МСС / МСС / Лекции Граца

3.5sILXNYE WOZMU]ENIQ W IDEALXNOJ VID- KOSTI. uDARNYE WOLNY

pRI ISSLEDOWANII LINEJNYH WOZMU]ENIJ W IDEALXNOJ SVIMAEMOJ VID- KOSTI PREDPOLAGALOSX, ^TO WOZMU]ENIQ PLOTNOSTI, DAWLENIQ I T.D. MALY. wOZNIKAET WOPROS, ^TO BUDET, ESLI \TO PRIBLIVENIE NE WYPOLNQETSQ.

nA^NEM S KA^ESTWENNOGO RASSMOTRENIQ OTNOSITELXNO PROSTOGO PRIME-

RA.

pUSTX W NEKOTOROJ TO^KE MGNOWENNO PROIZO[LO WYDELENIE BOLX[OGO KOLI^ESTWA \NERGII (TO^E^NYJ WZRYW) E, I SLEDOWATELXNO PROIZO[EL REZ- KIJ SKA^EK TEMPERATURY I DAWLENIQ, KOTORYE, W PRINCIPE, MOGUT BYTX SKOLX UGODNO BOLX[IMI. pOKAVEM, PREVDE WSEGO, ^TO DOWLENIE PRI \TOM MENQETSQ MALO. dEJSTWITELXNO, MY ZNAEM, ^TO TEPLOWAQ SKOROSTX MOLE- KUL PORQDKA T1=2. pO\TOMU DAWLENIE PROPORCIONALXNO T . w PROSTEJ[EM SLU^AE IDEALXNOGO GAZA p T . pO\TOMU PLOTNOSTX DOLVNO OSTAWATXSQ KONE^NYM DAVE PRI O^ENX BOLX[IH SKA^KAH TEMPERATURY.

zA WREMQ t, PRO[ED[EE POSLE WZRYWA, WYZWANNOE WZRYWOM WOZMU]ENIE SOSTOQNIQ SREDY ZAJMET SFERU RADIUSA R(t). sOOBRAVENIQ RAZMERNOSTI POZWOLQ@T NAPISATX, ^TO

E R3(t)R2(t) :

oTKUDA, U^ITYWAQ POSTOQNSWO E I S^ITAQ PLOTNOSTX POSTOQNNOJ, MY PROLU^AEM, ^TO RADIUS SFERY, EE SKOROSTX POWERHNOSTI I DAWWLENIE WEDUT SEBQ KAK

tAKIM OBRAZOM, MOVNO OVIDATX, ^TO PRI OPREDELENNYH USLOWIQH W IDE- ALXNOM GAZE MOGUT WOZNIKATX BYSTRO PEREME]A@]IESQ POWEHNOSTI, NA KOTORYH PROISHODIT REZKIJ SKA^EK DAWLENIQ I TEMPERATURY. |KSPERI- MENT GOWORIT, ^TO \TO DEJSTWITELXNO TAK.

pREDPOLOVIM DLQ PROSTOTY, ^TO OBLASTX, W KOTOROJ PROISHODIT SKA- ^EK { FRONT WOLNY { \TO BESKONE^NO TONKAQ POWERHNOSTX, KOTORAQ MOVET BYTX APPROKSIMIROWANA PLOSKOSTX@, I OTNOSITELXNO KOTOROJ MOVNO S^I- TATX, ^TO ONA PEREME]AETSQ S POSTOQNNOJ SKOROSTX@. pOSLEDNEE OZNA^AET, ^TO SWQZANNAQ S POWERHNOSTX@ SISTEMA OTS^ETA QWLQETSQ INERCIALXNOJ. w \TOJ SISTEME OTS^ETA MY PRIHODIM K ZADA^E O STACIONARNOM POTOKE, PERESEKA@]EM PLOSKU@ POWERHNOSTX RAZRYWA.

39

w \TOJ SISTEME OTS^ETA ZAKONY SOHRANENIQ MASSY, IMPULXSA I \NERGII DA@T SOOTWETSTWENNO

zDESX MY WOSPOLXZOWALISX TEM, ^TO STACIONARNOSTX POTOKA OZNA^AET OB- RA]ENIE W NOLX WSEH ^ASTNYH PROIZWODNYH PO WREMENI.

wYBEREM W KA^ESTWE POWERHNOSTI @V POWERHNOSTX CILIDRA, OSNOWANIQ KOTOROGO PARALLELXNY POWERHNOSTI RAZRYWA I LEVAT PO OBE STORONY OT NEE. w \TOM SLU^AE, ISPOLXZUQ WYPISANNYE WY[E INTEGRALXNYE SOOTNO- [ENIQ I USTREMLQQ WYSOTU CILINDRA K NUL@, MY POLU^AEM

GDE INDEKSY "1" I "2" OTNOSQTSQ K NABEGA@]EMU (NEWOZMU]ENNOMU) PO- TOKU I POTOKU ZA FRONTOM WOLNY, SOOTWETSTWENNO, A vn I ~v { NORMALXNYE I KASATELXNYE PO OTNO[ENI@ K FRONTU SOSTAWLQ@]IE SKOROSTI.

wOZMOVNY DWE SITUACII.

pERWAQ, TANGENCIALXNYJ RAZRYW. w \TOM SLU^AE

vn1 = vn2 = 0 ) p2 = p1 A I ~v PROIZWOLXNY :

w \TOM SLU^AE NET PERENOSA WE]ESTWA ^EREZ POWERHNOSTX RAZRYWA. |TOT SLU^AJ MY NE BUDEM RASSMATRIWATX.

i WTORAQ, UDARNAQ WOLNA. w \TOM SLU^AE NORMALXNYE SOSTOWLQ@]IE SKOROSTI NE RAWNY NUL@ I MY POLU^AEM

~v 2 = ~v 1 A I p MENQ@TSQ SKA^KOM :

40

|TI IZMENENIQ POD^INENY USLOWIQM (NEPRERYWNOSTX TANGENCIALXNOJ SO- STAWLQ@]EJ SKOROSTI POZWOLQET S^ITATX, ^TO ONA RAWNA NUL@)

oBOZNA^IM ^EREZ j POTOK WE]ESTWA ^EREZ POWERHNOSTX j = ava. wTOROE IZ URAWNENIJ NEPRERYWNOSTI DAET

ILI

j2 = p12 ; p11 > 0 :

1 ; 2

oTKUDA SLEDUET, ^TO UWELI^ENIE DAWLENIQ ZA FRONTOM ODNOWREMENNO SO- PROWOVDAETSQ UWELI^ENIEM PLOTNOSTI.

iSKL@^AQ KWADRATY SKOROSTI IZ POSLEDNEGO IZ SOOTNO[ENIJ NEPRE- RYWNOSTI, MY POLU^AEM

|TO SOOTNO[ENIE IZWESTNO KAK ADIABATA g@GANIO.

dALXNEJ[EE ISSLEDOWANIE WOZMOVNOTOLXKO PRI KONKRETIZACII IDE- ALXNOJ SREDY, T.E. PRI USLOWII ZADANIQ TERMI^ESKOGO I KALORI^ESKOGO URAWNENIJ SOSOTOQNIQ.

41

GDE V = 1= { UDELXNYJ OB_EM. zDESX p1 I V1 SOOTWETSTWU@T SOSTOQNI@ SREDY PERED FRONTOM (NEWOZMU]ENNYJ POTOK). tOGDA p I V HARAKTERI- ZU@T SOSTOQNIE W L@BOJ TO^KE POTOKA (MY SNQLI INDEKS "2").

oB_EDINIW POLU^ENNOE URAWNENIE S PERWYM NA^ALOM TERMODINAMIKI

T ds = cvdT + pdV

I ISPOLXZUQ URAWNENIE SOSTOQNIQ IDEALXNOGO GAZA, IZ KOTOROGO SLEDUET, ^TO

(cp ; cv)dT = d(pV )

NETRUDNO POLU^ITX SOOTNO[ENIE

wTOROE NA^ALO TERMODINAMIKI GOWORIT, ^TO DLQ NEOBRATIMYH PROCESSOW ds > 0, OTKUDA SLEDUET, ^TO PRI PEREHODE ^EREZ FRONT WOLNY DAWLENIE I, SLEDOWATELXNO, PLOTNOSTX UWELI^IWA@TSQ.

wERNEMSQ K ADIABATE g@GANIO. pERED FRONTOM WOLNY SOSTOQNIE SREDY NE WOZMU]ENO I RABOTAET ADIABATA pUASSONO

pV = p1V1 :

nETRUDNO PROWERITX, ^TO TO^KA (p1 V1) PRINADLEVIT OBEIM ADIABATAM, I BOLEE TOGO W \TOJ TO^KE

- DIAGRAMME. sDRUGOJ STORONY

! (p1V1) = c20 ; ;KWADRAT SKOROSTI ZWUKA :

ap, , - s DRUGOJ STORONY KAK BYLO POKAZANO WY[E SKOROSTX FRONTA OTNOSI

TELXNO LABORATORNOJ SISTEMY OTS^ETA

v2 = j2V12 = V12 p2 ; p1 :

V1 ; V2

42

pRI p2 > p1 STOQ]EE W PRAWOJ ^ASTI OTNO[ENIE BOLX[E, ^EM tan 1 . oTKUDA SLEDUET, ^TO v > c0.

tAKIM OBRAZOM

W IDEALXNOJ SREDE NEPODWIVNYE SKA^KI MOGUT SU]ESTWOWATX TOLXKO W SWERHZWUKOWYH POTOKAH

ILI

UDARNYE WOLNY RASPROSTRANQ@TSQ OTNOSITELXNO NEWOZMU]ENNOJ SREDY SO SWERHZWUKOWYMI SKOROSTQMI.

43

gLAWA 4

wQZKAQ VIDKOSTX

kAK \TO BYLO POKAZANO W PREDYDU]EJ GLAWE, URAWNENIQ DWIVENIQ IDEALX- NOJ VIDKOSTI INWARIANTNY OTNOSITELXNO OPERACII OBRA]ENIQ WREMENI, I PO\TOMU OPISYWA@T TOLXKO OBRATIMYE PROCESSY. zDESX MY OSTANOWIM- SQ NA NEKOTORYH OSOBENNOSTQH DWIVENIQ VIDKOSTI W SITUACIQH, KOGDA WQZKOSTX@ PRENEBRE^X NE PREDSTAWLQETSQ WOZMOVNYM.

4.1pRIBLIVENIE nAWXE - sTOKSA

pOLU^ENNOE W P.2.1 PRIBLIVENNOE WYRAVENIE DLQ TENZORA NAPRQVENIJ WQZKOJ VIDKOSTI POZWOLQET ZAPISATX URAWNENIE IZMENENIQ IMPULXSA W EDINICE OB_EMA W SLEDU@]EM WIDE

|TO NAIBOLEE OB]EE URAWNENIE DWIVENIQ IZOTROPNOJ LINEJNOJ WQZKOJ VIDKOSTI. pRI \TOM W OB]EM SLU^AE KO\FFICIENTY WQZKOSTI QW- LQ@TSQ FUNKCIQMI LOKALXNOGO TERMODINAMI^ESKOGO SOSTOQNIQ SISTEMY (FUNKCIQMI I T ) I NE ZAWISQT QWNYM OBRAZOM OT KOORDINAT, WREMENI I LOKALXNOJ SKOROSTI.

pREDPOLOVIM, ^TO IZMENENIQMI KO\FFICIENTOW WQZKOSTI VIDKOSTII WDOLX VIDKOSTI I S TE^ENIEM WREMENI MOVNO PRENEBRE^X. pO- LU^A@]EESQ W \TOM SLU^AE URAWNENIE IZWESTNO KAK URAWNENIE nAWXE-

44

sTOKSA

e]E RAZ OBRATIM WNIMANIE NA TO, ^TO WWEDENIE WQZKOSTI NARU[AET INWA- RIANTNOSTX ZAKONA IZMENENIQ IMPULXSA OTNOSITELXNO OPERACII ZAMENY

t ! ;t . - pOLNAQ SISTEMA URAWNENIJ LINEJNOJ WQZKOJ VIDKOSTI SOSTOIT IZ URAW

NENIQ nAWXE-sTOKSA, URAWNENIQ NEPRERYWNOSTI, ZAKONOW IZMENENIQ WNUT- RENNEJ \NERGII I \NTROPII, K KOTORYM SLEDUET DOBAWITX TERMI^ESKOE I KALORI^ESKOE URAWNENIQ SOSTOQNIQ I GRANI^NYE USLOWIQ.

w KA^ESTWE GRANI^NYH USLOWIJ K URAWNENIQM DWIVENIQ WQZKOJ VID- KOSTI WYSTUPAET TAK NAZYWAEMOE USLOWIE PRILIPANIQ. oNO ZAKL@^AETSQ W TOM, ^TO NA POWERHNOSTI SOPRIKOSNOWENIQ VIDKOSTI I TWERDOGO TELA ~v = ~v. |TO USLOWIE FIZI^ESKI WPOLNE OPRAWDANO, POSKOLXKU WWEDENIE WQZ- KOSTI S MIKROSKOPI^ESKOJ TO^KI ZRENIQ SOOTWETSTWUET U^ETU MEVMOLE- KULQRNOGO WZAIMODEJSTWIQ, KOTOROE NEPOSREDSTWENNO NA GRANICE DOLVNO PRIWODITX K WYRAWNIWANI@ SKOROSTEJ.

zAMETIM, ^TO GRANI^NYE USLOWIQ DLQ IDEALXNOJ VIDKOSTI NE MOGUT BYTX POLU^ENY IZ GRANI^NYH USLOWIJ DLQ WQZKOJ PRI USTREMLENII WQZ- KOSTI K NUL@. |TO PRINCIPIALXNO MENQET HARAKTER DWIVENIQ WQZKOJ VIDKOSTI I,PREVDE WSEGO, WBLIZI GRANIC.

4.2nESVIMAEMAQ WQZKAQ VIDKOSTX

oTDELXNO RASSMOTRIM PRAKTI^ESKI INTERESNYJ SLU^AJ NESVIMAEMOJ WQZ-

KOJ VIDKOSTI, T.E. VIDKOSTI, DLQ KOTOROJ (r~ ~v) = 0 .

4.2.1uRAWNENIQ DWIVENIQ NESVIMAEMOJ WQZKOJ VID- KOSTI

w RASSMATRIWAEMOM PRIBLIVENII

Pik0 = (@ivk + @kvi)

45

I URAWNENIE nAWXE-sTOKSA PRINIMAET WID

~ ~ 1 ~

@t~v + (~vr)~v = f ; rp + ~v :

wELI^INA = = NOSIT NAZWANIE KINEMATI^ESKOJ WQZKOSTI. pOKAVEM, ^TO W RASSMATRIWAEMOM PRIBLIVENII POLE PLOTNOSTI POL-

NOSTX@ OPREDELQETSQ POLEM SKOROSTEJ. dEJSTWITELXNO, WZQW DIWERGENCI@ OT OBEIH ^ASTEJ URAWNENIQ nAWXE-sTOKSA, POSLE NESLOVNYH PREOBRAZOWA- NIJ MY POLU^IM

p = ; (@ivk)(@kvi) :

~TO KASAETSQ POLQ SKOROSTI, TO ONO, KAK L@BOE GLADKOE WEKTORNOE POLE, POLNOSTX@ OPREDELQETSQ SWOIMI DIWERGENCIEJ I ROTOROM. dIWERGENCIQ ~v RAWNA NUL@ { \TO USLOWIE NESVIMAEMOSTI. uRAWNENIE DLQ ROTORA PO- LU^ITSQ, ESLI PRIMENITX SOOTWETSTWU@]U@ OPERACI@ K OBEIM ^ASTQM URAWNEIQ nAWXE-sTOKSA. rEZULXTAT MOVET BYTX PRIWEDEN K WIDU

~ ~ ~ ~

@t(r ~v) = (r (~v(r ~v)) + (r ~v) :

wY^ISLIM SILU, DEJSTWU@]U@ SO STORONY WQZKOJ VIDKOSTI NA EDINI- CU PLO]ADI POKO@]EJSQ TWERDOJ POWERHNOSTI. oNA DAETSQ WYRAVENIEM

Pi = iknk = ( vivk ; Pik)nk = (pni ; Pik0 nk)

GDE PERWYJ ^LEN { DAWLENIE, A WTOROJ { SILA WQZKOGO TRENIQ, A ~n { EDI- NI^NYJ WEKTOR WNE[NEJ NORMALI.

4.2.2dISSIPACIQ MEHANI^ESKOJ \NERGII W NESVIMA- EMOJ VIDKOSTI

oTDELXNO RASSMOTRIM WOPROS O DISSIPACII MEHANI^ESKOJ \NERGII W NE- SVIMAEMOJ WQZKOJ VIDKOSTI.

wY^ISLIM

46

@V

GDE W POSLEDNEM SLAGAEMOM PERWYE DWA ^LENA { MO]NOSTX WNE[NIH SIL DAWLENIQ I WQZKOGO TRENIQ, A POSLEDNIJ - POTOK MEHANI^ESKOJ \NERGII ^EREZ POWERHNOSTX, OGRANI^IWA@]U@ OB_EM.

pUSTX GRANICA @V NEPODWIVNA. w \TOM SLU^AE USLOWIQ PRILIPANIQ

pOSKOLXKU E 0, TO E]E RAZ UBEVDAEMSQ, ^TO 0.

4.2.3zAKON PODOBIQ

w PRIBLIVENII nAWXE-sTOKSA STACIONARNYJ POTOK NESVIMAEMOJ VID-

KOSTI OPISYWAETSQ URAWNENIEM

(~vr)~v = ; rp + r~v :

zAPI[EM \TO URAWNENIE W BEZRAZMERNYH PEREMENNYH. pUSTX L I U IME- @]IESQ W ZADA^E HARAKTERNYE PARAMETRY S RAZMERNOSTX DLINY I SKOROS- TI. pEREHOD K BEZRAZMERNYM PEREMENNYM OZNA^AET ZAMENU

GDE

R = LU ; ^ISLO rEJNOLXDSA dADIM DWA OPREDELENIQ.

tELA NAZYWA@TSQ GEOMETRI^ESKI PODOBNYMI, ESLI ONI MOGUT BYTX PO- LU^ENY DRUG IZ DRUGA IZMENENIEM WSEH LINEJNYH RAZMEROW W ODINAKOWOE ^ISLO RAZ.

I

dWA POTOKA NAZYWA@TSQ PODOBNYMI, ESLI MOGUT BYTX POLU^ENY ODIN IZ DRUGOGO PROSTYM IZMENENIEM MAS[TABA DLIN I SKOROSTEJ.

tEPERX MY W SOSTOQNII SFORMULIROWATX TEOREMU.

zAKON PODOBIQ rEJNOLXDSA. dWA STACIONARNYH POTOKA NESVIMAE- MOJ WQZKOJ VIDKOSTI, OBTEKA@]IH GEOMETRI^ESKI PODOBNYE TELA W OTSUTSTWII WNE[NIH SIL, QWLQ@TSQ PODOBNYMI, ESLI ONI HARAKTERI- ZU@TSQ ODNIM I TEM VE ^ISLOM rEJNOLXDSA.

4.2.4dWIVENIE WIHREJ W WQZKOJ VIDKOSTI

w P.3.3 BYLO POKAZANO, ^TO NEOBHODIMYM I DOSTATO^NYM USLOWIEM WMO- ROVENNOSTI POLQ WIHRQ, KAK I WOOB]E L@BOGO WEKTORNOGO POLQ, QWLQETSQ WYPOLNENIE URAWNENIQ gELXMGOLXCA

wMESTE S TEM POLU^ENNOE W P.4.2 OBOB]ENIE URAWNENIQ gELXMGOLXCA NA SLU^AJ NESVIMAEMOJ WQZKOJ VIDKOSTI IMEET WID

d

dt (~!) = ~!r ~v + ~! :

~

oDNOWREMENNO PERESTAET WYPOLNQTXSQ I TEOREMA tOMSONA O CIRKULQCII.

tAKIM OBRAZOM, WNOSIMAQ WQZKOSTX@ NEOBRATIMOSTX WO WREMENI PRIWEDET, W ^ASTNOSTI, K TOMU, ^TO BEZWIHREWOE WNA^ALE DWIVENIE S TE- ^ENIEM WREMENI PERESTANET BYTX TAKOWYM.

48