Амплитудный спектр представляет собой функцию типа sin x
x . Он имеет
лепестковый характер, причем ширина лепестков обратно пропорциональна
длительности импульса. Нули спектра определяются из уравнения sin (ωτи 
2) = 0 :
|
ωτи 2 = ±kπ , k = 1, 2, 3, K, |
ωk = ±k |
2π . |
||
|
|
|
|
ω= 0 |
τи |
Значение спектральной плотности импульса при |
равно произведе- |
||||
нию Eτи , т. е. S(0) |
равно площади импульса. |
|
|
||
При увеличении длительности импульса ширина лепестков спектра |
|||||
уменьшается, при этом увеличивается значение S(0) . При уменьшении дли- |
|||||
тельности импульса ширина лепестков увеличивается, а значение S(0) умень- |
|||||
шается. При τ →0 |
точки спектра ω |
k |
= ±k 2π удаляются в бесконечность, и |
||
и |
|
τи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бесконечно малая спектральная плотность становится равномерной в бесконеч- ной полосе частот. При τи → ∞ точки спектра ωk приближаются к нулю, и бес-
конечно большая спектральная плотность приобретает вид δ-функции (с поло- сой частот, равной нулю).
Фазовый спектр (см. рис. 3, б) в зависимости от знака функции sin x
x
принимает лишь два значения – 0 и π . Значения фазы π и −π неразличимы, разные знаки для фазового спектра при ω > 0 и ω < 0 использованы лишь с це- лью представления его в виде нечетной функции.
При сдвиге импульса по оси времени на величину t = ±t0 спектральная
плотность в соответствии со свойством преобразования Фурье приобретает вид
S( jω) = Eτи sin (ωτи 
2) e± jω t0 . ωτи 2
Как видно из этого выражения, амплитудный спектр не изменяется, а фа- зовый спектр характеризуется линейной зависимостью фазы от частоты со скач- ками на π в точках kω1 (штриховая линия на рис. 3, б).
1.4. Спектральный анализ амплитудно-модулированных сигналов
При амплитудной модуляции по закону модулирующего сигнала sм (t) из-
меняется амплитуда несущего колебания
s(t) = U (t)cos(ω0t + ϕ) или s(t) = U (t)e |
j(ω0t + ϕ) |
, |
|
где U (t) = Uн + ka sм (t) – амплитуда (огибающая) амплитудно-модулирован-
ного колебания (АМ-сигнала);
U н – амплитуда несущего колебания (в отсутствие модуляции);
12
ka – коэффициент пропорциональности, обеспечивающий соотношение Um н < Uн, при котором отсутствует так называемая перемодуляция;
Umн – максимальное приращение амплитуды АМ-сигнала «вниз».
Тональная амплитудная модуляция
Простейшей моделью амплитудной модуляции является тональная ампли- тудная модуляция (рис. 4), при которой несущее колебание модулируется гар-
моническим |
сигналом |
sм (t) = Uм cos(Ωt + γ ) (одним тоном). При |
этом |
|
АМ-сигнал описывается выражением |
|
|||
где m = kaUм |
Uн = |
s(t) = Uн[1 + m cos(Ωt + γ )]cos(ω0t + ϕ) , |
(15) |
|
U Uн – коэффициент или глубина амплитудной модуля- |
||||
ции, причем 0 ≤ m ≤ 1 (при m > 1 имеет место перемодуляция); |
|
|||
Ω = 2π Tм , Tм , |
γ |
– соответственно частота, период и начальная |
фаза |
|
модулирующего сигнала.
а
б
в
Рис. 4. Несущее колебание (а), модулирующий сигнал (б), АМ-колебание с тональной модуляцией (в) и соответствующие спектры
Коэффициент амплитудной модуляции можно вычислять по следующей формуле, более удобной для его экспериментального определения по графику АМ-сигнала:
m = |
Umax − Umin |
= |
Uн + U − (Uн − |
U) |
= |
U |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Uн . |
|||
U |
max |
+ U |
min |
Uн + U +Uн − |
U |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
13
Спектр АМ-сигнала с тональной модуляцией
Спектральный состав АМ-сигнала с тональной модуляцией определяется
путем преобразования выражения (15). В результате чего |
|
|
s(t) =Uн cos(ωt +ϕ) + Uнm cos[(ω0 |
+Ω)t +ϕ+ γ]+ Uнm cos[(ω − Ω)t +ϕ− γ]. |
|
2 |
2 |
0 |
Как видно из полученного выражения, спектр АМ-сигнала при тональной модуляции содержит три гармонические составляющие (см. рис. 4, в).
Первая гармоническая составляющая – исходное немодулированное коле- бание с несущей частотой ω0 и начальной фазой ϕ . Амплитуда этой состав-
ляющей не зависит от уровня модулирующего сигнала.
Вторая и третья гармонические составляющие (боковые составляющие) появились в результате модуляции. Их частоты ω0 − Ω и ω0 + Ω называют соот-
ветственно нижней и верхней боковыми частотами. Амплитуды этих состав-
ляющих одинаковы и равны U нm 2 = |
U 2 , т. е. пропорциональны коэффици- |
|||||||||||||||||||||||
енту модуляции, фазы ϕ + γ |
и ϕ − γ – симметричны относительно фазы несу- |
|||||||||||||||||||||||
щего колебания. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Спектр в комплексной форме: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Uн |
|
j(ω0t + ϕ) |
|
Uн |
− j(ω0t + ϕ) |
|
Uнm |
|
j[(ω0+ Ω)t + ϕ + γ] |
|
Uнm |
|
j[(ω0 |
−Ω)t+ϕ −γ] |
|
|||||||||
s(t) = |
|
e |
|
|
|
+ |
2 |
e |
|
+ |
|
e |
|
|
|
+ |
4 |
e |
|
|
|
+ |
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
+ |
Uнm |
|
− j[(ω0 + Ω)t + ϕ + γ ] |
+ |
Uнm |
− j[(ω0 − Ω)t + ϕ − γ ] |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
e |
|
|
|
|
|
|
4 e |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||
Спектр радиоимпульса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Радиоимпульс формируется в результате процесса амплитудной |
||||||||||||||||||||||||
модуляции |
высокочастотного |
|
гармонического |
несущего |
колебания |
|||||||||||||||||||
sн (t) = cos(ω0t + ϕ) импульсным сигналом (видеоимпульсом) s1(t) . В результа-
те образуется гармонический сигнал |
s(t) = s1 (t)cos(ω0t + ϕ) , |
|
в котором |
s1 (t) |
|||||||||||||
при соблюдении некоторых условий является огибающей. |
|
|
|
||||||||||||||
Определим спектральную плотность сигнала s(t): |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
∞ |
|
|
∞ |
|
s1 (t)cos(ω0t + ϕ)e− jω tdt = |
|
||||||||
S( jω) = ò |
s(t)e− jω tdt = ò |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
−∞ |
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= 1 |
∞ s (t)e j(ω0t +ϕ)e− jω tdt + |
|
1 |
|
∞ s (t)e− j(ω0t +ϕ)e− jω tdt = |
|
|||||||||||
2 |
ò |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
ò |
1 |
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ò |
|
|
|
|
|
|
|
ò |
|
|
|
|
|||
= 1 e jϕ |
−∞ |
s1 (t)e− j(ω −ω0 )tdt + |
1 e− jϕ |
−∞ |
s1 (t)e− j(ω+ω0 )tdt . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Окончательно получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
S( jω) = |
1 e jϕS [ j(ω − ω |
0 |
)] + 1 e− jϕS [ j(ω + ω |
0 |
)]. |
(16) |
||||||||||
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
14
Вывод. Спектр радиоимпульса представляет собой преобразованный спектр модулирующего видеоимпульса s1(t). Суть преобразования заключается в пере-
носе спектра по оси частот на ±ω0 с уменьшением вдвое его величины.
Используя полученные результаты, нетрудно определить спектр радиоим- пульса с прямоугольной огибающей. Он формируется в результате процесса
амплитудной модуляции гармонического несущего колебания прямоугольным видеоимпульсом (рис. 5).
Если амплитуда модулирующего видеоимпульса равна Е , а несущее высо- кочастотное колебание равно sн (t) = Uн cosω0t , то радиоимпульс будет описы-
ваться выражением |
|
|
|
|
ìk |
EU |
|
cosw |
t при -t |
|
2 £ t £ t |
|
2 ; |
|
|||
|
s(t) = |
|
|
|
|
||||||||||||
|
í a |
|
н |
0 |
|
|
и |
2. |
и |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
î0 |
при t < -tи |
2 , t > tи |
|
|
|
||||||
Известно, что спектр видеоимпульса, изображенного на рис. 5, а, равен |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Sм ( jw) = Etи |
sin (ωτи |
2) |
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
wtи |
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из соотношения (16) можно определить спектральную плотность прямо- |
|||||||||||||||||
угольного радиоимпульса: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
S( jw) = |
1k U ejϕS [ j(w - w )]+ 1k U e− jϕS [ j(w + w )]= |
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 a |
н |
м |
|
0 |
2 a |
н |
|
м |
|
0 |
|
|||
= 1 k U |
Et |
и |
ìe jϕ sin[(w - w0 )tи |
2] + e− jϕ sin[(w + w0 )tи 2] |
ü . |
||||||||||||
2 |
a н |
|
|
í |
|
(w - w0 )tи 2 |
|
|
(w + w0 )tи 2 |
ý |
|||||||
|
|
|
|
î |
|
|
|
þ |
|||||||||
Амплитудный спектр радиоимпульса c прямоугольной огибающей изобра- жен на рис. 5, б.
a б
Рис. 5. Видеоимпульс и радиоимпульс (а), их спектры (б)
15