DiVM / DiVM / 12_116608_1_52628

7. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

В реальных физических процессах искомая функция зависит от нескольких переменных, а это приводит к уравнениям в частных производных от искомой функции. Как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений(ОДУ), в этом случае для выбора одного конкретного решения, удовлетворяющего уравнению в частных производных, необходимо задавать дополнительные условия (т.е. краевые условия ). Чаще всего такие задачи на практике не имеют аналитического решения и приходится использовать численные методы их решения, в том числе метод сеток, метод конечных разностей и так далее. Мы будем рассматривать класс линейных уравнений в частных производных. В общем виде эти уравнения записываются в виде

(7.1)

b(x,y) u c(x,y)u F(x,y),

y

где: A, B, C, a, b, c-заданные непрерывные функции двух переменных, имеющие непрерывные частные производные, u-искомая функция. Для сокращения записи введем обозначения

Путем преобразований уравнение (7.3) может быть приведено к каноническому виду (к одному из трех стандартных канонических форм) эллиптическому типу, гиперболическому типу, параболическому типу. Причем тип уравнения будет определяться коэффициентами А, В, С, а именно – знаком дискриминанта

D=B2-4 A C.

81

Если D <0, то имеем уравнение эллиптического типа в точке с координатами x, y; если D=0, то (7.3)-параболического типа; если D>0, то (7.3)- гиперболического типа; если D не сохраняет постоянного знака, то (7.3)- смешанного типа.

Замечание. Если А, В, С - константы, тогда каноническое уравнение (7.3) называется полностью эллиптического, параболического, гиперболического типа.

Введем понятие оператора Лапласа для сокращенной записи канонических уравнений вида

Используя это определение, запишем сокращенные канонические уравнения всех трех типов

1. u=0. Это уравнение эллиптического типа, так называемое уравнение Лапласа. В механике это уравнение описывает стационарные тепловые поля, установившееся течение жидкости и т.д.

2. u=-f , где f-заданная непрерывная функция. Это уравнение Пуассона имеет эллиптический тип и описывает процесс теплопередачи с внутренним источником тепла.

3. a2 u u t, где a-константа. Не во всех уравнениях в качестве переменных будут выступать стандартные переменные x, y. Может быть также переменная времени. Это уравнение диффузии описывает процесс теплопроводности и является уравнением параболического типа.

так называемое волновое уравнение и оно описывает процесс распространения волн.

7.1 Метод сеток для решения смешанной задачи для уравнения параболического типа (уравнения теплопроводности)

Смешанная задача означает, что следует найти искомую функцию, удовлетворяющую заданному уравнению в частных производных, краевым, а так же начальным условиям.

Рассмотрим смешанную задачу для однородного уравнения теплопроводности

82

u(0,t) 1(x);

(7.6)

u(a,t) 2(x).

Требуется найти функцию u(x,t), удовлетворяющую в области D(0<x a, 0<t T) условиям (7.5) и (7.6). Физически это можно представить как стержень,

В результате получим неявную двухслойную схему с погрешностью

O( +h2)

83

где: u0,j= 1(tj); un,j= 2(tj).

Получаем разностную схему, которой аппроксимируем уравнение (7.4). Эта схема (7.7) неявная, и выглядит так, как показано на рисунке 10. При построении схемы (7.7) получается система линейных уравнений с трехдиагональной матрицой. Решив ее любым способом (в частности, методом прогонки), получаем значения функции на определенных временных слоях. Так, на нулевом временном слое используем начальное условие Ui,0=f(xi), т.к. j=0. Эта неявная схема более устойчива для любых значений параметра >0.

Есть и явная схема (рисунок 11), но она устойчива только при 12, т.е. при h22.

Рисунок 11 - Явная схема

7.2 Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток

Рассмотрим уравнение Лапласа

84

Уравнение (7.8) описывает распространение электромагнитных волн(полей). Будем рассматривать уравнение Лапласа в прямоугольной области (x, y),0 x a,0 y b с краевыми условиями

u(0, y) f1(y); u(a, y) f2 (y); u(x,0) f3(x); u(x,b) f4 (x),

где f1, f2, f3, f4-заданные функции. Заметим, что чаще всего область бывает не прямоугольной.

Введем обозначения uij=u(xi,yj). Накладываем на прямоугольную область сетку xi h i; i=0,1,…,n; yj 1 j; j=0,1,…,m. Тогда xn h n, ym l m.

Частные производные аппроксимируем по формулам

и заменим уравнение Лапласа конечноразностным уравнением

Рисунок 12 – Схема “крест”

составляет величину О(h2 l2). Выразим ui,j при h=l, и заменим систему

85

uij (ui 1, j ui 1, j ui, j 1 ui, j 1)/ 4;

ui0 f 3(xi);

u0 j f1(yj); unj f 2 (yj).

Получаем систему (7.10) линейных алгебраических уравнений, которые можно решить любым итерационным методом (Зейделя, простых итераций и т.д.). При этом построении системы использовалась схема типа “крест”(рисунок 12). Строим последовательность итераций по методу ГауссаЗейделя

где s-текущая итерация.

Условие окончания итерационного процесса

Условие (7.11) ненадежно и на практике используют другой критерий

Схема “крест “- явная устойчивая схема ( малое изменение входных данных ведет к малому изменению выходных данных).

7.3 Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток

Рассмотрим уравнение колебания однородной и ограниченной струны. Задача состоит в отыскании функции u(x,t) при t>0, удовлетворяющей

уравнению гиперболического типа

86

и в дальнейшем будем считать С=1.

Для построения разностной схемы решение задачи (7.12)-(7.14) построим в области D (x,t),0 x a,0 t T сетку xi ih; i=0,1,…,n;

a h n; t j j ; j=0,1,…,m; m=T.

Аппроксимируем (7.12) разностными производными второго порядка точности относительно шага

Полагая = /h перепишем (7.15), выразив Ui,j+1. Таким образом получим трехслойную разностную схему

87

Схема (7.16) называется трехслойной, т.к. она связывает значения искомой функции на трех временных слоях j-1, j, j+1.

Численное решение задачи состоит в вычислении приближенных значений uij решения u(x,t) в узлах (xi ,t j ) при i=1,…,n; j=1,…,m. Алгоритм

решения основан на том, что решение на каждом следующем слое (j=2,3,..,n) можно получить пересчетом решений с двух предыдущих слоев (j=0,1,..,n-1) по формуле (7.16). При j=0 решение известно из начального условия ui0 f (xi ). Для вычисления решения на первом слое (j=1) положим

Часть 2. Дискретная математика

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Определение. Множеством М называется объединение в единое целое определенных различимых объектов а, которые называются элементами множества.

а М

Множество можно описать, указав какое – нибудь свойство, присущее всем элементам этого множества.

Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обзначается

.

Определение. Если все элементы множества А являются также элементами множества В, то говорят, что множество А включается (содержится) в множестве В.

88

А

В

А В

Определение. Если А В, то множество А называется подмножеством множества В, а если при этом А В, то множество А называется собственным подмножеством множества В и обозначается А В.

Для трех множеств А, В, С справедливы следующие соотношения.

A B B C A C;

A B B C A C;

Связь между включением и равенством множеств устанавливается следующим соотношением:

A B A B B A.

Здесь знак обозначает конъюнкцию (логическое “и”).

Операции над множествами.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат хотя бы одномк из множеств А и В.

Обозначается С = А В.

А

В

Геометрическое изображение множеств в виде области на плоскости называется диаграммой Эйлера – Венна.

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат каждому из множеств А и В.

Обозначение С = А В.

89

А С В

Для множеств А, В и С справедливы следующие свойства:

Определение. Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из элементов множества А, не принадлежащих множеству В.

Обозначается С = А \ В.

АВ

Определение. Симметрической разностью множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат в точности одному из множеств А или В.

Обозначается А В.

АВ = (A \ B) (B \ A)

A B

90