МСС / МСС / Лекции Граца

pREDISLOWIE

w NASTOQ]EE WREMQ IMEETSQ BOLX[OE KOLI^ESTWO U^EBNIKOW I U^EBNYH PO- SOBIJ, DOSTATO^NO POLNO IZLAGA@]IH KRUG WOPROSOW, OB_EDINENNYH POD OB]IM NAZWANIEM "mEHANIKA SPLO[NYH SRED". sREDI NIH KNIGI w.w. pETKEWI^A I i.i. oLXHOWSKOGO, W OSNOWE KOTORYH LEVAT LEKCII, PRO^I- TANNYE IMI NA FIZI^ESKOM FAKULXTETE mgu, I PO KOTORYM U^ILOSX NI ODNO POKOLENIE FIZIKOW.

nASTOQ]EE POSOBIE QWLQETSQ KONSPEKTOM LEKCIJ, KOTORYE ^ITALISX STUDENTAM FIZI^ESKOGO FAKULXTETA mgu W RAMKAH KURSA "mEHANIKA SPLO[- NYH SRED". nA[EJ CELX@ BYLO IZLOVITX MATERIAL, SOOTWETSTWU@]IJ PRINQTOJ PROGRAMME PO OSNOWAM MEHANIKI SPLO[NYH SRED, W KOMPAKTNOJ FORME, UDOBNOJ DLQ RABOTY STUDENTOW W USLOWIQH WYSOKOJ INTENSIWNOSTI U^EBNOGO PROCESSA. pOSLEDNIE GODY AWTORY ^ITALI LEKCII I WELI SEMI- NARSKIE ZANQTIQ NA ASTRONOMI^ESKOM OTDELENII. w OPREDELENNOJ STEPENI ZTO TAKVE OPREDELILO OTBOR MATERIALA I HARAKTER EGO IZLOVENIQ. sU- ]ESTWENNU@ ROLX PRI NAPISANII DANNOGO POSOBIQ SYGRAL OPYT KOLLEG, SOTRUDNIKOW KAFEDRY TEORETI^ESKOJ FIZIKI. oSOBENNO HOTELOSX BY OT- METITX PROFESSOROW w.~. vUKOWSKOGO, w.r. hALILOWA I l.s. kUZXMENKO- WA, S KOTORYMI AWTORAM DOWELOSX SOTRUDNI^ATX. aWTORY WYRAVA@T IM GLUBOKU@ PRIZNATELXNOSTX. oSOBENNO HO^ETSQ OTMETITX WKLAD ASPIRAN- TA FIZI^ESKOGO FAKULXTETA sERGEQ pAWL@^ENKO PODGOTOWIW[EGO PERWYJ \LEKTRONNYJ WARIANT \TIH LEKCIJ, I BEZ POMO]I KOTOROGO \TOT KONSPEKT WRQDLI SMOG BY POQWITXSQ NA SWET.

1

sODERVANIE

1.1kONCEPCIQ SPLO[NOJ SREDY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1fENOMENOLOGIQ SPLO[NOJ SREDY. tENZOR LOKALXNYH NAPRQ-

2.4zAKON IZMENENIQ KINETI^ESKOJ \NERGII . . . . . . . . . . . . 19

2.5|LEMENTY TERMODINAMIKI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.6sISTEMA URAWNENIJ DWIVENIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1uRAWNENIQ DWIVENIQ IDEALXNOJ VIDKOSTI . . . . . . . . . . 23

3.2iNTEGRALY URAWNENIJ DWIVENIQ IDEALXNOJ VIDKOSTI . . . 26

3.2.1iNTEGRAL bERNULLI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.2iNTEGRAL kO[I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.3tEOREMA OB IZMENENII \NERGII . . . . . . . . . . . . . 27

3.3wIHRI W IDEALXNOJ VIDKOSTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.1tEOREMA tOMSONA O CIRKULQCII . . . . . . . . . . . . 29

3.3.2uRAWNENIE gELXMGOLXCA. nEOBHODIMOE I DOSTATO^-

NOE USLOWIE WMOROVENNOSTI POLQ WIHRQ . . . . . . . . 31

3.3.3tEOREMY gELXMGOLXCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2

3.4 lINEJNYE WOLNY W IDEALXNOJ VIDKOSTI . . . . . . . . . . . 34

3.5sILXNYE WOZMU]ENIQ W IDEALXNOJ VIDKOSTI. uDARNYE WOLNY 39

4.1pRIBLIVENIE nAWXE - sTOKSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.2nESVIMAEMAQ WQZKAQ VIDKOSTX . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2.1 uRAWNENIQ DWIVENIQ NESVIMAEMOJ WQZKOJ VIDKOSTI 45

4.2.2dISSIPACIQ MEHANI^ESKOJ \NERGII W NESVIMAEMOJ VIDKOSTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2.3zAKON PODOBIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2.4dWIVENIE WIHREJ W WQZKOJ VIDKOSTI . . . . . . . . . 48

4.3zAKON IZMENENIQ \NERGII WQZKOJ VIDKOSTI . . . . . . . . . . 49

4.4zATUHANIE ZWUKA W WQZKOJ VIDKOSTI . . . . . . . . . . . . . . 51

5.1uRAWNENIQ DWIVENIQ PROWODQ]EJ VIDKOSTI W MAGNITNOM

5.3zAKON IZMENENIQ \NERGII ZAMAGNI^ENNOJ VIDKOSTI . . . . . 58

5.4 wMOROVENNOSTX SILOWYH LINIJ MAGNITNOGO POLQ . . . . . . 59

5.5mAGNITOGIDRODINAMI^ESKIE WOLNY . . . . . . . . . . . . . . 60

6.1|FFEKTIWNAQ METRIKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.2gIDRODINAMI^ESKAQ MODELX ^ERNOJ DYRY . . . . . . . . . . . 68

3

gLAWA 1

kINEMATIKA SPLO[NOJ SREDY

1.1kONCEPCIQ SPLO[NOJ SREDY

kONCEPCIQ SPLO[NOJ SREDY SOSTOIT W DOPU]ENII, ^TO MEHANI^ESKIE, TERMODINAMI^ESKIE, \LEKTRODINAMI^ESKIE HARAKTERISTIKI RASSMATRI- WAEMYH TEL MOGUT BYTX OPISANY FIZI^ESKIMI POLQMI, TAKIMI KAK POLQ PLOTNOSTI, SKOROSTI, DAWLENIQ, \LEKTROMAGNITNYE POLQ I T.D.

mY GOWORIM, ^TO NA PROSTRANSTWE-WREMENI ZADANY SKALQRNOE, WEKTOR- NOE ILI TENZORNOE POLE, ESLI W KAVDOJ TO^KE PROSTRANSTWA W KAVDYJ MOMENT WREMENI ZADAN SKALQR, WEKTOR ILI TENZOR.

wAVNO OTDAWATX SEBE OT^ET W TOM, ^TO TAKOE OPISANIE FIZI^ESKIH WELI- ^IN SWQZANO S PROCEDUROJ USREDNENIQ, KOTORU@ NEOBHODIMO POQSNITX.

pREDSTAWLENIE O FIZI^ESKOJ WELI^INE, KAK O FUNKCII, WOZNIKLO, KAK ABSTRAKCIQ, SWQZANNAQ SO WPOLNE OPREDELENNYM PREDPOLOVENIEM, KOTO- ROE I SOSTAWLQET SUTX KONCEPCII SPLO[NOJ SREDY. dEJSTWITELXNO, L@- BAQ HARAKTERIZU@]AQ SREDU WELI^INA, NAPRIMER PLOTNOSTX, IZMERQETSQ PRIBOROM W OTNOSITELXNO BOLX[OM OB_EME, SODERVA]EM ZADANNU@ TO^KU ~x I W TE^ENIE KONE^NOGO WREMENNOGO INTERWALA, SODERVA]EGO ZADANNYJ MOMENT WREMENI t . zATEM S POMO]X@ PRIBORA S BOLX[EJ RAZRE[A@]EJ SPOSOBNOSTX@ { W MENX[EJ OBLASTI PROSTRANSTWA, WLOVENNOJ W PERWU@ I SODERVA]EJ TU VE TO^KU, I W TE^ENIE MENX[EGO WREMENNOGO INTERWA- LA, SODERVA]EGO INTERESU@]IJ NAS MOMENT WREMENI, I T.D. w REZULXTATE POLU^AETSQ KONE^NAQ POSLEDOWATELXNOSTX ^ISEL { ZNA^ENIJ FIZI^ESKOJ

4

WELI^INY W POSLEDOWATELXNOSTI WLOVENNYH DRUG W DRUGA OBLASTEJ PRO- STRANSTWA I WLOVENNYH DRUG W DRUGA INTERWALOW WREMENI.

iDEALIZIRUEM RASSMATRIWAEMU@ SREDU PREDPOLOVIW, ^TO UKAZANNOE POSTROENIE ^ISLOWOJ POSLEDOWATELXNOSTI MOVET BYTX PRODOLVENO DO BES- KONE^NOSTI, I ^TO PREDEL POSLEDOWATELXNOSTI SU]ESTWUET I NE ZAWISIT OT WYBORA SISTEMY WLOVENNYH DRUG W DRUGA I STQGIWA@]IHSQ K TO^KE ~x OBLASTEJ I WLOVENNYH DRUG W DRUGA I STQGIWA@]IHSQ K MOMENTU WRE- MENI t INTERWALOW WREMENI. tOGDA PREDEL POSLEDOWATELXNOSTI I BUDET NAZYWATXSQ ZNA^ENIEM FIZI^ESKOJ WELI^INY W TO^KE ~x W MOMENT t , A SAMA IDEALIZIROWANNAQ TAKIM OBRAZOM SREDA { SPLO[NOJ SREDOJ. s MATE- MATI^ESKOJ TO^KI ZRENIQ \TO OZNA^AET, ^TO PRI DOSTATO^NO MALOM OB_EME V L@BOJ INTEGRAL PO OB_EMU OT PLOTNOSTI g KAKOJ-LIBO FIZI^ESKOJ WE- LI^INY RAWEN

Z d3xg V g :

V

nETRUDNO PONQTX, ^TO POSTROENNAQ, PO SUTI DELA MATEMATI^ESKAQ, MO- DELX W DEJSTWITELXNOSTI W PRIRODE NE REALIZUETSQ. w ^ASTNOSTI, PRI STQGIWANII W TO^KU OBLASTI, W KOTOROJ PROIZWODITSQ IZMERENIE PLOT- NOSTI, HAOTI^NOE DWIVENIE MOLEKUL WE]ESTWA PRIWEDET K TOMU, ^TO PRO- PORCIONALXNOSTX MASSY I OB_EMA NA^NET NARU[ATXSQ I TEM W BOLX[EJ STEPENI, ^EM BLIVE BUDUT LINEJNYE RAZMERY OBLASTI I TIPI^NOE MEVMO- LEKULQRNOE RASSTOQNIE. tAKIM OBRAZOM, RE^X IDET O DOSTATO^NO GRUBYH IZMERENIQH, PRI KOTORYH USREDNENIE WEDETSQ PO OTNOSITELXNO MALYM, NO SODERVA]IM O^ENX BOLX[OE ^ISLO MOLEKUL OB_EMAM (\LEMENTARNYJ ILI FIZI^ESKI BESKONE^NO MALYJ OB_EM) I PO OTNOSITELXNO MALOMU, NO ZNA- ^ITELXNO PREWOSHODQ]EMU TIPI^NOE WREMQ PERERASPREDELENIQ MOLEKUL WREMENI (\LEMENTARNOE ILI FIZI^ESKI BESKONE^NO MALOE WREMQ). tAKIM OBRAZOM, NA[I INTUITIWNYE PREDSTAWLENIQ O PLOTNOSTI, KAK MASSE OTNE- SENNOJ K EDINICE OB_EMA, W OPREDELENNOM SMYSLE BLIVE K SU]ESTWU DELA, ^EM PONQTIE O PLOTNOSTI, KAK O FUNKCII TO^KI I MOMENTA WREMENI. pO- NQTNO, ^TO SKAZANNOE OTNOSITSQ I KO WSEM OSTALXNYM HARAKTERIZU@]IM SPLO[NU@ SREDU FIZI^ESKIM WELI^INAM.

iZ SKAZANNOGO WY[E QSNO, ^TO PRIBLIVENIE SPLO[NOJ SREDY MOVET RABOTATX TOLXKO W SLU^AE, KOGDA ^ISLO MOLEKUL DOSTATO^NO WELIKO. nO WSE VE DLQ L@BOJ REALXNOJ SISTEMY ONO KONE^NO. mY WIDIM, ^TO

5

USREDNENIE PO \LEMENTARNOMU OB_EMU I \LEMENTARNOMU WREMENI PRIWO- DIT K TOMU, ^TO DWIVENIE DISKRETNOJ, NO SOSTOQ]EJ IZ O^ENX BOLX- [OGO ^ISLA ^ASTIC, SISTEMY OPISYWAETSQ POLEWYMI PEREMENNYMI.

dRUGIMI SLOWAMI W REZULXTATE OPISANNOGO WY[E KONTINUALXNOGO PRE- DELA SISTEMA S O^ENX BOLX[IM NO KONE^NYM ^ISLOM STEPENEJ SWOBODY NA^INAET OPISYWATXSQ METODAMI TEORII POLQ, KOTORAQ RABOTAET S SISTE- MAMI S BESKONE^NYM ^ISLOM STEPENEJ SWOBODY. kAK MY \TO UWIDIM NIVE, \TO PRIWODIT K TOMU, ^TO WMESTO OGROMNOGO ^ISLA OBYKNOWENNYH DIFFE- RENCIALXNYH URAWNENIJ SISTEMA NA^INAET OPISYWATXSQ NEBOLX[IM ^IS- LOM URAWNENIJ W ^ASTNYH PROIZWODNYH.

wOPROS O TOM, W KAKOJ STEPENI PRIBLIVENIE SPLO[NOJ SREDY MOVET BYTX ISPOLXZOWANO DLQ ISSLEDOWANIQ DINAMIKI TOJ ILI INOJ FIZI^ESKOJ SISTEMY WYHODIT ZA RAMKI KLASSI^ESKOJ MEHANIKI, \TO DELO STATISTI^ES- KOJ FIZIKI. oDNAKO PONQTNO, ^TO DLQ \TOGO NEOBHODIMO, ^TOBY WREMENNYE I PROSTRANSTWENNYE MAS[TABY PROISHODQ]IH W SISTEME PROCESSOW BYLI SU]ESTWENNO BOLX[E FIZI^ESKI BESKONE^NO MALOGO WREMENI I LINEJNYH RAZMEROW FIZI^ESKI BESKONE^NO MALYH OB_EMOW.

sRAZU ZAMETIM, ^TO LINEJNYE RAZMERY TOGO, ^TO MY NAZYWAEM \LEMEN- TARNYMI OB_EMAMI, W RAZLI^NYH SITUACIQH MOGUT OTLI^ATXSQ NA MNOGO PORQDKOW. w ^ASTNOSTI, GIDRODINAMI^ESKOE PRIBLIVENIE ISPOLXZUETSQ KAK W FIZIKE ATOMNOGO QDRA, HARAKTERNYJ MAS[TAB PORQDKA SM., TAK I PRI ISSLEDOWANII \WOL@CII wSELENNOJ W CELOM, PRI \TOM RAZMER \LEMENTARNOJ Q^EJKI SOSTAWLQET BOLEE STA MILLIONOW SWETOWYH LET.

nESKOLXKO SLOW O SPOSOBE, KOTORYM POLEWYE PEREMENNYE SOOTNOSQTSQ S TO^KAMI PROSTRANSTWA. tRADICIONNO ISPOLXZU@TSQ DWA SPOSOBA. pERWYJ SOOTWETSTWUET TOMU, ^TO FIKSIROWANNYMI S^ITA@TSQ KOORDINATY TO^EK PROSTRANSTWA. pRI \TOM MOVET ISPOLXZOWATXSQ NE TOLXKO DEKARTOWA, NO I L@BAQ KRIWOLINEJNAQ SISTEMA KOORDINAT. |TOT PODHOD NAZYWAETSQ POD- HODOM |JLERA, IMENNO ON TIPI^EN DLQ TEORII POLQ. pRI DRUGOM, KAVDOMU \LEMENTARNOMU OB_EMU (^ASTO TAKVE ISPOLXZUETSQ TERMIN VIDKAQ ^ASTI- CA) PRIPISYWA@TSQ FIKSIROWANNYE ZNA^ENIQ PROSTRANSTWENNYH KOORDI- NAT, \TO MOGUT BYTX, W ^ASTNOSTI, NA^ALXNYE ZNA^ENIQ EE DEKARTOWYH KOORDINAT. sOOTWETSTWU@]AQ SOPUTSTWU@]AQ SISTEMA KOORDINAT, KAK PRAWILO, OKAZYWAETSQ KRIWOLINEJNOJ. tAKOJ PODHOD NAZYWAETSQ PODHO- DOM lAGRANVA.

zAME^ANIE nESKOLXKO SLOW O ROLI OBOB]ENNYH FUNKCIJ W TEORETI-

6

^ESKOJ FIZIKE.

wY[E BYLA NAME^ENA IDEQ OTOM, ^TO ZADANIE HARAKTERIZU@]EJ SPLO[- NU@ SREDU FIZI^ESKOJ WELI^INY g W MATEMATI^ESKOM SMYSLE \KWIWALENT- NO ZADANI@ EE OSREDNENIJ

Z d3xg(~x)'x~0 (x~)

V

GDE g(x~) MODELIRUET IZMERQEMU@ WELI^INU, A NABOR FUNKCIJ 'x~0 ZADAET PRIBOR. pRI \TOM ~x0 { \TO TO^KA, W KOTOROJ PROIZWODITSQ IZMERENIE (W OKRESTNOSTI KOTOROJ PROIZWODITSQ OSREDNENIE). pREDPOLAGAETSQ, ^TO

~x0, W KOTOROJ PROIZWODITSQ IZMERENIE. rAZMER \TOJ OBLASTI OPREDELQET RAZRE[A@]U@ SPOSOBNOSTX PRIBORA.

tEPERX DOSTATO^NO WSPOMNITX, ^TO OBOB]ENNAQ FUNKCIQ OPREDELQET- SQ KAK LINEJNYJ NEPRERYWNYJ FUNKCIONAL, OPREDELENNYJ NA NEKOTOROM MNOVESTWE PROBNYH FUNKCIJ, ^TOBY PONQTX, ^TO WYPISANNAQ WY[E MATE- MATI^ESKAQ KONSTRUKCIQ I ESTX TO, ^TO MY NAZYWAEM OBOB]ENNOJ FUNK- CIEJ. tAKIM OBRAZOM, IMEET PRAWO NA SU]ESTWOWANIE TO^KA ZRENIQ, ^TO OBOB]ENNYE FUNKCII GORAZDO LU^[E PODHODQT DLQ OPISANIQ FIZI^ESKOJ REALXNOSTI, ^EM FUNKCII PONIMAEMYE KAK OTOBRAVENIE IZ Rn W R.

1.2pOLE SKOROSTEJ I DEFORMACII SREDY

pRI NAPISANII SISTEMY URAWNENIJ DWIVENIQ SPLO[NOJ SREDY MY BUDEM POLXZOWATXSQ IZWESTNYMI TEOREMAMI KLASSI^ESKOJ MEHANIKI. tEM SAMYM PREDPOLAGAETSQ, ^TO NX@TONOWSKIJ PRINCIP DETERMINIZMA PO-PREVNEMU SPRAWEDLIW. pRI \TOM PROIZWOLXNYE DWIVENIQ SPLO[NOJ SREDY POLNOS- TX@ OPISYWA@TSQ ZADANIEM SKOROSTI SREDA W KAVDOJ TO^KE PROSTRANST- WA I W KAVDYJ MOMENT WREMENI. rASSMOTRIM USLOWIQ, KOTORYM DOLVNO UDOWLETWORQTX POLE SKOROSTEJ W SLU^AE, KOGDA DEFORMACII OTSUTSTWU@T.

gOWORQT, ^TO DWIVENIE TELA NE SOPROWOVDAETSQ DEFORMACIQMI, ESLI W PROCESSE DWIVENIQ NE IZMENQ@TSQ RASSTOQNIQ MEVDU L@BYMI DWUMQ EGO TO^KAMI.

7

|TO PROISHODIT TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA DLQ L@BOJ PARY TO^EK PRO- EKCII SKOROSTEJ TO^EK NA PRQMU@, IH SOEDINQ@]U@, RAWNY, T.E. ESLI

vi (xk + dxk t) dxi = vi (xk t) dxi

dLQ DOSTATO^NO MALYH dx POLU^ENNOE SOOTNO[ENIE PRIWODIT K DIFFE- RENCIALXNOMU USLOWI@ DLQ POLQ SKOROSTEJ, OPISYWA@]EGO DWIVENIE BEZ DEFORMACIJ

DLQ L@BYH dxi .

mY WIDIM, ^TO WOZNIKAET NEOBHODIMOSTX WWESTI W RASSMOTRENIE NOWOE TENZORNOE POLE { POLE GRADIENTOW SKOROSTEJ @kvi = 0 . rASSMOTRIM, KA- KIMI SWOJSTWAMI DOLVNO OBLADATX \TO POLE STEM, ^TOBY DWIVENIE SREDY NE SOPROWOVDALOSX DEFORMACIQMI.

pREDSTAWIM TENZOR @kvi W WIDE SUMMY SIMMETRI^NOGO vki I ANTI- SIMMETRI^NOGO TENZOROW

iZ TENZORNOJ ALGEBRY NAM HORO[O IZWESTNO, ^TO SWERTKA SIMMETRI^- NOGO TENZORA xi xk I L@BOGO ATNISIMMETRI^NOGO WSEGDA RAWNA NUL@. tAKIM OBRAZOM

DWIVENIE SPLO[NOJ SREDY QWLQETSQ DEFORMACIEJ, ESLI SIMMETRI^NYJ TENZOR

NE RAWEN TOVDESTWENNO NUL@.

tENZOR vki NAZYWAETSQ TENZOROM SKOROSTEJ DEFORMACIJ, ON OPRE-

DELQET SKOROSTX IZMENENIQ OTNOSITELXNOGO RASSTOQNIQ MEVDU SOSEDNIMI TO^KAMI SPLO[NOJ SREDY.

dALEE, IZ MATEMATIKI NAM IZWESTNO, L@BAQ DEJSTWITELXNAQ SIMMET- RI^NAQ MATRICA MOVET BYTX PRIWEDENA K DIAGONALXNOMU WIDU ORTOGO- NALXNYM PREOBRAZOWANIEM, T.E. WSEGDA MOVNO WYBRATX TAKU@ ORTONORMI- ROWANNU@ SISTEMU KOORDINAT, ^TOBY W RASSMATRIWAEMOJ TO^KE TENZOR

8