ, SOOT- WETSTWENNO, A POSLEDNIJ OPREDELQET POTOK TEPLA ^EREZ @V .

50

4.4zATUHANIE ZWUKA W WQZKOJ VIDKOSTI

pRI RASSMOTRENII \WOL@CII LINEJNYH WOZMU]ENIJ W WQZKOJ VIDKOSTI

BUDEM PREDPOLAGATX,

^TO RABOTAET PRIBLIVENIE nAWXE-sTOKSA

=

const, TEPLOPROWODNOSTX OTSUTSTWUET, T.E. = 0

~

 

I f = 0.

 

tAKIM OBRAZOM ISHODNAQ SISTEMA URAWNENIJ IMEET WID

 

 

d

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt + (rv~ = 0

 

 

 

d~v

~

 

 

~

~

 

dt

= ;rp + ~v + +

3

r(r~v)

 

 

dedt = ;Pikvik

I

 

 

 

T dsdt = D :

oGRANI^IMSQ RASSMOTRENIEM PLOSKOJ WOLNY. w \TOM SLU^AE

= 0 + 0(t x) p = p0 + p0(t x) I ~v = ~v(t x) :

w LINEJNOM PRIBLIVENII WYPISANNYE URAWNENIQ PRIOBRETA@T WID

 

0

 

 

 

 

@@t + 0 @v@tx = 0

@vx

@p0

4

0 @t

= ; @x + + 3

 

@vy z

@2

 

 

0 @t

=

 

vy z :

 

@x2

@2vx @x2

tAKIM OBRAZOM, W LINEJNOM PRIBLIVENII ESTX DWE WOLNY, KOTORYE RASPOSTRANQ@TSQ NEZAWISIMO { PRODOLXNAQ I POPERE^NAQ.

rANEE MY POKAZALI, ^TO DISSIPATIWNAQ FUNKCIQ D v2. pO\TOMU W LINEJNOM PRIBLIVENII DWIVENIE MOVET RASSMATRIWATXSQ KAK IZO\N- TROPIJNOE. pO\TOMU, KAK I W SLU^AE IDEALXNOJ VIDKOSTI, IMEET MESTO

SOOTNO[ENIE

 

 

p0 = u02 0 GDE u02 =

@p

 

@ ! s=s0

:

51

 

nA^NEM S RASSMOTRENIQ PRODOLXNYH KOLEBANIJ. w \TOM SLU^AE

vy = 0 = vz vx = v(t x)

@t 0 + 0@xv = 0

0@tv = ;@xp0 + + 43 @xx2 v p0 = u20 0 :

kAK I W SLU^AE IDEALXNOJ VIDKOSTI, BUDEM ISKATX RE[ENIE W WIDE

v0 = V e;i!t+ikx I p0 = P e;i!t+ikx :

pODSTANOWKA PRIWODIT K SISTEME ODNORODNYH ALGEBRAI^ESKIH URAWNE- NIJ OTNOSITELXNO AMPLITUD V I P

;i!P + ik( 0u20)V = 0

ikP + k2 + 43 ; i! 0 V = 0 :

uSLOWIEM NALI^IQ NETRIWIALXNOGO RE[ENIQ \TOJ SISTEMY QWLQETSQ OB- RA]ENIE W NOLX DETERMINANTA

i!

 

ik 0u02

 

! = 0

Det ;ik k2

 

+

4

;

i! 0

 

^TO PRIWODIT K URAWNENI@

3

 

 

;!2 0 ; i!k2 + 43 + k2 0u20 = 0

I MY POLU^AEM

 

!2 1

!2 1 + i"

 

 

4

!

 

k2

= u02

 

= u02 1 + "2

GDE

" = +

 

 

 

:

1 ; i"

3

0u02

pUSTX WQZKOSTX DOSTATO^NO MALA I

"

1 , TOGDA

 

 

 

 

 

 

k2 = (k1 + ik2)2 = (k12 ; k22) + 2ik1k2 :

 

 

 

52

pRI MALYH " k1 = O(1) , A

k2 = O("). pO\TOMU

!2

 

1

 

 

!2

1 ; "2 + O("4)

k12 ; k22 = u02

 

 

= u02

1 + "2

!2

 

 

 

1

 

 

!2

1 ; "2 + O("4)

2k1k2 = " u02

 

 

= " u02

1 + "2

I W REZULXTATE NESLOVNYH PREOBRAZOWANIJ MY POLU^AEM

!

 

 

 

 

3

 

!

 

k1 =

 

1 ;

 

"2 k2 = "

 

:

u0

8

2u0

zAMETIM, ^TO POSKOLXKU > 0 , TO k2 > 0 , I WOLNA DEJSTWITELXNO

ZATUHAET

v = V e;k2x cos(!t ; k1x + ) : kROME TOGO FAZOWAQ SKOROSTX

vF =

!

= u0

1 +

3

"2

 

 

k1

8

 

 

 

 

 

I POSKOLXKU " ! , TO ESTX DISPERSIQ SKOROSTI. w SLU^AE POPERE^NYH KOLEBANIJ

vx = 0 I SLEDOWATELXNO 0 = 0 = p0

I PODLEVA]AQ ISSLEDOWANI@ SISTEMA URAWNENIJ IMEET WID

@ v = @2

v

?

:

0 t ?

xx

 

 

pODSTANOWKA

 

 

 

 

 

~

;i!t+ikx

 

~v? = V?e

 

 

 

 

PRIWODIT K SOOTNO[ENIQM

 

 

 

 

 

k12 ; k22 = 0 2ik1k2 = i! :

i MY POLU^AEM, ^TO

 

 

 

 

 

 

!

 

1

 

 

2

 

k1 = k2 = 2

 

:

tAKIM OBRAZOM, POPERE^NYE KOLEBANIQ O^ENX BYSTRO ZATUHA@T. pRI \TOM W IH ZATUHANIE WNOSQT WKLAD TOLXKO SDWIGOWYE DEFORMACII.

53

gLAWA 5

mAGNITNAQ GIDRODINAMIKA

eSLI PROWODQ]AQ SREDA NAHODITSQ W MAGNITNOM POLE, TO PRI EE GIDRO- DINAMI^ESKOM DWIVENII W SOPUTSTWU@]EJ SISTEME OTS^ETA WYDELENNOJ VIDKOJ ^ASTICY INDUCIRUETSQ \LEKTRI^ESKOE POLE, KOTOROE ZAWISIT OT EE SKOROSTI OTNOSITELXNO LABORATORNOJ SISTEMY OTS^ETA. |LEKTRI^ES- KOE POLE, W SWO@ O^EREDX, PRIWODIT K POQWLENI@ TOKOW, KOTORYE, S ODNOJ STORONY, PODWERGA@TSQ DEJSTWI@ WNE[NEGO MAGNITNOGO POLQ I TEM SA- MYM MENQ@T HARAKTER DWIVENIQ VIDKOJ ^ASTICY, S DRUGOJ STORONY, ONI SAMI GENERIRU@T MAGNITNOE POLE, OKAZYWAQ OBRATNOE WLIQNIE NA WNE[- NEE. w REZULXTATE WOZNIKAET SLOVNAQ NELINEJNAQ KARTINA WZAIMODEJST- WIQ \LEKTROMAGNITNYH I GIDRODINAMI^ESKIH QWLENIJ, KOTORYE DOLVNY RASSMATRIWATXSQ NA OSNOWE SOWMESTNOJ SISTEMY URAWNENIJ POLQ I URAW- NENIJ DWIVENIQ VIDKOSTI.

bUDEM PREDPOLAGATX, ^TO VIDKOSTX IDEALXNAQ, ^TO ONA PROWODIT TOK I OBLADAET O^ENX WYSOKOJ PROWODIMOSTX@, ! 1, ^TO ONA \LEKTRONEJ- TRALXNA I POD DEJSTWIEM \LEKTROMAGNITNOGO POLQ NE NAMAGNI^IWAETSQ. sDELANNYE PREDPOLOVENIQ OZNA^A@T, ^TO NAPRQVENNOSTX MAGNITNOGO PO- LQ I INDUKCIQ SOWPADA@T, PLOTNOSTX ZARQDA RAWNA NUL@ I MY PRENEBRE- GAEM WSEMI DISSIPATIWNYMI PROCESSAMI, WKL@^AQ POTERI NA DVOULEWO TEPLO.

54

5.1uRAWNENIQ DWIVENIQ PROWODQ]EJ VID- KOSTI W MAGNITNOM POLE

sISTEMA URAWNENIJ DLQ SAMOSOGLASOWANNOGO OPISANIQ PROCESSOW WZAIMO- DEJSTWIQ GIDRODINAMI^ESKIH I \LEKTROMAGNITNYH PROCESSOW W PROWODQ- ]EJ SPLO[NOJ SREDE SOSTOIT IZ TREH GRUPP URAWNENIJ.

pERWAQ GRUPPA SOSTOIT IZ URAWNENIQ NEPRERYWNOSTI

d

~

 

dt + (r~v) = 0

I URAWNENIQ |JLERA S SILOJ aMPERA W PRAWOJ ^ASTI

d~v

~ ~A

 

dt

= ;rp + f

:

wTORAQ { \TO URAWNENIQ MAKROSKOPI^ESKOJ \LEKTRODINAMIKI. |TA SIS- TEMA SOSTOIT IZ URAWNENIJ mAKSWELLA DLQ \LEKTROMAGNITNOGO POLQ W SREDE I ZAKONA oMA, KOTORYE ZAMETNO UPRO]A@TSQ PRI SDELANNYH PRED- POLOVENIQH. rASSMOTRIM SNA^ALA \TI UPRO]ENIQ.

wSPOMNIM, ^TO W SISTEME OTS^ETA, GDE VIDKAQ ^ASTICA POKOITSQ, PLOT- NOSTX TOKA SWQZANA S NAPRQVENNOSTX@ \LEKTRI^ESKOGO POLQ SOOTNO[ENI- EM, KOTOROE IZWESTNO KAK ZAKON oMA ([TRIHOM OTME^ENY WELI^INY, OT- NOSQ]IESQ K SISTEME POKOQ ^ASTICY)

~0

~

0

:

j

= E

 

bESKONE^NOSTX PROWODIMOSTI W SO^ETANII S TEM, ^TO PLOTNOSTX TOKA KO- NE^NAQ WELI^INA OZNA^A@T, ^TO NAPRQVENNOSTX \LEKTRI^ESKOGO POLQ W

SOPUTSTWU@]EJ SISTEME OTS^ETA E~ 0 DOLVNA BYTX RAWNA NUL@. s DRUGOJ STORONY SPECIALXNAQ TEORIQ OTNOSITELXNOSTI GOWORIT, ^TO W NIZ[EM PO v=c PRIBLIVENII (MY RABOTAEM W RAMKAH NERELQTIWISTSKOJ TEORII) POLE

E~ 0 SWQZANO S ZLEKTRI^ESKIM I MAGNITNYM POLQMI W LABORATORNOJ SISTEME OTS^ETA SOOTNO[ENIQMI

~ 0

~

1

~

E

= E + c

(~v B) :

tAKIM OBRAZOM, W LABORATORNOJ SISTEME OTS^ETA INDUCIRUEMOE GIDRO- DINAMI^ESKIM DWIVENIEM SREDY \LEKTRI^ESKOE POLE W SLU^AE IDEALXNOJ

55

PROWODIMOSTI IMEET WID

~

1

~

E = ;c

(~v B) :

dALEE, POLU^ENNYJ REZULXTAT GOWORIT, W ^ASTNOSTI, ^TO TOK SME]ENIQ

~

c

;2

, I, SLEDOWATELXNO, W SLABOM RELQTIWISTSKOM

@tE PROPORCIONALEN

 

PRIBLIVENII TOKOM SME]ENIQ SLEDUET PRENEBRE^X PO SRAWNENI@ S TOKOM PROWODIMOSTI.

tAKIM OBRAZOM, MY PRIHODIM K WYWODU, ^TO W NA[EM SLU^AE SISTEMA URAWNENIJ MAKROSKOPI^ESKOJ \LEKTRODINAMIKI REDUCIRUETSQ K WIDU

~ ~

~

~

~

r("D) = 0 @tB = r (~v B)

~ ~

~

~

4 ~

(rB) = 0 (r B) =

c j :

pRENEBREVENIE TOKOM SME]ENIQ POZWOLQET WYRAZITX TOK PROWODIMOSTI NEPOSREDSTWENNO ^EREZ MAGNITNOE POLE

~

c

~ ~

 

j =

4 r B :

pOSLEDNEE SOOTNO[ENIE WMESTE S PREDPOLOVENIEM O \LEKTRONEJTRALX- NOSTI SREDY I TEM, ^TO W SLU^AE IDEALXNOJ PROWODIMOSTI 0 = 0 , PRI- WODIT K SLEDU@]EMU WYRAVENIE DLQ PLOTNOSTI SILY aMPERA

~A

 

1

~

~

1

~ ~ ~

 

 

 

f

=

c

(j B) =

4 (r B) B :

tAKIM OBRAZOM \LEKTRODINAMI^ESKAQ ^ASTX POLNOJ SISTEMY URAWNE- NIJ MAGNITOGIDRODINAMIKI IDEALXNOJ VIDKOSTI IMEET WID

~

 

~

 

~

~ ~

@tB =

r (~v B) (rB) = 0

~A

 

1

~ ~

~

 

 

f

=

4 (r B) B :

tRETXQ GRUPPA URAWNENIJ SOSTOIT IZ TERMODINAMI^ESKIH URAWNENIJ, SOOTWETSTWU@]IH SLU^A@ IDEALXNOJ VIDKOSTI I WKL@^A@]IH TERMI^ES- KOE I KALORI^ESKOE URAWNENIQ SOSTOQNIQ.

56

5.2mAGNITOGIDRODINAMI^ESKIJ TENZOR NA- PRQVENIJ

rASSMOTRIM PODROBNEE URAWNENIE |JLERA. s U^ETOM POLU^ENNOGO WYRA- VENIQ DLQ SILY aMPERA ONO PRIOBRETAET WID

d~v

~

1

~ ~ ~

 

 

dt

= ;rp ; 4 B (r B) :

nETRUDNO PROWERITX, ^TO PLOTNOSTX SILY aMPERA MOVNO PREDSTAWITX W WIDE

~A

~

B2

! +

1

~ ~ ~

 

 

f

= ;r

8

4 Br B :

iLI, ESLI WOSPOLXZOWATXSQ RAWENSTWOM NUL@ DIWERGENCII WEKTORA MAG- NITNOGO POLQ, TO MOVNO POKAZATX, ^TO IMEET MESTO SOOTNO[ENIE

fiA =

@

;

ik

B2

+

BiBk

!

=

@

Mik :

@xk

8

4

@xk

 

 

 

 

 

wHODQ]IJ W POSLEDNEE WYRAVENIE TENZOR

Mik = ; ik B2 + BiBk

8 4

NAZYWAETSQ MAKSWELLOWSKIM TENZOROM MAGNITNYH NAPRQVENIJ. pREDSTAWLENIE OB_EMNYH SIL aMPERA W TOJ VE FORME, ^TO I POWERH-

NOSTNYH, POZWOLQET OPISATX WZAIMODEJSTWIE W IDEALXNOJ VIDKOSTI NA- HODQ]EJSQ W MAGNITNOM POLE S POMO]X@ TENZORA NAPRQVENIJ

PikM =

 

p ik +

1

 

BiBk

1

ik B2

 

:

;

4

; 2

 

 

 

 

 

 

uRAWNENIE |JLERA W \TOM SLU^AE PRIWODITSQ K WIDU

 

dvi

=

@PikM

dt

:

 

 

@xk

tENZOR PikM NOSIT NAZWANIE MAGNITOGIDRODINAMI^ESKOGO TENZORA

NAPRQVENIJ.

57

5.3zAKON IZMENENIQ \NERGII ZAMAGNI^EN- NOJ VIDKOSTI

w SLU^AE IDEALXNOJ VIDKOSTI BEZ MAGNITNOGO POLQ ZAKON IZMENENIQ \NER- GII W EDINICE OB_EMA IMEET WID

@

 

v2

~

v2

+ w)! :

@t (e +

 

 

2 )! = ;r ~v( 2

wSPOMNIM TEPERX, ^TO \TO WYRAVENIE BYLO POLU^ENO UMNOVENIEM LE- WOJ I PRAWOJ ^ASTEJ URAWNENIQ |JLERA NA SKOROSTX. rASSMATRIWAEMYJ SEJ^AS SLU^AJ OTLI^AETSQ TOLXKO TEM, ^TO W PRAWOJ ^ASTI URAWNENIJ |JLERA STOITSILA aMPERA. pO\TOMU EDINSTWENNOE, ^TO SLEDUET SDELATX, \TO WY^ISLITX SKALQRNOE PROIZWEDENIE

f

~v =

;4 ~v B

(r B) =

;4

~v B

(r B) :

 

 

~A

 

1

 

~

 

 

~

 

 

~

 

 

 

 

1

 

 

 

~

~

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w RASSMATRIWAEMOM SLU^AE WE]ESTWA WYSOKOJ PROWODIMOSTI

~v

B =

;cE, TAK ^TO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~A

~v =

 

 

~

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

f

 

 

4 E rotB :

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

r~

 

 

 

 

r

 

 

; h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

~ ~

 

 

=

 

~

~

 

 

~

 

 

~

 

~

 

I URAWNE-

u^ITYWAQ TOVDESTWO E(

 

B)

 

B(

 

 

E)

 

div E

 

B

 

NIE mAKSWELLA

rotE =

;1=c@tB,

WYRAVENIE DLQ MO]NOSTI SILY aMPERA

MOVNO PREDSTAWITX W WIDE

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~A

 

 

 

 

@ B2

 

 

c

~ ~

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~v = ;@t 8 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

4 rhE Bi :

 

 

 

 

 

 

 

oB_EDINQQ \TO SOOTNO[ENIE S TEM, KOTOROE BYLO POLU^ENO W SLU^AE ILEALXNOJ VIDKOSTI, MY PRIHODIM K URAWNENI@, KOTOROE MOVNO RASSMATRIWATX KAK URAWNENIE DLQ IZMENENIQ PLOTNOSTI \NERGII WE]ESTWA I POLQ

@

 

v2

B2

v2

 

~

 

 

 

e + 2 +

8 ! = ;div

w + 2

 

 

@t

! ~v + S! :

zDESX w = e + p= {

 

 

~

~ ~

PLOTNOSTX \NTALXPII, A S = c=4 (E B) {

PLOTNOSTX POTOKA \NERGII POLQ (WEKTOR pOJNTINGA).

 

58

Соседние файлы в папке МСС
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности