МСС / МСС / Лекции Граца

3.3wIHRI W IDEALXNOJ VIDKOSTI

3.3.1tEOREMA tOMSONA O CIRKULQCII

rASSMOTRIM INTEGRAL

Z ~

~vdl

C(t)

WY^ISLENNYJ WDOLX NEKOTOROGO PROIZWOLXNOGO ZAMKNUTOGO KONTURA C(t) it W FIKSIROWANNYJ MOMENT WREMENI, I BUDEM RASSMATRIWATX \TOT KONTUR KAK SOSTAWLENNYJ IZ NAHODQ]IHSQ NA NEM VIDKIH ^ASTIC (VIDKIJ KON- TUR, SOWER[A@]IJ DWIVENIE SMESTE S SOSTAWLQ@]IMI EGO ^ASTICAMI). nE NARU[AQ OB]NOSTI MOVNO S^ITATX, ^TO WYBRANNYJ KONTUR { KONTUR BEZ SAMOPERESE^ENIJ.

nAS INTERESUET

pARAMETRIZUEM TO^KI KONTURA NEKOTORYM PARAMETROM , KOTORYJ WSEG- DA MOVNO WYBRATX TAKIM OBRAZOM, ^TOBY 2 [0 1). tAKIM OBRAZOM, W FIKSIROWANNYJ MOMENT WREMENI

pRI \TOM INTERESU@]AQ NAS PROIZWODNAQ MOVET BYTX ZAPISANA W WIDE

wTOROJ IZ STOQ]IH W PRAWOJ ^ASTI POLU^ENNOGO RAWENSTWA INTEGRALOW RAWEN NUL@, I MY POLU^AEM, ^TO

29

w SLU^AE IDEALXNOJ VIDKOSTI W POLE POTENCIALXNYH OB_EMNYH SIL URAWNENIE |JLERA

tAKIM OBRAZOM,

Z ~

~vdl = const

C(t)

I MY PRIHODIM K UTWERVDENI@, IZWESTNOMU KAK

TEOREMA tOMSONA. pRI IZO\NTROPIJNOM DWIVENII IDEALXNOJ VIDKOS- TI CIRKULQCIQ SKOROSTI PO ZAMKNUTOMU VIDKOMU KONTURU SOHRANQET- SQ, ESLI OB_EMNYE SILY POTENCIALXN.

POTOK WIHRQ SKOROSTI IDEALXNOJ VIDKOSTI ^EREZ DANNU@ VIDKU@ PLO- ]ADKU PRI EE DWIVENII SOHRANQETSQ, ESLI OB_EMNYE SILY POTENCIALX- NY.

sLEDSTWIE. eSLI OB_EMNYE SILY POTENCIALXNY I WEKTOR WIHRQ RAWEN NUL@ W NEKOTORYJ MOMENT WREMENI WO WSEM OB_EME IDEALXNOJ VIDKOS- TI, TO DWIVENIE OSTANETSQ BEZWIHREWYM I WO WSE POSLEDU@]IE MOMEN- TY WREMENI.

zAME^ANIE. tEOREMA sTOKSA PRIMENIMA LI[X W ODNOSWQZNOJ OBLASTI, W KOTOROJ KONTUR PUTEM NEPRERYWNOJ DEFORMACII MOVET BYTX STQNUT W TO^KU. eSLI DWIVENIE VIDKOSTI PROISHODIT W NEODNOSWQZNOJ OBLAS- TI, TO TE^ENIE MOVET HARAKTERIZOWATXSQ OTLI^NOJ OT NULQ CIRKULQCIEJ I W SLU^AE rot~v = 0. pRIMEROM TAKOGO DWIVENIQ QWLQETSQ OBTEKANIE CI- LINDRA DWUMERNYM POTOKOM S CIRKULQCIEJ. |TO PRIMER RASSMATRIWAETSQ DALEE.

30

3.3.2uRAWNENIE gELXMGOLXCA. nEOBHODIMOE I DOSTA- TO^NOE USLOWIE WMOROVENNOSTI POLQ WIHRQ

pRIMENQQ OPERACI@ rot K LEWOJ I PRAWOJ ^ASTQM URAWNENIQ |JLERA NETRUDNO POLU^ITX URAWNENIE, OPISYWA@]EE DWIVENIE WIHRQ W IDEALX- NOJ SREDE. w SLU^AE, KOGDA OB_EMNYE SILY POTENCIALXNY, \TO URAWNENIE IMEET WID

@t~! + rot (~! ~v) = 0 :

dt ; !~(r~v) ; (!~r)~v = 0 :

tEPERX, ESLI PODELITX OBE ^ASTI POLU^ENNOGO SOOTNO[ENIQ NA PLOTNOSTX I WOSPOLXZOWATXSQ ZAKONOM SOHRANENIQ MASSY, MY PRIHODIM K URAWNENI@,

KOTOROE IZWESTNO KAK URAWNENIE gELXMGOLXCA

pOKAVEM, ^TO POLU^ENNOE RAWENSTWO QWLQETSQ NEOBHODIMYM I DOSTA-

TO^NYM USLOWIEM WMOROVENNOSTI WEKTORNOGO POLQ ! , ESLI OB_EM-

NYE SILY POTENCIALXNY.

wMOROVENNYM NAZYWAETSQ WEKTORNOE POLE, LINII (INTEGRALXNYE KRI- WYE) KOTOROGO W L@BOJ MOMENT WREMENI PROHODQT ^EREZ ODNI I TE VE ^ASTICY SREDY.

nEOBHODIMOSTX. pUSTX r(~ ) { LINIQ POLQ ~! . |TO ZNA^IT, ^TO

~r( + ) ; ~r( ) = !~( ) : dIFFERENCIRUQ \TO RAWENSTWO PO WREMENI, POLU^AEM

tEPERX, ^TOBY POKAZATX, ^TO POLU^ENNOE SOOTNO[ENIE S NEOBHODIMOSTX@ PRIWODIT K URAWNENI@ gELXMGOLXCA, NADO DOKAZATX, ^TO ( ) .

31

rASSMOTRIM \LEMENTARNU@ WIHREWU@ TRUBKU, ODNOJ IZ OBRAZU@]IH KOTOROJ QWLQETSQ RASSMATRIWAEMAQ INTEGRALXNAQ KRIWAQ. mASSA, SODER- VA]AQSQ W BESKONE^NO MALOM \LEMENTE TRUBKI, ZAKL@^ENNAQ MEVDU SE^E- NIQMI, PROHODQ]IMI ^EREZ TO^KI LINII POLQ ~r( + ) I ~r( ) RAWNA

m = ( )(!~ ( )d~ )

GDE d~) { ORIENTIROWANNYJ \LEMENT POWERHNOSTI, QWLQ@]EJSQ OSNOWA- NIEM RASSMATRIWAEMOGO \LEMENTA WIHREWOJ TRUBKI.

dIFFERENCIRUQ POSLEDNEE RAWENSTWO PO t , PRINIMAQ WO WNIMANIE ZAKON SOHRANENIQ MASSY @t m = 0 I TO, ^TO SOGLASNO TEOREME tOMSONA W SLU^AE, KOGDA OB_EMNYE SILY POTENCIALXNY,

dtd (~!d~) = 0

MY POLU^AEM, ^TO

dtd ( ( )) = 0

^TO I TREBOWALOSX DOKAZATX.

dOSTATO^NOSTX. pUSTX WEKTORNOE POLE ~! UDOWLETWORQET URAWNENI@

nADO DOKAZATX, ^TO PRI WYPOLNENII \TOGO USLOWIQ ^ASTICY SREDY, KOTORYE W MOMENT WREMENI t NAHODILISX NA LINII POLQ ~! OBRAZU@T INTEGRALXNU@ KRIWU@ I W MOMENT t + t . iLI ^TO WEKTOR WIHRQ WO WSE MOMENTY AREMENI QWLQETSQ KASATELXNYM K LINII, SOSTAWLENNOJ IZ ODNIH I TEH VE VIDKIH ^ASTIC.

pUSTX ~r = ~r( t) { INTEGRALXNAQ KRIWAQ POLQ ~! W MOMENT WREMENI t . bUDEM SLEDITX ZA DWIVENIEM SOSTAWLQ@]IH \TU LINI@ ^ASTIC SREDY, S^ITAQ WYPOLNENNYM URAWNENIE gELXMGOLXCA.

oBOZNA^IM ^EREZ ~r( ) = ~r( + ) ; ~r( ) . tOGDA

~r( t) = !~ ( ) :

rASSMATRIWAQ DWIVENIE SOSTAWLQ@]IH WYBRANNU@ KRIWU@ ^ASTIC, MY MOVEM NAPISATX, ^TO W SLEDU@]IJ MOMENT WREMENI

~

~r(t + t) = ~r(t) + ( ~rr)~v t :

32

pUSTX 0 PARAMETRIZUET LINI@ W MOMET WREMENI t + t , TOGDA

zDESX DLQ KRATKOSTI [TRIHOM OBOZNA^ENY WELI^INY, OTNOSQ]IESQ K MO- MENTU t + t .

mY WIDIM, ^TO, ESLI NOWAQ PARAMETRIZACIQ WYBRANA TAK, ^TOBY

zAME^ANIE. oTMETIM, ^TO PRI DOKAZATELXSTWE TEOREMY O NEOBHODIMOM I DOSTATO^NOM USLOWII WMOROVENNOSTI POLQ, MY NIGDE NE ISPOLXZOWA- LI TO, ^TO RASSMATRIWAEMOE WEKTORNOE POLE { \TO POLE WIHRQ SKOROSTI. sLEDOWATELXNO, ONO SPRAWEDLIWO DLQ L@BOGO WEKTORNOGO POLQ.

3.3.3tEOREMY gELXMGOLXCA

w ZTOM RAZDELE MY PRIWEDEM TRI UTWERVDENIQ, KOTORYE HARAKTERIZU- @T \WOL@CI@ WIHREWOGO POLQ W IDEALXNOJ VIDKOSTI I OSNOWYWA@TSQ NA DOKAZANNYH W PREDYDU]IH RAZDELAH UTWERVDENIQH.

pERWAQ TEOREMA gELXMGOLXCA. pOTOK WIHRQ PO WSEJ DLINE WIHREWOJ TRUBKI (INTENSIWNOSTX WIHRQ) ODINAKOW W DANNYJ MOMENT WREMENI. dOKAZATELXSTWO \TOGO UTWERVDENIQ ^ISTO KINEMATI^ESKOE I PRIWEDENO W POSLEDNEM RAZDELE PERWOJ GLAWY.

tEOREMA gELXMGOLXCA-fRIDMANA. eSLI WNE[NIE SILY POTENCIALX-

NY, TO VIDKAQ MASSA, SOSTAWLQ@]AQ WIHREWU@ TRUBKU W KAKOJ-TO MO- MENT WREMENI, SOHRANQETSQ W FORME WIHREWOJ TRUBKI I WO WSE POSLEDU- @]IE MOMENTY WREMENI.

33

|TO UTWERVDENIE PRQMOE SLEDSTWIE DOKAZANNOGO WY[E UTWERVDENIQ O NE- OBHODIMOSTI I DOSTATO^NOSTI URAWNENIQ gELXMGOLXCA DLQ WMOROVENNOS- TI WEKTORNOGO POLQ.

wTORAQ TEOREMA gELXMGOLXCA. pRI DEJSTWII NA VIDKOSTX LI[X PO- TENCIALXNYH SIL POTOK WIHREWOJ TRUBKI WO WSE WREMQ DWIVENIQ OSTA- ETSQ POSTOQNNYM.

|TO NEPOSREDSTWENNO SLEDUET IZ TEOREMY gELXMGOLXCA-fRIDMANA I TEO- REMY tOMSONA.

wTORAQ TEOREMA gELXMGOLXCA I TEOREMA gELXMGOLXCA-fRIDMANA SO-

STAWLQ@T PRINCIP SOHRANENIQ WIHRQ ILI USTOJ^IWOSTX WIHREWOJ TRUBKI.

eSLI W NA^ALXNYJ MOMENT WIHRI W VIDKOSTI OTSUTSTWU@T (TE^ENIE POTENCIALXNO), TO ONI I NE MOGUT WOZNIKNUTX W IDEALXNOJ VIDKOS- TI BEZ GRANIC. tAKIM OBRAZOM, DLQ WOZNIKNOWENIQ WIHREJ NUVNA WQZKAQ VIDKOSTX I/ILI NALI^IE GRANIC.

3.4lINEJNYE WOLNY W IDEALXNOJ VIDKOS- TI

iZMENENIQ SOSTOQNIQ SREDY, RASPROSTRANQ@]IESQ W NEJ I NESU]IE \NER- GI@, NAZYWA@TSQ WOLNAMI.

pUSTX VIDKOSTX MOVET RASSMATRIWATXSQ KAK IDEALXNAQ, OB_EMNYE SI-

LY OTSUTSTWU@T f~ = 0 I NAS INTERESU@T MALYE WOZMU]ENIQ NAD RAWNO- WESNYM SOSTOQNIEM. nAPOMNIM, ^TO

RAWNOWESNYM NAZYWAWAETSQ SOSTOQNIE SREDY, PRI KOTOROM HARAKTERI- ZU@]IE EE MAKROSKOPI^ESKIE PARAMETRY NE ZAWISQT OT WREMENI, A MAK- ROSKOPI^ESKIE POTOKI OTSUTSTWU@T.

pREDSTAWIM DAWLENIE p I PLOTNOSTX W WIDE p = p0 + p0 = 0 + 0

GDE p0 I 0 { ODINAKOWYE PO WSEMU OB_EMU RAWNOWESNYE ZNA^ENIQ DAWLENIQ I PLOTNOSTI, A p0 I 0 { MALYE OTKLONENIQ.

34

lINEARIZACIQ URAWNENIJ NEPRERYWNOSTI I |JLERA PO MALYM WELI^I- NAM ~v 0 p0 DAET

wYPISANNYE URAWNENIQ SODERVAT [ESTX NEIZWESTNYH FUNKCIJ: TRI KOM- PONENTY WEKTORA ~v, 0 I p0 . pO\TOMU WOSPOLXZUEMSQ IZO\NTROPIJNOSTX@ DWIVENIJ W IDEALXNOJ VIDKOSTI I ZAPO[EM

zAME^ANIE. |NTROPIQ { FUNKCIQ SOSTOQNIQ. pO\TOMU USLOWIE s = const W SO^ETANII S URAWNENIEM SOSTOQNIQ p = p(T ) POZWOLQET WYRAZITX p TOLXKO ^EREZ (BAROTROPNOSTX).

tAKIM OBRAZOM PERWOE IZ LINEARIZOWANNYH URAWNENIJ DAET

pRODIFFERINCIRUEM PO t POLU^ENNOE SOOTNO[ENIE I WOSPOLXZOWAW- [ISX WTORYM URAWNENIEM LINEARIZOWANNOJ SISTEMY, MY POLU^AEM

@2p0 ; c2p0 = 0 : @t2 0

pONQTNO, ^TO 0 WOZMU]ENIQ LOKALXNOJ TEMPERATURY T 0 UDOWLETWORQ@T TO^NO TAKOMU VE URAWNENI@.

dALEE, PRIMENQQ OPERACI@ WZQTIQ ROTORA K OBEIM ^ASTQM WTOROGO URAWNENIQ LINEARIZOWANNOJ SISTEMY, POLU^AEM

~

(r@t~v) = 0 :

oTKUDA SLEDUET POTENCIALXNOSTX SWQZANNOGO S LINEJNYMI WOZMU]ENIQ- MI POLQ SKOROSTEJ

~

~v(~x t) = r (~x t) :

35

tO VE URAWNENIE, BUDU^I ZAPISANNYM W TERMINAH POTENCIALA POLQ SKOROSTEJ, PRIOBRETAET WID

~ 0 ~

rp = ;r( 0@t') :

oTKUDA SLEDUET, ^TO

p0 = ; 0@t' :

sTROGO GOWORQ, W PRAWU@ ^ASTX POLU^ENNOGO SOOTNO[ENIQ MOVNO BYLO BY DOBAWITX PROIZWOLXNU@ FUNKCI@ WREMENI. oDNAKO TAKOE RE[ENIE NE IMEET OTNO[ENIQ K RASPROSTRANQ@]IMSQ I PERENOSQ]IM \NERGI@ WOZMU]ENIQM, I POTOMU NE RASSMATRIWAETSQ.

mY WIDIM, ^TO WSE HARAKTERIZU@]IE LINEJNU@ WOLNU WOZMU]ENIQ WYRAVA@TSQ ^EREZ PROIZWODNYE ODNOJ I TOJ VE SKALQRNOJ FUNKCII { POLENCIALA POLQ SKOROSTEJ. nETRUDNO POKAZATX, ^TO URAWNENIE, KOTOROMU POD^INQETSQ POLE POTENCIALA { \TO WSE TO VE WOLNOWOE URAWNENIE

@tt2 ' ; c20 ' = 0 :

sLEDOWATELXNO, \TOMU VE URAWNENI@ UDOWLETWORQET I POLE SKOROSTEJ

@tt2 ~v ; c20 ~v = 0 :

zAME^ANIE. rASSMATRIWAEMYE WOLNY { \TO WOLNY MALYH AMPLITUD,

KOTORYE SWQZANY SO SVIMAEMOSTX@ VIDKOSTI. dEJSTWITELXNO, ESLI (r~ ~v) = 0 TO SISTEMA URAWNENIJ DLQ LINEJNYH WOZMU]ENIJ DAET, ^TO I 0 I p0 TAK- VE RAWNY NUL@.

w SLU^AE PLOSKOJ WOLNY WSE HARAKTERIZU@]IE WOLNU WELI^INY PRI NADLEVA]EM WYBORE SISTEMY KOORDINAT BUDUT ZAWISETX TOLXKO OT ODNOJ PROSTRANSTWENNOJ KOORDINATY, I WSE WYPISANNYE WY[E URAWNENIQ BUDUT IMETX ODIN I TOT VE WID

hORO[O IZWESTNO, ^TO OB]EE RE[ENIE \TOGO URAWNENIQ IMEET WID

f = f1(x ; c0t) + f2(x + c0t)

36

GDE f1 I f2 { PROIZWOLXNYE NUVNOE ^ISLO RAZ DIFFERENCIRUEMYE FUNK- CII, OPISYWA@]IE DWE PLOSKIE BEGU]IE W PROTIWOPOLOVNYH NAPRAWLE-

NIQH WOLNY. pRI \TOM c0 { \TO SKOROTX POWERHNOSTI FRONTA WOLNY.

~ ~

dALEE, POSKOLXKU ~v v = r', A ' = '(x t) , TO EDINSTWENNOJ OTLI^NOJ OT NULQ KOMPONENTOJ SKOROSTI QWLQETSQ vx = @x' =) . tAKIM OBRAZOM,

ZWUKOWYE WOLNY { PRODOLXNYE WOLN.

nAJDEM SWQZX MEVDU v p0 I 0 W PLOSKOJ WOLNE. nE NARU[AQ OB]NOSTI, OGRANI^IMSQ RASSMOTRENIEM WOLNY, RASPROSTRANQ@]EJSQ W POLOVITELX- NOM NAPRAWLENII OSI x.

pOSKOLXKU

'(x t) = '(x ; c0t)

TO

oTKUDA MY POLU^AEM, ^TO

0

v = c0 0 c0 :

~TOBY OTWETITX NA WOPROS, PO^EMU STOLXKO WNIMANIQ UDELQETSQ PLOS- KIM WOLNAM, ISSLEDUEM PODROBNEE OB]EE RE[ENIE WOLNOWOGO URAWNENIQ

@tt2 ' ; c20 ' = 0 : rAZLOVIM '(~x t) W INTEGRAL fURXE

37

dALXNEJ[IE PREOBRAZOWANIQ DOSTATO^NO TRADICIONNY. pODSTANOWKA

FURXE-OBRAZA '(! ~k) W INTEGRAL fURXE POSLE ISPOLXZOWANIQ IZWESTNYH IZ TEORII OBOB]ENNYH FUNKCIJ SOOTNO[ENIJ

PRIWODIT K REZULXTATU

zAMETIM, ^TO STOQ]EE POD ZNAKOM INTEGRALA PO UGLAM WYRAVENIE

Re (:::) = f~(t ; ~n~r) c0

\TO PLOSKAQ WOLNA, KOTORAQ RASPROSTRANQETSQ W NAPRAWLENII WEKTORA ~n. tAKIM OBRAZOM,

L@BOE LINEJNOE WOZMU]ENIE IDEALXNOJ VIDKOSTI { \TO LINEJNAQ SUPERPOZICIQ PLOSKIH WOLN, KOTORYE RASPROSTRANQ@TSQ NEZAWISIMO DRUG OT DRUGA.

38